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一道中考數(shù)學題，拆解之后很容易14

 一個大風子 2023-06-19 發(fā)布于黑龍江

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這是山東省濟南市2022年中考倒數(shù)第二道壓軸題，是經(jīng)典的“手拉手”模型，考察的是等邊三角形、等腰三角形、相似三角形等相關(guān)知識點。
我們先看第一問：
線段AD旋轉(zhuǎn)60°，得到新的圖形ADE。你要知道，什么條件變了？什么沒變？我們先挨個梳理已知條件：
1、△ABC是等邊三角形。這意味著AB=AC=BC，意味著A、B、C三個角是60°；
2、AD旋轉(zhuǎn)，意味著AE=AD；旋轉(zhuǎn)60°，意味著這也是等邊三角形，△ADE中，AD=AE=DE，三個角都是60°；
第一問：判斷BD與CE的關(guān)系。
證明邊的關(guān)系，首先想到的思路是：找到邊在什么三角形上，通過三角形的相似或全等，就能確定邊的關(guān)系。
通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，△ADB與△AEC似乎有關(guān)系，AD=AE，AB=AC，兩條邊相等，只需要確定夾角相等，就能確定兩個三角形全等，進而證明BD=CE。
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第二問：
要求AE、BE、CE的關(guān)系，這一問幾乎是送分題。因為前面已經(jīng)知道這是兩個等邊三角形，所以AE=DE；而且第一問求出CE=BD，AE、BE、CE的關(guān)系，就相當于DE、BD、BE的關(guān)系。BE=DE+BD=AE+CE。
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第三問：
這有一點很難想到。我們先盤點一下已知條件：1、F為BC中點；2、ED=EC。
我們先看，ED=EC意味著什么？因為之前求出CE=BD，所以ED=EC=BD；又因為△ADE是等邊三角形，所以ED=EC=BD=AD=AE。這么多條邊都相等，你應(yīng)該在圖上清晰的標注出來。
BD=AD，意味著∠ABD=∠BAD。如果能夠求出∠ADB，就能求出這兩個角。通過觀察推測，∠ADB似乎是直角，怎么證明呢？
這時，我們發(fā)現(xiàn)，還有一個已知條件沒有用到，即F為BC中點。
中點意味著什么？等邊三角形的中點意味著什么？我們首先想到連接AF，這是等邊三角形ABC的垂直平分線。所以，不管是否能夠用上，我們應(yīng)該動筆連接出來。
但是，到底怎么證明∠ADB是直角呢？這是此題最難的卡點，做出另一條輔助線。

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一旦做出這條輔助線，這道題后面的過程就相對比較簡單了。
1、AG和AF分別是等邊三角形ADE和ABC的垂直平分線，所以∠GAD=∠BAF=30°，所以∠BAD=∠FAG（都加了一個公共角∠FAD）。
2、夾角有了，再看兩條邊：直角三角形ABF中，AF/AB=sin60°；同理，直角三角形ADG中，AG/AD=sin60°，所以AF/AB=AG/AD。
3、兩邊成比例，夾角相等，所以△ABD∽△AFG，所以∠ADB=∠AGF=90°。
4、因為之前的推論，AD=BD，所以∠BAD=45°。
答案不是結(jié)束，是真正學習的開始
這道題第三問做出兩條輔助線是最難的一步，怎么才能想到呢？這才是這道題真正應(yīng)該總結(jié)的地方。
我想，能夠想出來這需要幾點：
1、根據(jù)已知條件推測。當時我們有一個已知條件沒有用到，即F是BC中點。中點在這道題中要想使用，應(yīng)該就是連接AF，構(gòu)成垂直平分線。在等邊三角形中，構(gòu)造出直角三角形，求出邊長之間的關(guān)系；
2、根據(jù)求解目標逆推。我們已經(jīng)逆推幾步，把求∠BAD轉(zhuǎn)化為求∠ADB是直角。怎么求出一個角是直角？一個可能的思路就是，直角三角形ABD與某一個直角三角形全等或相似。
3、如果我們能夠想到相似，根據(jù)已知條件，在△ABD中，AB是斜邊，AB又與AF有比例關(guān)系，那我們就是可順著AF的思路，構(gòu)造直角三角形，即做AG垂直于DE。
這是可能想到輔助線的一個思路，總結(jié)一下，需要你具備幾方面能力：
1、正向推導。即通過已知條件探索解題路徑；
2、逆向推導?？s短求解目標和已知條件之間的連接路徑；
3、熟悉相似三角形的判定定理：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似。
幾何題的難點，往往都是輔助線，憑空構(gòu)造出連接已知條件和求解目標之間的聯(lián)系。這當然不能指望靈光乍現(xiàn)，其實是平時的基本功訓練和良好的做題習慣。關(guān)鍵的一點是，你平時要多總結(jié)做題思路和解題規(guī)律，這樣才能以不變應(yīng)萬變。
還是那句話：多動筆是學好數(shù)學的王道。幾何題，你的圖畫的越清晰，解題思路越明確。

之前題目重做，做不出來，說明沒學會

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