作者  顧險(xiǎn)峰  (紐約州立大學(xué)石溪分校終身教授，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心訪問教授，計(jì)算共形幾何創(chuàng)始人)

科學(xué)的發(fā)展宛若一條水勢(shì)浩蕩的洪流，她是由無數(shù)涓涓細(xì)流匯聚而成，很難說哪一條小溪是真正的源頭。自然界中的基本結(jié)構(gòu)都有著驚心動(dòng)魄的壯美，在人類歷史中強(qiáng)烈激發(fā)著每一代人的心靈，每一代人都用其特有的方式將其審美體驗(yàn)表達(dá)出來，凝結(jié)成建筑、音樂、繪畫等各種藝術(shù)形式，直至現(xiàn)代的數(shù)學(xué)定理、計(jì)算機(jī)算法和未來的專用芯片。建筑師、音樂家、畫家、數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家，他們彼此激發(fā)，思想交融，橫亙千年，跨越時(shí)空，共同譜寫人類的文明。對(duì)于歷史長(zhǎng)河中的每一個(gè)渺小的個(gè)體，往往對(duì)于自己身處的時(shí)代背景和歷史角色茫然無知，更多地是出于審美的本能，縱身?yè)浠穑粝乱凰病?/span>

有這樣一段傳奇，貫穿了老顧的整個(gè)學(xué)術(shù)生涯，一切緣起于《阿爾罕布拉宮的回憶》。

公元六世紀(jì)，信奉伊斯蘭文明的阿拉伯帝國(guó)崛起于沙漠之間，橫掃歐亞大陸，建立了人類歷史上東西跨度最長(zhǎng)的“大食帝國(guó)”。阿拉伯人征服了伊比利亞半島，在西班牙開始了長(zhǎng)達(dá)800年的伊斯蘭統(tǒng)治。摩爾人在西班牙的最后一座堡壘是格林納達(dá)，位于格林納達(dá)的阿爾罕布拉宮為奈斯?fàn)柾醭木喸煺摺蹦乱皇浪ㄔ?。那個(gè)時(shí)代，整個(gè)歐洲籠罩在基督教中世紀(jì)的黑暗之中，科學(xué)的萌芽被穆斯林文明所發(fā)揚(yáng)光大，西班牙成為世界文明的中心。矗立在阿薩比卡山上的阿爾罕布拉宮成為了伊斯蘭建筑的經(jīng)典之作。

圖1  阿爾罕布拉宮的花園

圖2  阿爾罕布拉宮的內(nèi)部

伊斯蘭文明禁止偶像崇拜，因此所有的建筑裝飾都不容許任何帶有生命的具體形象。所有的裝飾都是為了彰顯神的思想的美麗，而非神的身體的美麗，因此必須用充滿智慧的抽象幾何模式，特別是各種各樣的對(duì)稱。在阿爾罕布拉宮的建筑裝飾中，人們可以找到平面上所有可能的對(duì)稱。

圖3  度為4、8和12的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱

圖4  鏡像反射，平行移動(dòng)對(duì)稱

圖5  阿爾罕布拉宮中的對(duì)稱圖案

格林納達(dá)是摩爾人在西班牙的最后一個(gè)王朝，阿爾罕布拉宮建造的時(shí)候，伊斯蘭在西班牙的統(tǒng)治已經(jīng)岌岌可危。公元14世紀(jì)，西班牙光復(fù)，伊莎貝拉女王親帥十萬大軍，將穆斯林徹底驅(qū)離了格林納達(dá)。阿爾罕布拉宮的極致華麗，實(shí)際上是格林納達(dá)王朝的一曲絕唱，大限將至，超脫坦然，專注藝術(shù)，精神永恒。這一曲天鵝之歌，美艷凄絕，縈繞千年。

公元1896年的某個(gè)傍晚，西班牙偉大的吉他演奏家和作曲家弗朗西斯科·塔雷加來到了格林納達(dá)，夕陽(yáng)西下，滿目蒼茫。阿薩比卡山上的阿爾罕布拉宮殘?jiān)珨啾?，悲涼肅穆，但依然優(yōu)雅神秘。罡風(fēng)襲掠，芳草萋萋，宛若格林納達(dá)的亡國(guó)蘇丹，倉(cāng)皇辭國(guó)時(shí)回眺阿爾罕布拉宮時(shí)發(fā)出的嘆息。塔雷加惆悵感傷，心緒蕩漾，遂一氣呵成不朽名曲《阿爾罕布拉宮的回憶》。

圖6  西班牙古典吉他大師，弗朗西斯科·塔雷加

樂曲為三段式結(jié)構(gòu)，舒緩悠揚(yáng)的3/4拍子。A段為淡雅憂傷的a小調(diào)，令人心碎的輪指演奏出曼陀鈴的音色，宛若陣陣嘆息，嘆惋生命無常，歷史滄桑，昔日雕梁畫棟，金碧輝煌，如今野草荒冢，斷壁殘陽(yáng)；B段轉(zhuǎn)為明朗的A大調(diào)，追憶往昔光輝歲月，雄霸歐亞，睥睨天下，慷慨激越，血脈賁張；C段趨于平和，恩怨情仇，隨風(fēng)而逝，面對(duì)宿命，胸襟坦蕩。

塔雷加出身貧苦，右眼全盲。他為吉他而生，只手擎天，用吉他開創(chuàng)了音樂世界?！栋柡辈祭瓕m的回憶》是塔雷加一生的巔峰之作，他在音樂中充分表達(dá)了阿爾罕布拉宮建筑中的對(duì)稱之美帶給他的精神震撼?！栋柡辈祭瓕m的回憶》成為全世界古典吉他演奏者輪指技巧的炫技經(jīng)典。

圖7  M.C.Escher自畫像（1929）

公元1922年，年輕的荷蘭畫家埃舍爾（M.C.Escher）旅行到格林納達(dá)，參觀了阿爾罕布拉宮，這成為他一生中至關(guān)重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。他為王宮中鑲嵌圖案的巨大精神力量所震撼，沉浸在無盡的對(duì)稱模式之中。這激發(fā)他創(chuàng)作了大量的杰作，將深邃抽象的幾何和完美精妙的藝術(shù)相結(jié)合，揭示了自然的真理，挑戰(zhàn)著人類的想象力。

圖8  鑲嵌畫，M.C.Escher，1951

圖9  蝴蝶，M.C.Escher 1950

埃舍爾創(chuàng)造的鑲嵌畫具有嚴(yán)格的幾何對(duì)稱性，我們可以看出阿爾罕布拉宮的建筑裝飾對(duì)其深刻持久的影響?！疤焓购蛺耗А币恢笔前Ｉ釥査姁鄣闹黝}，他的一生中曾為之創(chuàng)作了三件不朽的作品，

圖10  天使與惡魔， 埃舍爾，球面1942，平面1941 ，雙曲圓盤1960

埃舍爾在1941年創(chuàng)作了在歐幾里得平面上的天使和惡魔的鑲嵌，這一版本最為直觀。白色的前景是雙翼天使，黑色背景是蝙蝠狀的惡魔。當(dāng)我們凝視天使的時(shí)候，惡魔隱身為背景；當(dāng)我們注視惡魔的時(shí)候，天使融為背景。但是，每個(gè)人都無法同時(shí)既看到天使又看到惡魔。這一點(diǎn)非常具有哲理，天使和惡魔既對(duì)立又統(tǒng)一，兩者相互克服而又相互依存。真實(shí)的世界是由天使和惡魔交織而成，我們應(yīng)當(dāng)注視天使而對(duì)惡魔視而不見，還是被惡魔攝取魂魄而對(duì)天使失去信心？這里，任何兩個(gè)天使都是同樣大小，彼此相差一個(gè)平移，旋轉(zhuǎn)和鏡像反射，亦即歐氏空間的剛體變換。第二年，埃舍爾用楓木雕刻了球面上天使和惡魔的鑲嵌。天使和惡魔相互襯托，對(duì)比更為強(qiáng)烈。同樣，任何兩個(gè)天使之間相差一個(gè)球面的剛體變換，即三維歐氏空間的旋轉(zhuǎn)加反射。二十年后，埃舍爾技藝爐火純青，登峰造極，創(chuàng)作出雙曲空間中天使和惡魔的鑲嵌。從歐氏幾何到球面幾何，埃舍爾只用了一年，但是從球面幾何到雙曲幾何，埃舍爾花了二十年。對(duì)于雙曲幾何的理解已經(jīng)超出人類直覺，需要專業(yè)的幾何訓(xùn)練才能真正領(lǐng)悟。

埃舍爾的天使和惡魔意蘊(yùn)深刻，完美闡釋了三種幾何下的對(duì)稱：球面幾何、歐式平面幾何以及雙曲幾何。

1990年代早期的中國(guó)大陸，互聯(lián)網(wǎng)尚未出現(xiàn)，但是古典吉他風(fēng)靡全國(guó)。埃舍爾的藝術(shù)作品也逐漸傳播。在清華校園中，出現(xiàn)了一群清麗脫俗的音樂愛好者，他們熱衷于作詞譜曲，吟詠風(fēng)月，歌頌愛情。更多的清華學(xué)子刻苦內(nèi)斂，研習(xí)吉他技巧蔚然成風(fēng)。從這群人中走出了高曉松、水木年華，更成就了李健。

當(dāng)時(shí)老顧的室友蔣步星是狂熱的吉他愛好者。蔣同學(xué)堪稱數(shù)學(xué)天才，國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)金牌得主。為人為學(xué)堅(jiān)韌刻苦，持之以恒。每天磨煉吉他輪指技巧，一曲《阿爾罕布拉宮的回憶》彈得出神入化，余音繞梁。時(shí)住九號(hào)樓216房間，窗戶向北，常年被樓外梧桐的綠蔭所遮蓋。每當(dāng)陰霾遮日，細(xì)雨霏霏，屋中更是暗淡陰郁，令人愁腸百結(jié)。這時(shí)，216就會(huì)飄出令人心碎的《回憶》。蔣同學(xué)指法嫻熟，感情充沛，全心投入，經(jīng)常一曲終了，偷拭眼角淚水。這時(shí)，一眾室友佯裝視而不見，默默無語，內(nèi)心無比潮濕。

但是，蔣同學(xué)的另一習(xí)慣卻令大家眼眶也潮濕。蔣同學(xué)習(xí)慣一邊磨煉輪指技巧一邊苦讀數(shù)學(xué)，經(jīng)常在216清冷的燈光下枯坐數(shù)小時(shí)紋絲不動(dòng)，懷中溫柔地抱著吉他，左手輕撫琴柄，右手下意識(shí)地輪指，面前攤開一本大開本的油印教材，那是當(dāng)年北大四大才子之一的陳天權(quán)教授親自翻譯并刻印的俄羅斯莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)系卓里奇的《數(shù)學(xué)分析》。這部教材沉雄博大，立意極高，對(duì)于初學(xué)者而言，詰屈聱牙，生澀費(fèi)解。蔣同學(xué)經(jīng)常一個(gè)概念苦讀數(shù)十遍，方才融會(huì)貫通，撫琴朗笑。我等愚鈍之人依然百思未解，憂憤叢生。每到這時(shí)，蔣同學(xué)就會(huì)用非常質(zhì)樸的語言一針見血地講明概念或定理的本質(zhì)精髓，令大家醍醐灌頂，恍然大悟。繼而，蔣同學(xué)將輪指練習(xí)曲漸變成一段古典吉他名曲的Solo，酣暢淋漓，意猶未盡。

那時(shí)，清華校園有許多吉他高手，經(jīng)常有人前來九號(hào)樓216找蔣同學(xué)切磋技藝，交流心得。一日，一位和蔣同學(xué)惺惺相惜的高手前來，這位高手的輪指技藝爐火純青，卻對(duì)蔣同學(xué)恭敬有理，一反音樂浪子的狂狷風(fēng)格。他向老顧解釋說，在體溫恒定的情況下，他和老蔣的輪指技藝難分伯仲，但是在體溫降低之后，蔣同學(xué)的輪指頻率穩(wěn)定，技術(shù)過硬。對(duì)于蔣同學(xué)的內(nèi)在定力，老顧自然久已領(lǐng)教，不勝欽佩。

那時(shí)老顧年少無知，無法看出阿爾罕布拉宮的對(duì)稱雕塑，埃舍爾的鑲嵌和令人痛苦萬狀的微分拓?fù)渲g的深刻聯(lián)系。后來，我們學(xué)習(xí)了《抽象代數(shù)》，大家對(duì)于伽羅華理論的優(yōu)美如醉如癡。直到這時(shí)，老顧才領(lǐng)悟到對(duì)稱的嚴(yán)格意義。比如，埃舍爾的《天使和惡魔》，這幅圖畫在平面的某些特殊變換下保持不變，所有這些變換構(gòu)成一個(gè)群。這個(gè)群是這幅畫對(duì)稱性的嚴(yán)密描述。畫中的任意一點(diǎn)，在這個(gè)對(duì)稱群的作用下得到一系列的像點(diǎn)，這些像點(diǎn)構(gòu)成了軌道。我們將每條軌道視作一個(gè)抽象的點(diǎn)，就會(huì)得到原來圖畫的商空間。如果對(duì)稱群中的變換沒有不動(dòng)點(diǎn)，則對(duì)稱群的商空間構(gòu)成了一個(gè)流形。

那時(shí)大家都面黃肌瘦，骨相清奇，卻又年少輕狂，極端理想主義：只耽于愛情的浪漫我們不屑；沒有輪指技巧的吉他曲我們不屑；不夠抽象的數(shù)學(xué)我們不屑；不用匯編加速的編程我們不屑；但是對(duì)任何牌子的方便面，來者不拒。在學(xué)業(yè)上，大家自虐互虐，常年沉浸在 Pleasant Sorrow 之中。鄰班是體育試點(diǎn)班，少年們陽(yáng)光開朗，豪爽率真，敢愛敢恨，快意恩仇。有一次，鄰班的朋友問老顧：“為什么你的眼睛里總是充滿著淡淡的憂傷？”

多少年后，老顧才意識(shí)到一個(gè)人的學(xué)術(shù)品味和終生愛好大多是在大學(xué)期間奠定?！栋柡辈祭瓕m的回憶》的銷魂和埃舍爾《天使與惡魔》的深刻，潛移默化中使得老顧將幾何作為終生摯愛，無數(shù)次在生命轉(zhuǎn)折的關(guān)頭，老顧都是毫不猶豫地選擇了幾何。

老顧有幸追隨丘成桐先生學(xué)習(xí)微分幾何，對(duì)于對(duì)稱的理解又提升了一個(gè)層次。

圖11  共形映射和一般的映射

我們觀察圖11，人臉曲面映射到平面圓盤上，上面一排的映射將臉上的無窮小圓映到平面上的無窮小圓，這種映射被稱為是共形映射，或者保角映射；一般的映射如下面一排所示，映射將臉上的無窮小橢圓映到平面上的無窮小圓，這種映射被稱為是擬共形映射。

圖12  Poincare-Koebe的曲面單值化定理

埃舍爾的《天使和惡魔》實(shí)際上描述了自然界的一個(gè)異常深邃而優(yōu)美的基本定理：Poincare-Koebe的單值化定理。如圖12所示，任何一個(gè)封閉可定向的曲面，實(shí)現(xiàn)在三維歐式空間之中，都可以共形地映到一個(gè)帶有常值高斯曲率的曲面。常值高斯曲率的曲面可以由單位球面，歐式平面或者雙曲平面在某個(gè)等距對(duì)稱群作用下的商空間來表示。曲面的環(huán)柄數(shù)目被稱為是曲面的虧格。如左幀所示，虧格為零的曲面可以保角地映射到單位球面上。如中幀所示，虧格為1的曲面可以保角地映射到所謂的平環(huán)上面。平面上給定兩個(gè)方向不同的平移，它們生成一個(gè)交換群，作用到平面上，所得的商空間就是平環(huán)。右?guī)@示的是高虧格曲面情形。所有高虧格曲面都可以共形地映到一個(gè)雙曲曲面。對(duì)稱群由一些雙曲等距變換生成，作用在雙曲平面上，所得的商空間就是雙曲曲面。我們比較圖12的單值化定理和埃舍爾的《天使和惡魔》，可以看到它們的精神實(shí)質(zhì)是完全相同的。

理解單值化定理的剎那，老顧驚駭萬分。大千世界，各種各樣的曲面千變?nèi)f化，不可名狀，無以窮盡，但是所有的形狀最終歸結(jié)為三種標(biāo)準(zhǔn)曲面中的一種，所有曲面最終都?xì)w結(jié)為三種幾何中的一種：球面、歐氏和雙曲。大自然如此統(tǒng)一，如此簡(jiǎn)單，令人難以置信。但這卻是千真萬確，顛撲不破的真理，直至天荒地老，直至宇宙盡頭。這種激動(dòng)人心的壯美，令靈魂顫栗，令人生渺小，令思想永恒。作為一位計(jì)算機(jī)科學(xué)家，老顧對(duì)于自然真理的至高致敬形式就是：把定理轉(zhuǎn)換成實(shí)際算法，把定理的斷言計(jì)算出來！

但是，單值化定理異常抽象，其對(duì)應(yīng)的偏微分方程高度非線性，當(dāng)時(shí)不存在成熟的計(jì)算方法能夠計(jì)算單值化度量。從此，老顧踏上了苦苦求索的征程。

當(dāng)時(shí)，老顧對(duì)于單值化計(jì)算方法的追求完全出于單純的審美，也不知天高地厚。多少年之后回想，那個(gè)年代純粹數(shù)學(xué)領(lǐng)域和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域正經(jīng)歷著深刻的革命，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的革命為單值化定理的計(jì)算奠定了理論基礎(chǔ)；計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的革命為單值化定理提供了計(jì)算能力和計(jì)算素材的物質(zhì)基礎(chǔ)，并且提供了廣闊的應(yīng)用前景。當(dāng)時(shí)的老顧，因緣際會(huì)，正處于兩個(gè)領(lǐng)域變革的交匯點(diǎn)，占據(jù)了有利的天時(shí)、地利和人和，從而夙愿得償，與師長(zhǎng)和朋友們發(fā)展出計(jì)算共形幾何的理論和算法體系。但在那個(gè)歷史時(shí)刻，年輕的老顧對(duì)于歷史的脈絡(luò)和自身的位置茫然無知。

公元2000年左右，計(jì)算機(jī)硬件依隨摩爾定律發(fā)展，具備了強(qiáng)大的計(jì)算功能；軟件也日益成熟，特別是出現(xiàn)了兩大技術(shù)革命，極大地促進(jìn)了計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和數(shù)字幾何的發(fā)展。一個(gè)是三維掃描技術(shù)，一個(gè)是通用GPU技術(shù)。

在普及型三維掃描技術(shù)出現(xiàn)之前，獲取三維曲面模型非常困難。大多數(shù)三維工業(yè)設(shè)計(jì)是基于CAD的樣條技術(shù)，或者手工建模，幾何和拓?fù)湎鄬?duì)簡(jiǎn)單。早期的三維掃描技術(shù)基于雙目立體視覺或者激光掃描，DMD芯片技術(shù)的成熟使得基于結(jié)構(gòu)光的掃描技術(shù)突飛猛進(jìn)。DMD芯片將數(shù)十萬個(gè)微小鏡片集成到一個(gè)芯片之中，從而可以在像素級(jí)別精確控制光的強(qiáng)度，這使得基于波動(dòng)光學(xué)原理的光學(xué)測(cè)量技術(shù)大規(guī)模普及。一夜之間，大量的三維掃描數(shù)據(jù)在互聯(lián)網(wǎng)上涌現(xiàn)，具有復(fù)雜幾何和拓?fù)涞那妫偈挚傻谩?/span>

另一個(gè)影響深遠(yuǎn)的技術(shù)就是GPU的出現(xiàn)。在GPU出現(xiàn)之前，實(shí)時(shí)三維渲染只能在昂貴的專用SGI工作站上實(shí)現(xiàn)。GPU使得實(shí)時(shí)三維渲染可以在廉價(jià)的個(gè)人電腦上實(shí)現(xiàn)。特別是Vertex Shader和Pixel Shader技術(shù)的引進(jìn)，使得渲染的效果日益逼真。

這兩種技術(shù)使得三維數(shù)字電影和游戲工業(yè)蓬勃發(fā)展，數(shù)次達(dá)到歷史巔峰。同時(shí)在數(shù)字幾何的技術(shù)層面，提出了前所未有的復(fù)雜要求。例如光滑曲面的離散逼近，幾何數(shù)據(jù)的壓縮，曲面間的映射，渲染中的紋理貼圖等等。在這兩個(gè)技術(shù)出現(xiàn)之前，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)工具是線性代數(shù)；出現(xiàn)之后，代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀纬蔀榱酥饕獢?shù)學(xué)工具。單值化定理起到了不可或缺的核心作用。因此，時(shí)代在呼喚著單值化的計(jì)算理論，工業(yè)化進(jìn)程為計(jì)算共形幾何奠定了物質(zhì)基礎(chǔ)。

在過去的數(shù)十年，純粹數(shù)學(xué)領(lǐng)域也經(jīng)歷了幾場(chǎng)革命。圍繞著龐加萊猜想的證明，出現(xiàn)了兩大流派：丘成桐先生主導(dǎo)的幾何分析流派和瑟斯頓（Thurston）領(lǐng)導(dǎo)的幾何拓?fù)淞髋伞?/span>

瑟斯頓和丘先生同為菲爾茲獎(jiǎng)得主。瑟斯頓迷戀于曲面單值化定理的簡(jiǎn)單和諧，出于對(duì)美學(xué)的強(qiáng)烈信念，他認(rèn)為曲面的單值化定理應(yīng)該可以推廣到三維流形。如圖12所示，所有的曲面都在共形等價(jià)的意義下歸結(jié)為三種標(biāo)準(zhǔn)幾何結(jié)構(gòu)，球面幾何，歐氏幾何和雙曲幾何，并且曲面所兼容的幾何結(jié)構(gòu)取決于曲面的拓?fù)洹１热?，如果一個(gè)封閉的曲面容許雙曲幾何，我們可以斷言曲面的虧格必然大于1。瑟斯頓緊緊抓住這一思想，提出了極為深刻而宏大的幾何化猜想：所有的三維流形可以被分解成素的三流形，所謂素流形就是無法再分解為更簡(jiǎn)單的流形；所有素流形可以配備八種標(biāo)準(zhǔn)幾何中的一種，一個(gè)素流形能夠配備哪種幾何取決于流形的拓?fù)?。瑟斯頓猜想的最簡(jiǎn)單情形，單聯(lián)通的流形（即所有圈在流形內(nèi)都可以縮成一個(gè)點(diǎn)）就是龐加萊猜想。

圖13  瑟斯頓的蘋果

瑟斯頓用一個(gè)蘋果解釋了他的思想。如圖13所示，左幀是一個(gè)蘋果，被三條蛀蟲蛀蝕出三條隧道。這些隧道相互勾連，彼此纏繞。根據(jù)一些簡(jiǎn)單的拓?fù)渑袛?，瑟斯頓斷言這個(gè)蘋果容許一個(gè)雙曲黎曼度量，使得其邊界為雙曲曲面。右圖顯示的是瑟斯頓蘋果的雙曲幾何結(jié)構(gòu)，和曲面單值化的雙曲情形相類似（圖12右?guī)@一幾何結(jié)構(gòu)表示成三維雙曲空間在某個(gè)對(duì)稱群作用下的商空間。因此這幅圖是阿爾罕布拉宮中對(duì)稱圖案的直接推廣，因?yàn)樗侨S的，二維平面無法完全表達(dá)其內(nèi)在的精細(xì)結(jié)構(gòu)，我們相信借助VR/AR技術(shù)，這種對(duì)稱會(huì)被更多的人所領(lǐng)悟，欣賞。

瑟斯頓的思想支配了拓?fù)漕I(lǐng)域長(zhǎng)達(dá)三十年，其研究手法是組合結(jié)構(gòu)加上幾何結(jié)構(gòu)，下面的例子可以很好地說明瑟斯頓研究手法。

圖14  瑟斯頓的Circle Packing想法

如圖14所示，給定一個(gè)平面圖（Planar Graph），我們將平面圖三角剖分，從而得到一個(gè)組合結(jié)構(gòu)。我們?cè)诿總€(gè)頂點(diǎn)處放上一個(gè)圓盤，每條邊上的兩個(gè)圓盤彼此相切，這被稱為是一個(gè)Circe Packing，如左幀所示。瑟斯頓斷言：存在一種circle packing，使得所有的邊界頂點(diǎn)處的圓和單位圓相切，并且所有這種circle packing彼此相差一個(gè)莫比烏斯變換，如右?guī)?。瑟斯頓如下證明，每個(gè)三角形有三個(gè)圓盤，兩兩相切，存在唯一的一個(gè)圓，過三個(gè)切點(diǎn)，同時(shí)和此三個(gè)圓垂直，我們稱之為Power Circle。我們將三維歐式空間的上半空間看成是三維雙曲空間，那么xy平面稱為無窮遠(yuǎn)平面，過無窮遠(yuǎn)平面上的每個(gè)圓做一個(gè)半球面，則此半球面是一張雙曲平面。Circle Packing中所有的圓加上所有的Power Circle決定了許多雙曲平面。每張雙曲平面將三維雙曲空間分成一對(duì)雙曲半空間，這些雙曲半空間的交集是一個(gè)三維的雙曲凸多面體，具有無窮遠(yuǎn)尖點(diǎn)。這個(gè)多面體的拓?fù)溆扇瞧史种付?，配備上雙曲度量后在三維雙曲空間中的等距嵌入彼此相差一個(gè)莫比烏斯變換，于是就得到右?guī)?/span>

由圖11，我們知道共形變換將無窮小圓映成無窮小圓。瑟斯頓的Circle Packing將有限圓映成有限圓。瑟斯頓猜想，如果我們將三角剖分無限加細(xì)，那么圖14中，由Circle Packing誘導(dǎo)的映射將會(huì)收斂到光滑的共形映射，即所謂的黎曼映照。這一猜想由沃爾夫獎(jiǎng)得主 Sullivan 和Rodin證明。這一方法在計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域開創(chuàng)了計(jì)算復(fù)變函數(shù)方向，在80, 90年代許多數(shù)學(xué)家研究如何用Circle Packing來計(jì)算平面區(qū)域間的保角變換。一方面因?yàn)闆]有曲面的數(shù)據(jù)可供研究，另一方面這個(gè)方向的數(shù)學(xué)家的背景以復(fù)變函數(shù)居多，沒有微分幾何學(xué)家的加盟，這一方法沒有推廣到曲面上面。同時(shí)，這種方法效率低下，無法計(jì)算規(guī)模龐大的復(fù)雜三角剖分。

瑟斯頓將對(duì)稱推廣到三維流形，將所有素流形歸結(jié)為八種幾何，這一格局氣勢(shì)磅礴，恢弘博大，獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷數(shù)十年。但是，這一途徑難酬眾望，沒能證明龐加萊猜想。最終證明龐加萊猜想和瑟斯頓猜想的是丘先生所創(chuàng)立的幾何分析流派的方法。

丘成桐先生年輕求學(xué)時(shí)得到兩大世外高人的垂青，微分幾何大師陳省身先生和微分方程大師Morrey教授。兩大高手將畢生絕學(xué)傾囊相授，丘先生天縱奇才，將兩大高手的內(nèi)功融匯貫通，獨(dú)樹一幟，創(chuàng)立幾何分析學(xué)派。在丘先生之前，懂微分幾何的人不懂微分方程，懂微分方程的人不懂微分幾何。幾何分析學(xué)派橫空出世，雷霆萬鈞，將無數(shù)基本猜想，迎頭擊破。龐加萊猜想的證明就是幾何分析方法的又一力作。幾何分析的精髓在于用微分方程來研究微分幾何，進(jìn)而研究拓?fù)洹?/span>

圖15  文藝青年，Richard Hamilton教授

哈密爾頓教授，風(fēng)流倜儻，特立獨(dú)行，熱愛數(shù)學(xué)和女性，酷愛沖浪。一次，哈密爾頓在圣地亞哥海邊沖浪，看到驚濤拍岸，浪花四濺，產(chǎn)生頓悟，提出了Ricci曲率流的光輝思想。這一思想的要義如下：對(duì)于給定的拓?fù)淞餍危紫热芜x一個(gè)黎曼度量，然后將度量變形，度量的變化正比于曲率，這樣曲率就會(huì)依隨時(shí)間演化，最終曲率變成常數(shù)，得到標(biāo)準(zhǔn)幾何。這一思想，簡(jiǎn)潔優(yōu)雅卻又強(qiáng)悍兇猛，無堅(jiān)不摧。

老顧在哈佛讀書的時(shí)候，哈密爾頓每周都從紐約來到波士頓，和丘先生探討龐加萊猜測(cè)的證明，有時(shí)通宵達(dá)旦，廢寢忘食。所有的人都傾向認(rèn)為Ricci流會(huì)最終證明龐加萊猜測(cè)，又都深知其內(nèi)在的困難。在Ricci流中，曲率依隨時(shí)間演化的規(guī)律可以被描述成是反應(yīng)-擴(kuò)散方程，反應(yīng)項(xiàng)是曲率流的正反饋項(xiàng)，使得曲率可能在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到無窮；擴(kuò)散項(xiàng)是曲率流的負(fù)反饋項(xiàng)，使得曲率趨于常數(shù)。Ricci流的本質(zhì)問題是東風(fēng)壓倒西風(fēng)，還是西風(fēng)壓倒東風(fēng)。

幸運(yùn)的是，對(duì)于曲面情形，擴(kuò)散項(xiàng)壓倒了反應(yīng)項(xiàng)，曲率流穩(wěn)定，收斂于常數(shù)，這給出了單值化定理的微分幾何構(gòu)造性證明。而這，正是老顧尋求多年的算法理論基礎(chǔ)。不幸的是，對(duì)于三流形情形，特別是龐加萊猜想的證明中，有可能曲率在有限時(shí)間內(nèi)爆破，產(chǎn)生奇點(diǎn)。那時(shí)，哈密爾頓已經(jīng)證明了瑟斯頓猜想的絕大部分，但是對(duì)于奇點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和處理依然在探索之中。

公元2001年，丘成桐先生在臺(tái)北主持召開了世界華人數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICCM 2001），全世界的華裔數(shù)學(xué)家濟(jì)濟(jì)一堂，宣講新近成果，思想交流，頭腦風(fēng)暴。其中兩位數(shù)學(xué)家思想碰撞，結(jié)出了璀璨的成果。

Bennett Chow教授是丘先生和哈密爾頓共同的學(xué)生，在用曲面Ricci流證明單值化定理中，哈密爾頓證明了虧格為正的情形，最為困難的是虧格為零的情形，由Ben Chow完成。這一證明充分顯示了他的幾何分析實(shí)力。另一位是羅鋒教授，他是菲爾茨獎(jiǎng)得主Freedman的學(xué)生。Freedman證明了四維龐加萊猜想，他們傾向于瑟斯頓的幾何拓?fù)浞较?。Ben Chow代表了Ricci流方向，羅鋒代表了瑟斯頓的幾何化方向，通過熱切的交流，他們?nèi)趨R了兩個(gè)方向：他們證明了瑟斯頓的Circle Packing方法和哈密爾頓的曲面Ricci流方法本質(zhì)是相通的，從而共同撰寫了一篇論文，提出了組合的曲面Ricci流的理論。

公元2002年暑期，丘先生在加州理工大學(xué)休假（sabbatical），作為學(xué)生的老顧跟隨左右。在加州大學(xué)洛杉磯分校的劉克峰教授在家中為丘先生祝壽，老顧頭一次遇到從圣地亞哥趕來的Bennett Chow教授。那時(shí)，Ben剛剛完成組合Ricci流的論文，異常興奮地介紹給老顧。老顧已經(jīng)知道單值化的計(jì)算應(yīng)該用Ricci流的理論，但是經(jīng)典的Ricci流理論是建立在光滑流形上面，而在計(jì)算機(jī)上所有的幾何數(shù)據(jù)都是離散的，連續(xù)Ricci流的離散解釋正是問題的關(guān)鍵！在桑塔莫尼塔的海灘上，在洛杉磯藍(lán)得令人發(fā)暈的蒼穹下，老顧理解了羅峰和Ben Chow的理論，開始了新的征程。

后來，老顧驅(qū)車到格羅斯大學(xué)和羅鋒教授會(huì)面，開始了長(zhǎng)達(dá)十?dāng)?shù)年的合作。我們迅速地發(fā)展并完善了算法，運(yùn)用強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)技術(shù)計(jì)算所有可能曲面的單值化。特別是如圖16所示，我們將理論進(jìn)一步深化，將單值化算法拓展到帶邊界的曲面情形。圖12和圖16，實(shí)際上已經(jīng)涵蓋了自然界中所有可能形狀。老顧多年的愿望終于實(shí)現(xiàn)。

圖16  帶邊界曲面的單值化

在計(jì)算實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)計(jì)算效率有待提高。那時(shí)，佩雷爾曼給出了龐加萊猜想證明的完整圖景，他指出哈密爾頓的Ricci流是某個(gè)能量的梯度流，這個(gè)能量被他稱為熵。在離散曲面Ricci流中，我們找到了這個(gè)熵能量，在歐氏和雙曲幾何中，熵能量是凸能量，單值化度量可以用牛頓法求出，從而將計(jì)算效率提高了幾個(gè)數(shù)量級(jí)。

因?yàn)閱沃祷ɡ硎乔嫖⒎謳缀巫顬楦镜囊粋€(gè)定理，共形結(jié)構(gòu)是自然界中至關(guān)重要的幾何結(jié)構(gòu)，離散曲率流的方法在幾乎所有的工程和醫(yī)學(xué)領(lǐng)域都得到了重要應(yīng)用。老顧的許多朋友陸續(xù)加入進(jìn)來，王雅琳教授，雷諾銘教授，秦宏教授，張松教授，高潔教授，段曄教授，華璟教授，我們一同在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，計(jì)算機(jī)視覺，幾何建模，可視化，網(wǎng)絡(luò)，醫(yī)學(xué)圖像等領(lǐng)域開疆拓土。這時(shí)，國(guó)際上有許多研究機(jī)構(gòu)也在做著類似的研究，競(jìng)爭(zhēng)激烈，甚至達(dá)到殘酷的地步。出于對(duì)單值化定理的偏愛，老顧團(tuán)隊(duì)一直以Ricci流為主要武器。加州理工團(tuán)隊(duì)用聯(lián)絡(luò)，我們用曲率流；斯坦福團(tuán)隊(duì)用熱核，我們用曲率流；普林斯頓團(tuán)隊(duì)用統(tǒng)計(jì)，我們用曲率流；耶魯團(tuán)隊(duì)用流體力學(xué)，我們用曲率流。老顧的許多學(xué)生也深深地被自然的壯美所吸引，夜以繼日，勤奮鉆研。他們中的很多人現(xiàn)在也是大學(xué)教授了，散布在世界的各個(gè)角落，繼續(xù)傳播著幾何對(duì)稱之美。

在過去的十?dāng)?shù)年間，計(jì)算共形幾何的思想和方法廣泛傳播，學(xué)術(shù)界和工業(yè)界紛紛采納離散Ricci流的算法。西門子公司，GE公司，暴雪公司目前都在使用老顧團(tuán)隊(duì)的算法。作為計(jì)算機(jī)科學(xué)研究者，老顧倍覺欣慰，但是作為數(shù)學(xué)科學(xué)研究者，老顧依然覺得嚴(yán)密性欠缺：離散曲面Ricci流解的存在性依然沒有嚴(yán)格證明。從工程實(shí)踐上看，目前的理論盡善盡美，屢試不爽；但是從數(shù)學(xué)角度上看，經(jīng)驗(yàn)性的論證無法取代嚴(yán)格理論證明。這反映了工程領(lǐng)域和基礎(chǔ)科學(xué)領(lǐng)域價(jià)值觀念的巨大差異。

為了追求心中理想主義，為了建立離散Ricci流的永恒價(jià)值，羅鋒教授和老顧開始了長(zhǎng)達(dá)八年的求索。期間，老顧的清華師弟孫劍教授加入了團(tuán)隊(duì)。孫劍教授當(dāng)年主修力學(xué)，后在俄亥俄州立學(xué)習(xí)計(jì)算幾何，在普林斯頓和斯坦福深造，對(duì)于離散幾何具有近乎天然的敏感。在孫教授加入之前，大家傾向于認(rèn)為黎曼度量從屬于組合結(jié)構(gòu)，他力主組合結(jié)構(gòu)從屬于黎曼度量，在離散Ricci流中三角剖分應(yīng)該動(dòng)態(tài)調(diào)整，保持Delaunay特性。這一洞察徹底改觀了整個(gè)理論證明過程，我們應(yīng)用瑟斯頓流派的利器：泰希米勒（Teichmuller）空間理論，一舉證明了離散Ricci流解的存在性問題?；厥装四?，感慨萬千：在工業(yè)界，為了證明一個(gè)已經(jīng)完美的算法是可靠的，這種行為不可想象，近于迂腐冥頑；在學(xué)術(shù)界，這種奢侈或者自虐是正常的，人類知識(shí)的積累需要嚴(yán)格性的保證，以避免文明的土崩瓦解。八年對(duì)于一個(gè)學(xué)者而言是漫長(zhǎng)的，但在歷史長(zhǎng)河中，只是短暫的一瞬。作為一位數(shù)學(xué)家，對(duì)于自然真理的至高致敬形式就是：把定理用新的方法證明出來！

公元2016年3月20日，“看見李健”世界巡回演唱會(huì)在紐約林肯中心首站開唱，老顧前去為師弟捧場(chǎng)。聚光燈下，當(dāng)年的青蔥少年已經(jīng)成長(zhǎng)為“音樂詩(shī)人”。

文質(zhì)彬彬的李健，一臉“清華式”的憂郁，質(zhì)樸單純的言辭，拘謹(jǐn)木訥的舉止，渾身散發(fā)著清華男生的氣質(zhì)。這一年，紐約暖冬，一直沒有下雪，卻在3月20日這一晚飛雪漫天。李健忽然道，臺(tái)上有點(diǎn)冷，手的溫度偏低，可能會(huì)影響下一段吉他Solo。臺(tái)下的老顧莞爾一笑，知道李健將要炫耀輪指技巧。舞臺(tái)助理端上一杯熱水讓李健暖手，李健毫無巨星的矯揉造作，直接不顧形象地暖手，令人倍覺親切。然后一曲《夢(mèng)一場(chǎng)》的吉他前奏，令人心碎的輪指響起，宛如《阿爾罕布拉宮的回憶》中的嘆息，在林肯音樂廳久久回蕩。

圖17  李健紐約林肯中心演唱會(huì)，2016年3月20日。

李健一曲《傳奇》，空靈澄澈，纏綿繾綣?！秱髌妗返脑~作者，清華84級(jí)建筑系的劉兵師兄坐在二樓嘉賓席上。李健替劉師兄抱怨道：中國(guó)沒有成熟的版權(quán)制度，否則師兄何以淪落到在波士頓開幼兒園的地步，并號(hào)召大家把孩子送到劉師兄的幼兒園。

老顧覺得李健和劉兵都在音樂領(lǐng)域青史留名，無論現(xiàn)實(shí)的生活多么窘迫，他們創(chuàng)造出的精神財(cái)富，足以傳世。李健為了理想主義，在樂壇蟄伏二十年，不慕財(cái)富，不求聞達(dá)，從未為了市場(chǎng)而流俗從眾，堅(jiān)守曲高和寡的孤獨(dú)和寂寞，終于等到云開霧散，一鳴驚人。他的耐心，等來了聽眾品味的提高，他空靈優(yōu)雅的音樂終于被主流所接受。李健的憂郁、木訥、輪指、執(zhí)著、理想主義，無不體現(xiàn)著清華的特色。

2015年的冬季，老顧有機(jī)會(huì)短期到清華數(shù)學(xué)科學(xué)中心訪問。午夜時(shí)分，老顧來到九號(hào)樓舊址，這里已是殘?jiān)珨啾?，滿目蒼夷，月色清冷，寂寥無人，寒風(fēng)凜冽，枯樹瑟索。或許是幻聽，無際夜色中縹緲地傳來《阿爾罕布拉宮的回憶》，令人心碎的輪指在夜風(fēng)中嘆息，昔日的Pleasant Sorrow變成了Deja Vu。老顧梳理著二十年的歲月：從摩爾人的雕飾，到泰雷加的輪指，到埃舍爾的鑲嵌，到Poincare-Koebe的單值化定理，到瑟斯頓的幾何化綱領(lǐng)，到哈密爾頓的Ricci流，到佩雷爾曼的熵能量，到DMD芯片，到GPU的Pixel Shader，到我們的離散Ricci流算法，歷史的涓涓細(xì)流融匯流淌，構(gòu)成了時(shí)代的洪流。我們個(gè)人的命運(yùn)被這洪流裹挾，身不由己，雖然卑微渺小，但是依然會(huì)留下些許痕跡。樓堂殿宇抵不過時(shí)間的侵蝕，終究歸為塵土瓦礫，但是精神的審美，自然的結(jié)構(gòu)，亙古長(zhǎng)存。相信，那一刻在校園的某個(gè)角落，一定有位少年在磨煉輪指技巧，或者在臨摹埃舍爾的天使與惡魔，或者在思索單值化定理的證明，或者在體悟幾何化猜想，更會(huì)有年輕人在復(fù)制我們離散Ricci流的算法，在計(jì)算機(jī)屏幕上感喟自然界最深層次的對(duì)稱之美。

公元2016年5月，老顧終于得見Pixel Shader之父，彭亮博士。兩人在長(zhǎng)島岸邊眺望夕陽(yáng)入海，不經(jīng)意間，彭博士說了一句：作為一位體系架構(gòu)師，對(duì)于自然真理的至高致敬形式就是：把定理的算法做成芯片......

（老顧將于2016年7月4日至8月29日在清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心教授《計(jì)算共形幾何》課程。每周一、三下午3:10，于近春園西樓上課，公開免費(fèi)，歡迎前來。同時(shí)，老顧將會(huì)訪問如下學(xué)校，并做演講：7月1日，大連理工大學(xué)軟件學(xué)院；7月11日，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系；7月13日，青島山東大學(xué)計(jì)算機(jī)系；7月20日，天津大學(xué)計(jì)算機(jī)系。

這篇文章回憶了離散Ricci流的歷史由來，這些講座將詳細(xì)介紹離散Ricci流的理論，算法和應(yīng)用，敬請(qǐng)光臨。）