方法梳理

當(dāng)圖形背景中出現(xiàn)了中點(diǎn)時，可以采取倍長中線或作平行線的方式構(gòu)造全等三角形，從而進(jìn)行線段或角的轉(zhuǎn)化。(方法來源：證明距離19.2(6)例題11)

當(dāng)圖形背景中出現(xiàn)了不在一直線上線段的等量關(guān)系、或角的倍半或角平分線背景時，可以采取“截長補(bǔ)短”的方法構(gòu)造全等三角形，達(dá)成線段或角的轉(zhuǎn)化。(方法來源：證明距離19.2(6)練習(xí)2)

圖形旋轉(zhuǎn)背景下的輔助線

對于圖形的旋轉(zhuǎn)要找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，盡管圖形在運(yùn)動，但是旋轉(zhuǎn)后圖形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角是不變的，旋轉(zhuǎn)后往往由于邊(角)的等量關(guān)系，會產(chǎn)生豐富的等腰三角形和等角。

解法分析：本題的第(1)問是點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB上的特殊情況，由于圖中有著較多的60°角，因此會產(chǎn)生較多的等邊三角形，借助等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角和，可以較容易地得到AD=A'D.

本題的第(2)問是較一般的情況，要證明AD=A'D，則需要構(gòu)造全等三角形。根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系，可以得到∠ACD=∠A'C'D，由這個等量關(guān)系，可以通過“截取或延長”的方式進(jìn)行輔助線的添加，從而構(gòu)造全等三角形。

本題的第(3)問是A、C'、A'三點(diǎn)共線的情況，先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)圖形進(jìn)行進(jìn)一步地分析。

解法分析：本題的第(1)問是B、C、D在一直線上的特殊情況。第①問根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義，可以較快地進(jìn)行證明。第②問是證明∠AEF=60°，此時可以聯(lián)想構(gòu)造以AE為一邊的等邊三角形，由于F為BD的中點(diǎn)，因此“倍長中線法”是首選的證明方法，倍長EF=FP后，需要聯(lián)結(jié)AP和BP，從而構(gòu)造等邊三角形。

第(2)問中盡管旋轉(zhuǎn)▲CED后，使得B、C、D不在一直線上，但是問題解決的思路和輔助線的添線方法還是一致的。問題的難點(diǎn)在于證明∠ABP=∠ACE，可以通過引入新的未知數(shù)來表示這兩個角。

點(diǎn)在線段或其延長線上的輔助線

對于點(diǎn)在線段或其延長線上的問題，需要仔細(xì)審題，即關(guān)注哪個點(diǎn)是動點(diǎn)，其運(yùn)動的范圍是線段、射線還是直線，此類問題的難點(diǎn)在于分類討論，即根據(jù)不同的位置畫出不同的圖形，但是“萬變不離其宗”，盡管圖形發(fā)生了變化，但是問題解決的思路和輔助線的添線方法還是不變的。

解法分析：本題的第(1)問是E在線段AB上的特殊情況，也就說明了第(2)問E可能在線段AB的延長線上。第一問要證明BD=AE，但是BD所在的▲BDE顯然和AE所在的▲ACE不全等，因此需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形。由▲ABC是等邊三角形，因此可以過點(diǎn)E作邊BC或邊AC的平行線，或者在邊AC和邊BC上截取與AE相等的線段，從而構(gòu)造全等三角形。注：若采用截取的方法構(gòu)造全等三角形，還需要證明截得的三角形是等邊三角形，不然無法實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。

本題的第二問需要分類討論，由于E是動點(diǎn)，因此根據(jù)E在線段AB或其延長線上進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意畫出圖形。由于問題解決的方法是一致的，因此可以延用第一問的解題思路求CD的長度。