【原】費(fèi)馬點(diǎn)的證明及應(yīng)用(一)

妍小青 2025-09-04 發(fā)布于上海

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在平面上的三個點(diǎn)A、B、C，如何確定點(diǎn)P的位置，使PA+PB+PC最??？

當(dāng)點(diǎn)A、B、C共線時，點(diǎn)P應(yīng)取三點(diǎn)中居中的點(diǎn)；

當(dāng)點(diǎn)A、B、C不共線時，若△ABC的三個內(nèi)角均小于120°，則所求P點(diǎn)應(yīng)滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°；而若△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°，則所求P點(diǎn)應(yīng)為該三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)。

此問題中的P點(diǎn)也稱為費(fèi)馬點(diǎn)。

與費(fèi)馬點(diǎn)相關(guān)的若干證明

01 如何證明當(dāng)點(diǎn)A、B、C共線時，點(diǎn)P應(yīng)取三點(diǎn)中居中的點(diǎn)？

如圖所示，對點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：即點(diǎn)P在線段AB上，在線段AB的延長線或其反向延長線上及在直線AB外部這四種情況，結(jié)合圖示和計(jì)算，可知當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時，點(diǎn)P是三點(diǎn)中的居中點(diǎn)。

02 如何證明若△ABC的三個內(nèi)角均小于120°，則所求P點(diǎn)應(yīng)滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°？

如圖所示，要證明這三個角為120°，因此聯(lián)想構(gòu)造60°，并將三條線段先轉(zhuǎn)化到一條折線上，再利用三角不等式，轉(zhuǎn)化到一條直線上，進(jìn)而求得最小值。

具體證明過程如下：

追問：為什么要限制∠BAC<120°？

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，∠BPP'>∠BAP，∠CPC'>∠CAP，即∠BPC>∠BAC，由于∠BPC=120°，故∠BAC<120°。

03 如何在△ABC內(nèi)部作出點(diǎn)P，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°？

如圖所示，一共有三種輔助線的添線方式，通過將其中的兩張圖疊合，可以快速找到這類三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。作法如下：分別以△ABC的邊AB、BC為邊向外作等邊三角形ABA'等邊三角形BCC'，此時AC'和A'C交于一點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)。

04 如何證明當(dāng)∠BAC≥120°時，點(diǎn)A為所求費(fèi)馬點(diǎn)？

如圖所示，類比當(dāng)∠BAC<120°的這種情況，通過旋轉(zhuǎn)△BAP。但是需要證明點(diǎn)A為費(fèi)馬點(diǎn)，因此此時需要通過旋轉(zhuǎn)使得點(diǎn)B'、A、C三點(diǎn)共線，進(jìn)而再利用全等三角形的性質(zhì)及三角不等式進(jìn)行證明。

具體證明過程如下：

與費(fèi)馬點(diǎn)相關(guān)的簡單應(yīng)用

解法分析：本題的第(1)問需借助費(fèi)馬點(diǎn)的定義結(jié)合解三角形，即可求得P到BC邊的距離；本題的第(2)問同樣利用費(fèi)馬點(diǎn)的定義，通過導(dǎo)角可以發(fā)現(xiàn)一組相似三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求得PB的長度；本題的第(3)問需要證明BB'經(jīng)過費(fèi)馬點(diǎn)，因此通過構(gòu)造120°，再結(jié)合三角形全等，從而得以證明。

解法分析：本題的第(1)問和第(2)的證明思路與前一個問題相仿。第(3)問中需要發(fā)現(xiàn)圖中的全等三角形，再結(jié)合蝶形相似進(jìn)行導(dǎo)角，從而得證。