題說《怎樣解題》（二十六）你以前見過它嗎...

昵稱32901809 2019-12-10

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題說《怎樣解題》（二十六）你以前見過它嗎？
例2-1．如圖§2.1- 1，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，且AD=6，CD=3，求BD的長。
解：因為∠BAC=45°是個熟悉的元素，利用這個元素的方法，一般是構(gòu)造一個直角三角形以利用45°形成等腰直角來解決問題。因此過點C作CE⊥AB，交AB于點E，如圖§2.1- 2。
因為AD⊥BC（已知）
所以△ADC、△ABD為直角三角形，△ABC面積=1/2×BC×AD
所以AC^2=AD^2+DC^2（勾股定理）
所以AC^2=6^2+3^2
所以AC=3√5
因為CE⊥AB（已作），∠BAC=45°（已知）
所以△AEC為等腰直角三角形，△BCE為直角三角形，△ABC面積=1/2×AB×CE
所以在△AEC 中AE=CE=AC/√2
因為AC=3√5（已證）
所以AE=CE=3√5/√2=3/2×√10
設(shè)BD=x，則BC=x+CD
因為BC=x+CD，CD=3（已知）
所以BC=x+3
因為△ABC面積=1/2×BC×AD（已證），BC=x+3（已證），AD=6（已知）
所以△ABC面積=1/2×(x+3)×6
因為△ABD為直角三角形（已證）
所以AB^2=AD^2+BD^2（勾股定理）
因為AD=6（已知），BD=x（已設(shè)）
所以AB^2=6^2+x^2
求得AB=√（6^2+x^2）
因為△ABC面積=1/2×AB×CE（已證），AB=√（6^2+x^2）（已證），CE=3/2×√10（已證）
所以△ABC面積=1/2×√（6^2+x^2）×3/2×√10
因為△ABC面積=1/2×(x+3)×6（已證），△ABC面積=1/2×√（6^2+x^2）×3/2×√10（已證）
所以1/2×(x+3)×6=1/2×√（6^2+x^2）×3/2×√10
解這個方程得到x=2（其中還有一根為負值，舍去）
所以BD的長為2

例2-2．如圖§2.1- 3，已知直線L1∥L2，一個45°角的頂點A在L1上，過點A作AD⊥L2，垂足為點D，AD=12。將這個角繞頂點A旋轉(zhuǎn)（角的兩邊足夠長），旋轉(zhuǎn)過程中，若角的兩邊與L2分別交于點E，F(xiàn)（E在F左面），且AE＜AF，DE=4，求DF的長。
解：如果解題者有例2-1的經(jīng)驗，你以前見過它嗎？或者你見過同樣的題目以一種稍有不同的形式出現(xiàn)嗎？當你看見本題時，自然會想起例2-1。本題與例2-1．在敘述的方式上似乎有很多的不同，例2-1給出已知數(shù)據(jù)的形式簡潔明了，本題給出已知數(shù)據(jù)的方式云山霧罩，相對復雜，但經(jīng)過簡單的比較，可以知道，它們實質(zhì)上是一致的，因此，幾乎可以完全復制例2-1的解題經(jīng)驗來解決本題。
過E作EG⊥AF，交AF于G，如圖§2.1- 4
AE=√(AD^2+DE^2)= √(12^2+4^2)=4√10
EG=AE/√2=4√10/√2=4√5
設(shè)DF=x，則EF=x+4
AF=√(AD^2+DF^2)=√(12^2+x^2)
1/2×(x+4)×12=1/2×√(12^2+x^2)×4√5
解得x=6
例2-1與例2-2的相似度在90%以上，可以說幾乎完全一樣，它們即是互為同樣的題目，或者以一種稍有不同的形式出現(xiàn)的同樣的題目。
以上所講的內(nèi)容，是以一道完整的題目，即一個整體來考量的，而事實上，這句誘導語的使用還可以從局部或細節(jié)入手，即，局部啟發(fā)整體。它可以從題目的某些特征，某些元素做起，比如，你以前見過這個已知數(shù)據(jù)嗎？它是怎樣發(fā)揮作用的？你以前見過類似的未知量嗎？它是怎樣求出的？通過回答這些問題，解題者就可以從記憶中提取出相關(guān)的元素，動用蟄伏著的某些知識，“現(xiàn)在這道題目的任何特征，只要它在解答別的某些題目中起過作用，就可能再起作用?！保ā对鯓咏忸}》第92頁）
但是，對于一個雄心勃勃試圖提高自己解題水平的解題者來說，是不愿意重復做過的題目的，對他們來說，那可能是一種折磨。事實上，解題者遇到的題目大部分的相似度達不到100%?！盎蛘吣阋娺^同樣的題目以一種稍有不同的形式出現(xiàn)”，比如，一道解答題，以填空題的形式出現(xiàn)，已知量和未知量量都一樣，但是以不同的敘述方式呈現(xiàn)，或者已知量和未知量量的大部分相同或相似，但還是有些區(qū)別，就像一個多年未見的老朋友，如果不在特定的場合比如同學會、校慶等等，你都不敢打招呼，寒暄之后，你總會發(fā)現(xiàn)若隱若現(xiàn)的原來熟悉的影子。你以前見過它嗎？或者你見過同樣的題目以一種稍有不同的形式出現(xiàn)嗎？如果解題者能肯定的回答這個問題，解題者就識別出了兩道題目之間的相似性，找到了它們之間的共同點，就可以利用過去那道題的方法、念頭來解答本道題了。如果解題者連過去那道題的解答過程都忘記了，那么就需要把它找出來重溫一遍，這應(yīng)了一句話“向前進，有時需要往后看”。