一、費馬點的由來

費馬(Pierre de Fermat，1601—1665)是法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家．費馬一生從未受過專門的數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)研究也不過是業(yè)余愛好． 然而，在17世紀(jì)的法國還找不到哪位數(shù)學(xué)家可以與之匹敵．他是解析幾何的發(fā)明者之一；概率論的主要創(chuàng)始人；以及獨承17世紀(jì)數(shù)論天地的人． 一代數(shù)學(xué)大師費馬堪稱是17世紀(jì)法國最偉大的數(shù)學(xué)家． 尤其他提出的費馬大定理更是困惑了世間智者358年．費馬曾提出關(guān)于三角形的一個有趣問題：在△ABC內(nèi)求一點P，使 PA+PB+PC之值為最小，人們稱這個點為“費馬點”．

二、探索費馬點

1． 當(dāng)三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°的時候，則費馬點就是這個內(nèi)角的頂點．

下面來驗證這個結(jié)論： 如圖1，對三角形內(nèi)任意一點P，延長BA至點C′，使得AC′=AC， 作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′=AP． 即把△APC以A為中心做旋轉(zhuǎn)變換． 則△APC≌△AP′C′，

∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤60°． ∴在等腰三角形PAP′中，AP≥PP′，

∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′=AB+AC． 所以A是費馬點．

2． 如果三個內(nèi)角都在120°以內(nèi)，那么，費馬點就是三角形內(nèi)與三角形三頂點的連線兩兩夾角為 120°的點．

如圖2，以B點為中心，將△APB旋轉(zhuǎn)60°到△A′BP′． 因為旋轉(zhuǎn)60°，且PB=P′B，所以△P′PB為正三角形． 因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC．

由此可知當(dāng)A′，P′，P，C四點共線時，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC為最?。?/p>

當(dāng)A′，P′，P共線時，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°． 同理，若P′，P，C共線時，則∵∠BPP′=60°， ∴∠BPC=120°．

所以點P為滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點．

二、費馬點相關(guān)問題

等腰直角三角形,已知在直角平分線上的一點P,PA+PB+PC最小值為√6+√2，求直角邊的長度？

解答：如圖

將三角形PAC逆時針旋轉(zhuǎn)60度得三角形DEC，則角PCD=60度，三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA，所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根據(jù)兩點之間線段最短，當(dāng)點E、D、P、B在一條直線上時，DE+PD+PB最小，這時∠BPC=120°，∠APC=∠EDC=120°

下證這時的點P就在角ACB的平分線上。

在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有∠EDC=∠BPC=120°，

得三角形CDE、CPA、CBP全等，∠ECD=∠ACP=∠BCP，點P在∠ACB的平分線上。

所以點P是這樣一個點：它使∠APC=∠BPC=∠APB=120度（這個點叫三角形的費馬點）。

延長CP交AB于F，則CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度，

設(shè)PF=x，則PA=PB=2x ，AF=CF=√3*x，PC=(√3-1)x，有 2x+2x+(√3-1)x=√6+√2，x=1/3√6。所以 AF=CF=√2，AC=√2*CF=√2*√2=2。

三、費馬點與中考試題