Ricci 流方程解的局部存在性，唯一性及基本恒等式

本節(jié)我們介紹Hamilton的Ricci流概念及其重要性質(zhì).由于主題龐大，我們只能不給證明地觸及基本的要點.有興趣的讀者可參考相關(guān)參考文獻(xiàn)以獲取更多細(xì)節(jié).

我們從介紹定義和記號開始.除非另有說明，一般地，表示完備緊(或非緊)Riemann流形，, 表示度量和Ricci曲率；分別是相應(yīng)的梯度和Laplace-Beltrami算子；帶或不帶指標(biāo)的代表一般的正常數(shù)，它們在不同式子之間的值可能不一樣；如果度量隨時間改變，則或?qū)⒋硐鄳?yīng)的距離函數(shù)；或者,或代表的體積元；我們將用或表示在度量下，以為心，半徑為的測地球；表示按度量計算的體積.我們?nèi)杂? 分別表示的梯度和Laplace-Beltrami算子，在不會有混淆時不指明時間.

定義：設(shè)是Riemann流形，是區(qū)間上一族與時間有關(guān)的度量，令為相應(yīng)的Ricci曲率，如果

則稱是Ricci 流.

這個由Richard Hamilton 于1982年引進(jìn)的方程組是退化的擬線性二階拋物方程組. Hamilton 對于3維緊致流形證明了，如果初始度量的Ricci曲率為正，則Ricci流在有限時間內(nèi)以一致方式產(chǎn)生奇點，通過仔細(xì)研究奇點的形成，他證明了具有正Ricci 曲率的3維緊致流形微分同胚于標(biāo)準(zhǔn)3維球.

我們以討論Einstein流形上的Ricci流這個簡單例子作為準(zhǔn)備.

設(shè)是配備一族度量的Riemann流形，這族度量滿足

這里，是常數(shù)，是由Ricci流確定的函數(shù). 由于Ricci 曲率張量在伸縮變換下不改變，我們有

因此，Ricci 流方程化為

從而

如果, 則初始度量的Ricci 曲率為正, Ricci流在時出現(xiàn)奇性.而當(dāng) 時， Ricci流在全部時間內(nèi)都存在.

Ricci 流是度量的二階弱拋物方程組.最初，Hamilton借助于Nash-Moser 隱函數(shù)定理對緊流形上的Ricci流證明了局部存在性和唯一性.然后，De Turck 給出了一個簡單得多的證明. De Turck 通過用一族與時間有關(guān)的微分同胚將Ricci 流轉(zhuǎn)化為嚴(yán)格拋物方程組. 而通常的嚴(yán)格拋物方程組理論蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化后的方程組和原來的Ricci流的存在性和唯一性.在非緊情形，施皖雄證明了曲率算子有界的流形上的Ricci流的局部存在性.陳兵龍和朱熹平在相同條件下證明了唯一性.田剛和呂鵬各自獨立地證明了上徑向?qū)ΨQ度量的非緊Ricci 流的唯一性,即Ricci流標(biāo)準(zhǔn)解的唯一性.我們將這些結(jié)果總結(jié)為下面三個定理.

定理  設(shè)是緊Riemann流形，則存在常數(shù),是的Ricci流的初值問題

在上有唯一光滑解.

證明：我們將證明分成三步.

第一步，構(gòu)造修改后的Ricci流對應(yīng)的嚴(yán)格拋物方程組.

仿照De Turck的做法，考慮拋物方程組，它在與時間無關(guān)的局部法坐標(biāo)系下可寫成

上述方程組中各項的定義如下：

(i)是關(guān)于下列向量場的Lie導(dǎo)數(shù)：

(ii)和分別是的Ricci曲率和Christoffel符合.

(iii)是初始度量的Christoffel符號.

下面證明(2)是度量的嚴(yán)格拋物方程組.

對向量場,，成立

因此，在局部坐標(biāo)系下，有

這里， 代表關(guān)于的對偶1-形式的協(xié)變導(dǎo)數(shù)的第個分量，即的第個分量，其中, .

(4)右端的主項是那些含度量的二階導(dǎo)數(shù)的項，在局部坐標(biāo)系下，利用下面的局部公式將它們寫出來：

因為

從而

此處及以后證明中的低階項是那些至多包含的一階導(dǎo)數(shù)的項.

利用(3)知，

從而

將指標(biāo)改為, 并將 互換, 得

結(jié)合 (5),得

因此，  (4)可寫為

從而，(2)是半線性嚴(yán)格拋物方程組.標(biāo)準(zhǔn)的拋物方程組理論表明， (2)至少在短時間內(nèi)有光滑解.

第二步，證明修改后的方程組的解通過一族微分同胚產(chǎn)生最初的Ricci流的解.

 令為(2)的光滑解，用方程

定義一族微分同胚 , 其中是 (3)中定義的向量場.注意，對上的光滑函數(shù)以及 點,有

我們證明度量

是最初的Ricci流方程的解.由于 ,計算得

另一方面，

因此這就證明了最初的Ricci 流的短時間存在性.

第三步， 證明唯一性.

首先，注意上述過程可逆.即若是Ricci流的解，則 是(2)的解.

為證明這個斷言，我們只需要說明在度量下，構(gòu)造的方程有段時間的光滑解. 這可在局部坐標(biāo)系下方便地做到.令 是第一步中給出的與時間無關(guān)的法坐標(biāo)系，假設(shè)由

給出，令 為已給出的的Christoffel符號,則由常規(guī)的計算，的Christoffel符號為

由第一步的構(gòu)造

由于對任何光滑函數(shù), . 因此

由此， (6)可以寫為

注意， 這里 , 且 . 因此， (6)是擬線性嚴(yán)格拋物方程組，有唯一的短時間光滑解.

上面定理中的度量稱為初始度量，有時需要適當(dāng)伸縮度量，使其稱為規(guī)范度量. 下面我們就來定義規(guī)范度量.

定義（規(guī)范度量和規(guī)范流形）：Riemann流形上的度量稱為規(guī)范度量，如果 處處成立且每個單位球的體積至少是歐式單位球體積的一半. 配備規(guī)范化度量的Riemann流形稱為規(guī)范流形.

顯然，總可以用一個較大的數(shù)乘以緊流形上的度量，使得配備放大了的度量的流形是一個規(guī)范流形.

下面兩個定理將上面的Ricci流的存在性和唯一性的結(jié)果推廣到了某些非緊流形上.

定理：  設(shè)為曲率張量有界的完備非緊Riemann 流形，則存在常數(shù),使得Ricci流的初值問題

在上有曲率張量一致有界的光滑解.

定理：[陳兵龍-朱熹平]    上述定理中的解是唯一的.

由于一些技術(shù)性問題，像控制曲率和單射半徑等幾何量在無窮遠(yuǎn)附近的性質(zhì),這兩個定理的證明非常長.讀者可以參考原始論文以獲知證明的基本細(xì)節(jié).

在下一命題中，我們將總結(jié)R.Hamilton所證明的一些公式，這些公式描述了幾何量沿Ricci流的演變.

命題：  設(shè)為Ricci流，則下述結(jié)論成立

(i)令 為相對于的數(shù)量曲率，則

(ii)令為相對于的體積元，則

(iii)令, 且為在度量下的距離.假設(shè)距離是的光滑函數(shù)，則

這里是對所有連接的在度量下以弧長為參數(shù)的最小測地線而取，且并且選取,使得 構(gòu)成的一組基. 將上述基平行移動得 的單位正交基 . 最后， 是沿的Jacobi場,滿足 , 且 .

我們注意到(9)的右端是指標(biāo)形式的和.由于是Jacobi場，指標(biāo)定理表明 ，其中

因此，

其中<span role="presentation" data-formula="X(s)=c" (s)'="" data-formula-type="inline-equation">.由此 及 , 得

因此，

情形2

我們只需要將情形1中的換為(小于), 并重復(fù)其中的證明.

情形3

證明幾乎是平凡的: