難度系數(shù)

閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù):

背景:

平面幾何中的費(fèi)馬問(wèn)題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬( Pierre de fermat)提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題.

費(fèi)馬問(wèn)題:給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置.(即已知△ABC,求作一點(diǎn)P,使其到點(diǎn)A,B,C的距離之和最小,如圖(1)).

費(fèi)馬點(diǎn)(費(fèi)馬問(wèn)題所求的點(diǎn)):當(dāng)△ABC的最大內(nèi)角小于120°時(shí),對(duì)△ABC三條邊的張角都等于120°,即滿(mǎn)足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點(diǎn)P(如圖(2)所示)就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn);當(dāng)△ABC的最大內(nèi)角大于或等于120°時(shí),最大內(nèi)角的頂點(diǎn)就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

解決問(wèn)題:

如圖(3),△ABC的內(nèi)角均小于120°,分別以AB,AC為邊向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接BE,DC交于點(diǎn)P,連接AP.

求證:點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

證明:如圖(4),過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥CD于點(diǎn)M,AN⊥BE于點(diǎn)N,設(shè)AB交CD于點(diǎn)O.

∵△ABD,△ACE都是等邊三角形, 

∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠CAE=60°,

∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,

∴∠DAC=∠BAE,

∴△ADC≌△ABE,

∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,(依據(jù)1)

S△ADC=S△ABE,

∴(1/2)CD·AM=(1/2)BE·AN,

∴AM=AN,

∴∠APM=∠APN.(依據(jù)2)

∵∠AOD=∠POB,∠ADC=∠ABE,

∴∠OPB=∠DAO=60°,

∴∠BPC=∠NPM=180°-∠OPB=180°-60°=120°,

∴∠APN=∠APM=(1/2)∠NPM=(1/2)×120°=60°,

∴∠APB=60°+60°=120°,∠APC=60°+60°=120°,

∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°,

∴點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

任務(wù):

(1)上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指:

依據(jù)1:          ;

依據(jù)2:          ;

(2)在圖(3)中,求證:PA+PB+PC=BE=DC.

(3)如圖(5),在△MNG中,MN=6,∠M=60°,MG=4.點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn),

則點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和的最小值是     .

依據(jù)1:全等三角形對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊相等；

依據(jù)2:在角的內(nèi)部,到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.