數(shù)學(xué)解題的實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型（每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法都可以看成一個(gè)數(shù)學(xué)模型），有些題目中所含模型明顯而單一，屬于簡(jiǎn)單題，有些題目所含模型隱蔽而復(fù)雜，屬于難題。前者找出模型應(yīng)用即可，后者一般需添加新元素構(gòu)造相關(guān)模型，在幾何題中即所謂添加輔助線(xiàn)的問(wèn)題。

有些難度的幾何問(wèn)題一般需要添加輔助線(xiàn)，據(jù)說(shuō)這是學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)題最難的地方，很多學(xué)生往往苦思冥想沒(méi)思路，而當(dāng)別人把輔助線(xiàn)作好之后，他便恍然大悟，似乎突然明白了。但這種明白其實(shí)不是真明白，只是“事后諸葛亮”而已，下次再遇類(lèi)似問(wèn)題，仍然想不到，于是很多學(xué)生懼怕需要添加輔助線(xiàn)的題目。在他們眼中，“輔助線(xiàn)”是一個(gè)神奇的東西，每當(dāng)它橫空出世，就會(huì)迅速化腐朽為神奇，然而自己卻無(wú)法掌控，只能憑經(jīng)驗(yàn)碰運(yùn)氣，可遇而不可求。

為什么會(huì)這樣呢？

先想想，作輔助線(xiàn)的目的是什么？

當(dāng)然是為了構(gòu)造出新圖形，形成已知的數(shù)學(xué)模型從而產(chǎn)生聯(lián)系。

既然如此，那么在作輔助線(xiàn)之前腦中應(yīng)該先有成型的圖形。

就像蓋房子，先有藍(lán)圖，再來(lái)建造。

問(wèn)題就出在這個(gè)地方，學(xué)生在作輔助線(xiàn)之前腦中并無(wú)完整圖形，就像暗室尋物，談何容易。

什么樣的題目需要作輔助線(xiàn)？

顯然是模型不全以至條件無(wú)法聯(lián)系運(yùn)用的題目。

而作輔助線(xiàn)就相當(dāng)于把數(shù)學(xué)模型補(bǔ)全。

那么什么情況下才能熟練高效地作出輔助線(xiàn)呢？

要么先前有類(lèi)似經(jīng)驗(yàn)解決過(guò)相似問(wèn)題；要么能根據(jù)題意推理判斷題中所含模型，然后對(duì)照添加輔助線(xiàn)補(bǔ)全殘缺部分。

顯然前者需要大量的訓(xùn)練及記憶套路，而且僅此無(wú)法解決復(fù)雜問(wèn)題和新問(wèn)題。

而后者可以根據(jù)一般策略和基本模型解決各類(lèi)復(fù)雜問(wèn)題和新問(wèn)題，此方為根本之道。

我們來(lái)探討后者具體應(yīng)該怎么做。

1.理解－存儲(chǔ)模型：理解并掌握所學(xué)的基本模型和常用的復(fù)合模型。

2.分析－聯(lián)結(jié)模型：解析問(wèn)題中的各種信息元素的聯(lián)系和作用，明確它與相關(guān)模型的聯(lián)結(jié)。

3.判斷－重組模型：重組問(wèn)題中的相關(guān)元素，判斷屬于何種模型，確定數(shù)學(xué)模型中的已知部分。

4.構(gòu)造－補(bǔ)全模型：運(yùn)用各種方式構(gòu)造圖形以補(bǔ)全模型，如進(jìn)行添補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、縮放等操作。

因?yàn)閹缀文Ｐ陀写_定的圖形結(jié)構(gòu)，所以這里的思考方式可以稱(chēng)為構(gòu)造“輔助形”。它與“輔助線(xiàn)”思維最大的不同是：輔助線(xiàn)著眼于局部的線(xiàn)，輔助形著眼于整體的形?！拜o助形”在作圖之前，腦中已有完整的圖形；“輔助線(xiàn)”在作圖之后，眼中才呈現(xiàn)出完整的圖形。孰優(yōu)孰劣，孰難孰易，顯而易見(jiàn)。

“輔助線(xiàn)”是一維的線(xiàn)性思維，“輔助形”是多維的立體思維，升維思考，降維打擊，效率不可同日而語(yǔ)。

下面我們?nèi)砸詫?shí)例說(shuō)明。

例1.小喬遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CB，CA邊上的點(diǎn)，且BD=AC，CD=AE，BE與AD的交點(diǎn)為P，求∠BPD的度數(shù)；

小喬發(fā)現(xiàn)題目中的條件分散，想通過(guò)平移變換將分散條件集中，如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF//AC且BF=AE，連接AF，DF，從而構(gòu)造出△BDF與△CAD全等，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算能夠使問(wèn)題得到解決（如圖2）．

請(qǐng)回答：∠BPD的度數(shù)為_(kāi)_．

參考小喬同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：

如圖3，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D、E分別為CB、CA上的點(diǎn)，且AE=1/2CD，BD=1/2AC，BE與AD交于點(diǎn)P，求sin∠BPD的值．

我們首先看下題目的結(jié)構(gòu)和命題者的意圖。

命題者認(rèn)為此題的輔助線(xiàn)作法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)很難想到，所以給出了思路和方法，為學(xué)生搭建臺(tái)階。其實(shí)這種臺(tái)階價(jià)值很小，即使學(xué)生作出了輔助線(xiàn)做對(duì)了題目，也只是機(jī)械模仿，對(duì)于解題的根本原理和思考邏輯并沒(méi)有真正理解。

圖2中輔助線(xiàn)的作法“BF//AD且BF=AE”是如何想到的？這其實(shí)是最難的一步。其背后邏輯題中并沒(méi)有說(shuō)明，仿佛從天而降憑空出現(xiàn)。如果老師也這樣教學(xué)，學(xué)生必然難以理解，只能死記硬背，在新問(wèn)題情境中只有盲目嘗試，做對(duì)輔助線(xiàn)只是靠運(yùn)氣。

我們從“輔助形”的角度思考，問(wèn)題就可以輕松解決。

（1）判斷條件“BD=AC，CD=AE”與哪種幾何模型相關(guān)？

邊角相等關(guān)系自然會(huì)與“全等”模型產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，那么全等三角形在哪里？

（2）把條件“BD=AC，CD=AE”中各元素進(jìn)行重組（AC與CD構(gòu)成三角形），可以確定全等三角形中必包含ΔACD。

那么另一個(gè)與之全等的三角形在哪里？

（3）不用盲目猜測(cè)嘗試，邏輯推理才是王道。還是從條件出發(fā)，由“∠C=90°”推得“BD⊥AC，CD⊥AE”，即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊互相垂直。

看看，這就是邏輯的力量，輔助線(xiàn)還沒(méi)畫(huà)，我們就已經(jīng)“胸有成竹”：那個(gè)在迷霧之中還未出現(xiàn)的三角形，它必然是ΔACD旋轉(zhuǎn)90度所得到的。

（4）從未知尋找未知很困難，從已知尋找已知很容易。我們已經(jīng)知道那個(gè)神秘的三角形是由ΔACD旋轉(zhuǎn)90度所得，并且必以BD或AE為邊，它還難找嗎？

畫(huà)圖就可以了，如下圖，先把ΔACD旋轉(zhuǎn)90度再平移至BD或AE處即可。

試想，學(xué)生如果具備這樣的思考方式，還需要在題目中設(shè)置解法提示嗎？即使第一次遇見(jiàn)這樣的新問(wèn)題，也完全可以解決。

圖3的問(wèn)題可以用這樣的思考方式輕松解決。

由條件“AE=1/2CD，BD=1/2AC”知”AE：CD＝BD：AC＝1：2“，自然與相似模型相聯(lián)結(jié)，再由“∠ACB=90°”知需構(gòu)造的相似三角形是ΔACD旋轉(zhuǎn)90度并縮放為1/2所得。

值得一提，通過(guò)運(yùn)動(dòng)變換的方式構(gòu)造全等（相似）模型之后，除全等（相似）三角形外一般會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的特殊圖形，如圖2、圖3中都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的特殊直角三角形，圖2中直角邊為1：1，圖3中直角邊為1：2。這樣我們可以把這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行一般化，改編為“AE=m/n CD，BD=m/n AC”，都可以用同樣方法求出sin∠APE的值。

從此例我們得到什么啟發(fā)？

分析問(wèn)題時(shí)要“目無(wú)全?！?，因?yàn)檫@類(lèi)復(fù)雜問(wèn)題是需要重新構(gòu)造才能形成完整的模型，而構(gòu)造的依據(jù)和原料是圖形中的各已知元素，要先對(duì)各元素進(jìn)行分離，然后重新組合，找到它們?cè)趩?wèn)題中所扮演的新角色。如上題圖2中根據(jù)條件把AC、CD組合成三角形，判斷它是全等三角形中的一個(gè)。

構(gòu)造模型時(shí)要”胸有成竹“，根據(jù)題意確定模型中的已知部分與未知部分的聯(lián)系，利用已知確定的圖形尋找需要構(gòu)造的未知部分。如上題圖2中，ΔACD是確定已知的圖形，把它進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移構(gòu)造出輔助圖形。

下面再以一例小試牛刀：

例2.如圖，ΔABC中，BC=6，∠C=60°，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，ΔDEF為等邊三角形，當(dāng)BD=2AD時(shí)，求線(xiàn)段CE的長(zhǎng)度。

根據(jù)題中信息聯(lián)結(jié)相關(guān)模型，再構(gòu)造之：

我們發(fā)現(xiàn)，上面的多種信息可以有不同的組合方式，能夠聯(lián)結(jié)不同的模型，且指向同樣的輔助線(xiàn)作法，可見(jiàn)這種思考方式的結(jié)果是必然的、準(zhǔn)確的。

其實(shí)不僅幾何題需要添加輔助圖形構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，很多代數(shù)問(wèn)題也需要添加輔助元素構(gòu)造數(shù)學(xué)模型。比如二次函數(shù)求最值，就是添項(xiàng)構(gòu)造完全平方模型。但是學(xué)了配方法求函數(shù)最值后，學(xué)生是死記變形步驟，還是理解了構(gòu)造方法？可以用下面的問(wèn)題檢驗(yàn)：求16/x + x +1（其中x>0）的最小值。如果是教學(xué)生用整體思維去解決，在構(gòu)造之前學(xué)生的腦中應(yīng)該會(huì)先出現(xiàn)“（   ）^2 +（    ）”這一完全平方模型，而不是背“先提二次項(xiàng)系數(shù)，再加一次項(xiàng)系數(shù)平方的一半”這種死步驟。

依靠經(jīng)驗(yàn)猜測(cè)嘗試單線(xiàn)思維而成功解決問(wèn)題是偶然的，利用已有信息和知識(shí)進(jìn)行邏輯推理整體思維而成功解決問(wèn)題是必然的，這就是從經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)到理性思考的飛躍。

【有思想的“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”值得關(guān)注】