“代數(shù)拓?fù)涞恼Z言為什么這么古怪？它究竟在說些什么？我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)代數(shù)拓?fù)洌吭谟?jì)算機(jī)方面有什么實(shí)際應(yīng)用嗎？”發(fā)問的是一位少年，目光澄澈，表情無辜，雖然滿臉膠原蛋白，但是已經(jīng)稍顯謝頂?shù)膬A向，這是典型的早期男博士生的形象。

這些問題令老顧陷入深思。其實(shí)老顧內(nèi)心很清楚，如果這位同學(xué)潛心鉆研代數(shù)拓?fù)洌敲床怀鲆荒?，他自己?yīng)該可以完全回答前面幾個(gè)理論問題，假以時(shí)日，他自然會找到計(jì)算機(jī)方面的應(yīng)用。但是，令老顧糾結(jié)的是目前深度學(xué)習(xí)的方法迅猛發(fā)展，幾乎顛覆了計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域的所有分支，那么是應(yīng)該讓這位同學(xué)潛心學(xué)習(xí)抽象的代數(shù)拓?fù)溥€是訓(xùn)練他實(shí)際的調(diào)參能力？

斟酌再三，老顧決定給這位同學(xué)講一下自己親身經(jīng)歷的一些計(jì)算機(jī)科學(xué)方面的研究項(xiàng)目，這些項(xiàng)目的關(guān)鍵思想來自代數(shù)拓?fù)?，再讓這位同學(xué)自行決定自己未來的道路。

在上一次人工智能的浪潮中，人們普遍認(rèn)可的方法是符號主義。人類的知識體系一直遵循著古希臘人創(chuàng)立的公理-定理體系，從顯而易見的基本事實(shí)開始搭建公理體系，用邏輯從公理推演，從而建筑宏偉的理論體系。從歐幾里得幾何學(xué)到牛頓力學(xué)，直至廣義相對論，都是如此構(gòu)造。代數(shù)拓?fù)渥裱@一框架，從直觀的公理體系出發(fā)，通過嚴(yán)格的代數(shù)運(yùn)算來推演一切定理。

如果將公理符號化，用邏輯代數(shù)，我們可以計(jì)算出來理論體系中的所有定理。因此，人們認(rèn)為智慧在很大層面上就是邏輯推理。人工智能的主要目標(biāo)之一就是開發(fā)各種算法來實(shí)現(xiàn)自動(dòng)推理。這方面的最為成功的領(lǐng)域是機(jī)器定理證明，其中最為杰出的代表是吳文俊先生所創(chuàng)立的“吳方法”。這里的基本思想是將條件和結(jié)論都表述成多元多項(xiàng)式，然后判斷結(jié)論多項(xiàng)式是否在條件多項(xiàng)式生成的理想里面。應(yīng)用吳方法，計(jì)算機(jī)完全可以自動(dòng)證明歐幾里得幾何學(xué)中的所有定理。后來，吳先生的高足高曉山研究員推廣出“微分結(jié)式”方法，從而可以用計(jì)算機(jī)證明局部微分幾何的定理，例如從黎曼度量得到高斯曲率公式。

老顧有幸有機(jī)會和高曉山教授、王東明院士請教機(jī)器定理證明的問題。他們認(rèn)為目前機(jī)器定理證明依然無法證明整體微分幾何定理，例如著名的高斯-博納定理，即高斯曲率在整個(gè)曲面上的積分和歐拉示性數(shù)的關(guān)系。陳省身先生曾經(jīng)指出從局部微分幾何到整體微分幾何的橋梁在于代數(shù)拓?fù)洹Ｈ绻麢C(jī)器定理證明方法能夠證明代數(shù)拓?fù)涠ɡ?，那么整體微分幾何定理就可以被計(jì)算機(jī)自動(dòng)證明。

目前我們所處的人工智能浪潮以聯(lián)結(jié)主義為主，人們更加注重相關(guān)性而非因果性，用聯(lián)合概率分布來取代傳統(tǒng)的定理、定律，并在圖像、語音、文本處理等很多方面取得了突破性進(jìn)展。深度學(xué)習(xí)方法的理論根基在于統(tǒng)計(jì)概率分布的表示和變換。那么，概率分布變換的最為基本而普適的理論自然是最優(yōu)傳輸理論（Optimal Mass Transportation Theory）。

圖1. 最優(yōu)傳輸映射可以實(shí)現(xiàn)流形上概率分布的變換。

最優(yōu)傳輸理論被廣泛應(yīng)用于生成模型（Generative Model），例如近年來非常熱門的對抗-生成網(wǎng)絡(luò)（Generative-Adverserial Networks）。最優(yōu)傳輸理論涉及到蒙日-安培方程（Monge-Ampere Equation），從而有一個(gè)非常直觀的幾何解釋：閔可夫斯基（Minkowski）問題和亞歷山大（Alexandroff）問題。

      圖2. Alexandroff問題。

Alexandroff問題如圖2所示，給定三維歐氏空間中的一族平面，平面的法向量固定，但是高度未知，這些平面的“上包絡(luò)”構(gòu)成一個(gè)開放的凸多面體。凸多面體向平面圓盤投影，構(gòu)成圓盤的剖分，每個(gè)胞腔的面積給定，試問凸多面體是否存在，是否唯一。Alexandroff在1950年代證明了對于任意給定的胞腔投影面積，如果這些投影面積之和等于圓盤面積，那么凸多面體存在，并且彼此相差一個(gè)垂直平移。

Alexandroff的證明是基于代數(shù)拓?fù)渲械?span>區(qū)域不變性定理 （invariance of domain）：假設(shè)  是連通開集，映射是連續(xù)單射，那么也是開集，是拓?fù)渫摺?/p>

Alexandroff的證明思路如下：設(shè)平面族為，這里梯度固定，截距變動(dòng)；平面族的上包絡(luò)函數(shù)為，上包絡(luò)投影到平面，形成平面的胞腔分解，支撐平面映射到平面的胞腔，胞腔和平面圓盤的交集面積為。那么，所有胞腔面積和等于圓盤面積：；我們要求所有平面的截距和等于0：。如此我們得從截距到投影面積的映射：

顯然這個(gè)映射是連續(xù)映射。由Brunn-Minkowski不等式，可以證明是單射。由區(qū)域不變性定理，我們知道是滿射。因此，任給投影面積，存在截距，，即存在滿足要求的凸多面體。

圖3. 共形變換：狹縫映射。

圖3顯示了共形變換中的狹縫映射（slit mapping）。給定一個(gè)帶黎曼度量的曲面，虧格為0，帶有多個(gè)邊界，則存在一個(gè)共形映射，將曲面映到單位平面環(huán)帶，兩條邊界映成內(nèi)圓和外圓，其他邊界映成同心圓?。íM縫），并且這種映射彼此相差一個(gè)旋轉(zhuǎn)。這種映射的存在性依賴于Hodge理論：黎曼流形上橢圓型偏微分方程解的空間維數(shù)等于相應(yīng)上同調(diào)群的維數(shù)。

圖4. 曲面上的全純微分。

假設(shè)共形狹縫映射存在，那么映射的微分是曲面上的全純微分形式（holomorphic differential），全純微分的實(shí)部滿足曲面上橢圓型PDE，每個(gè)上同調(diào)類中存在唯一的解。這里，存在性依賴于曲面的上同調(diào)群。同調(diào)群是代數(shù)拓?fù)涞幕靖拍?。曾?jīng)有一位清華的訪問學(xué)生學(xué)會了共形狹縫映射方法，巧妙地用于圖像矢量化工作，后來成為一名英國大學(xué)的教授。

圖5. 圓域映射。

圖5顯示了另外一種典范映射，圓域映射，就是將0虧格多聯(lián)通曲面映到單位圓環(huán)上，每條邊界映射歐氏圓。我們需要證明這種映射的存在性和唯一性。由狹縫映射的存在性，我們知道曲面可以映到狹縫區(qū)域，如果每個(gè)狹縫區(qū)域能夠貢獻(xiàn)映射到平面圓域，那么定理得證。我們考察從圓域到狹縫區(qū)域的共形映射：

,

在圓域中，每個(gè)小圓用圓心和半徑來表示；在狹縫域中，每條狹縫用半徑，起始和終止角度來表示，我們用表示內(nèi)圓半徑，等到映射

如果兩個(gè)圓域之間存在共形映射，我們將圓域關(guān)于其內(nèi)部邊界反演，根據(jù)Schwartz反射原理（Schwartz Reflection Principle），我們可以將共形映射拓展到反射像上。重復(fù)反演過程，直至填滿整個(gè)圓盤，那么延拓后的共形映射必為恒同映射，這意味著初始的兩個(gè)圓域重合。由此，我們可以證明從圓域到狹縫域的映射為單射。不難證明也是連續(xù)映射。由區(qū)域不變性定理，為滿射。任何一個(gè)狹縫區(qū)域，可以映成圓域。圓域共形映射定理得證。

黎奇流方法是一種強(qiáng)有力的計(jì)算方法，給定目標(biāo)曲率，它可以算出相應(yīng)的黎曼度量。假設(shè)給黎曼度量曲面，黎曼度量誘導(dǎo)的高斯曲率為，滿足高斯-博納定理

,

設(shè)共形因子函數(shù)為，黎曼度量變換為，誘導(dǎo)的曲率為，那么它們滿足Yamabe方程

,

共形因子可以由Ricci 流方法算出，

。

在計(jì)算機(jī)應(yīng)用中，我們用離散的三角網(wǎng)格來逼近曲面，用邊長來定義離散黎曼度量，用角欠（angle deficit，即每個(gè)頂點(diǎn)周角和與平面周角和之差差）來定義離散高斯曲率。我們在頂點(diǎn)集合上定義離散共形因子函數(shù)，離散度量的共形變換定義為。離散Ricci流和連續(xù)Ricci流定義一致。

在實(shí)際應(yīng)用中，我們發(fā)現(xiàn)了嚴(yán)重的問題。在流的過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)某些三角形退化，其邊長的三角形不等式不再成立，Ricci流無以為繼，以失敗而告終。那么哪些目標(biāo)曲率能夠達(dá)到，流過去的路徑是否存在，如何設(shè)計(jì)這種路徑，這些問題必須得到完滿回答，否則算法不具有實(shí)用價(jià)值。后來經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)原來思想上的有一個(gè)誤區(qū)，那就是保持曲面的組合結(jié)構(gòu)不變，如果我們?nèi)菰S在流的過程中三角剖分動(dòng)態(tài)變化，始終和當(dāng)前的度量保持Delaunay關(guān)系，那么離散Ricci流從來不會退化。但是，我們需要嚴(yán)格證明在這種流下，算法能夠到達(dá)目標(biāo)曲率，換言之，我們需要證明離散黎奇流解的存在性。

這一證明非常困難，因?yàn)閺某跏祭杪攘坑袩o窮多種路徑到達(dá)目標(biāo)度量，依循不同的路徑，三角剖分非發(fā)生復(fù)雜的變化，我們需要證明目標(biāo)度量下所有幾何量和組合結(jié)構(gòu)和路徑選取無關(guān)。最終我們要證明從離散共形因子到離散高斯曲率，

是連續(xù)單射，根據(jù)區(qū)域不變定理，這個(gè)映射是滿射，因此對于任意目標(biāo)曲率滿足高斯-博納條件，離散共形度量存在。

圖6. 單值化定理。

這一定理可以推出離散單值化定理，即所有曲面可以配備三種標(biāo)準(zhǔn)度量中的一種：球面，歐氏或者雙曲度量。

通過上面的幾個(gè)例子，我們看到代數(shù)拓?fù)涫谴嬖谛宰C明的強(qiáng)有力的工具，對于很多非?；镜膸缀嗡惴?，其解的存在性和計(jì)算穩(wěn)定性都需要代數(shù)拓?fù)渥鳛槔碚撝巍Ｔ诳蒲兄?，我們頻繁使用區(qū)域不變定理，這一定理貌似簡單，但是其證明非常艱深，并且這種艱深是來自深刻概念上的艱深。這一定理來自若當(dāng)分離定理（Jordan Separation theorem），若當(dāng)定理是老顧見過的最為“大智若愚”的定理。

圖7. 若當(dāng)曲線定理。

如圖7所示，若當(dāng)曲線定理（Jordan Curve Theorem）說平面上一條連續(xù)封閉簡單曲線（無自交點(diǎn)）將平面分成兩個(gè)分離的連通子集，內(nèi)部和外部。每個(gè)子集自身都是道路連通的，但是彼此分離。這一定理非常符合人類直覺，以至于我們覺得它是不辯自明的。我們無法確認(rèn)這一事實(shí)是一條定理，還是一條公理。人類也是經(jīng)歷了漫長歲月，才意識到這一事實(shí)需要嚴(yán)格證明，又花費(fèi)了漫長歲月才真正給出嚴(yán)格的證明。那么，我們?yōu)槭裁葱枰萌绱嘶逎恼Z言來證明如此顯而易見的事實(shí)呢？難道是出于數(shù)學(xué)家的孤芳自賞嗎？

真正的原因在于人類的直覺并不可靠，很多貌似合理的論斷都是似是而非的謬論。另一方面，人類在拓?fù)浞矫娴闹庇X相對有限，高維情形很難建立起來想像力，唯一能夠把握的只有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。比如，我們觀察圖7，Jordan曲線將平面分成道路連通的兩部分，每一部分都是單連通的，亦即在曲線內(nèi)部（或者外部）的任意封閉曲線都可以在內(nèi)部（或者外部）逐漸縮成一個(gè)點(diǎn)。這一觀察也非常符合直覺。這被稱為是Schonflies定理。但是當(dāng)我們將這兩個(gè)結(jié)論推向高維的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)直覺起不了太大作用，Jordan分離定理可以被推廣，但是Schonflies定理在三維的時(shí)候就已經(jīng)失效。

那么，我們?yōu)槭裁催@么重視如此反直覺的拓?fù)涠ɡ?？因?yàn)檫@個(gè)古怪的定理可以推出區(qū)域不變性定理，而區(qū)域不變性定理可以證明大量計(jì)算機(jī)算法解的存在性，是計(jì)算機(jī)科學(xué)不可或缺的理論基礎(chǔ)。

代數(shù)拓?fù)浞浅３橄螅巧铄鋬?yōu)美，為工程應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。從增強(qiáng)學(xué)術(shù)修養(yǎng)角度而言，也是值得學(xué)習(xí)。代數(shù)拓?fù)涞乃枷胧址▽τ谘芯糠栔髁x的人工智能非常有意義，她為我們提供了一個(gè)不同的視角來思考如何定義智能。

目前計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展非常迅猛，因此在一定程度上理論分析相對滯后。很多學(xué)生忽視理論修養(yǎng)的培養(yǎng)，將有限的精力全部投入到無限的調(diào)參上去，這種學(xué)習(xí)方法值得商榷。例如，在Wasserstein GAN中，有一個(gè)廣為人知的困難：如果概率分布的支集（support）具有多個(gè)連通分支，那么GAN的訓(xùn)練收斂非常困難。很多學(xué)生百折不撓地調(diào)整參數(shù)，試圖解決這一問題。根據(jù)我們的理論結(jié)果，在這種情形下，最優(yōu)傳輸映射無法被深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表示，換言之，在DNN的框架下，解并不存在，因此工程上無論如何努力，也彌補(bǔ)不了理論的缺陷。

看著少年漸漸深入深思，老顧相信他會潛心研究代數(shù)拓?fù)涞?。老顧知道他的精神必將會?jīng)歷一次深刻的洗禮。希望未來有一天，他能夠用代數(shù)拓?fù)浣o出某個(gè)算法解的存在性證明 ......