一.微分幾何在20世紀(jì)之前的狀況

在20世紀(jì)前，微分幾何基本上是研究流形的局部性質(zhì)，這是因?yàn)槲⒎謳缀问且晕⒎肿鳛橹饕墓ぞ叨l(fā)展起來(lái)的，因此它的研究多為小范圍的。在18、19世紀(jì)，微分幾何主要的研究對(duì)象是三維空間 中的光滑曲面。為了刻畫(huà)曲面的幾何形狀和彎曲程度，數(shù)學(xué)家們引入了曲率的概念，其中就包括了曲面的法曲率、高斯曲率和測(cè)地曲率等各種曲率。

在19世紀(jì)初，Gauss（高斯）證明了“高斯曲率僅與曲面的內(nèi)在度量有關(guān)”這一十分重要的內(nèi)蘊(yùn)幾何定理。曲面上每一點(diǎn)處的高斯曲率是兩個(gè)主曲率（即在該點(diǎn)處最大和最小的法曲率）的乘積，而這個(gè)定理表明：雖然主曲率不是內(nèi)蘊(yùn)的幾何量（依賴于曲面在三維空間 中的嵌入方式），但是它們的乘積卻可以僅僅用曲面內(nèi)在的度量來(lái)確定。在大學(xué)微分幾何課程里，這個(gè)定理被稱為“絕妙的定理”，它是后來(lái)Riemann（黎曼）創(chuàng)立高維的黎曼幾何的思想基礎(chǔ)。

Riemann（黎曼）在他著名的1854年的就職演講中，提出了高維的黎曼流形的驚人思想，這種高維的微分流形完全獨(dú)立于外在的幾何空間而存在，并且局部又類似于歐氏空間（這就像光滑的曲面在局部很小鄰域內(nèi)的形狀類似于切平面一樣）。

用今天的微分幾何語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，在Riemann（黎曼）所定義的黎曼流形 上， 是微分流形，而 是給定的黎曼度量，如果 是 上的任意一點(diǎn)，那么 就是 在 點(diǎn)處切空間 上的對(duì)稱正定的雙線性形式（也就是內(nèi)積），并且映射 是可微的。黎曼度量 的主要作用是計(jì)算 上的切向量的長(zhǎng)度和交角、以及其他的各種幾何量和測(cè)地線方程。黎曼幾何就是黎曼流形的幾何學(xué)，它是對(duì)Gauss（高斯）曲面論的一般性推廣，而高斯曲率的進(jìn)一步抽象化則是著名的黎曼曲率張量，這個(gè)張量可以用來(lái)刻畫(huà)黎曼流形 內(nèi)在幾何性質(zhì)，特別是 的“彎曲”形狀。

在19世紀(jì)的后期和20世紀(jì)初，以Christoffel（克里斯托費(fèi)爾）、Levi-Civita（列維-齊維塔）和Ricci（里奇）為代表的一些數(shù)學(xué)家為了深入解讀Riemann（黎曼）深刻的幾何思想，提出了一整套張量分析的方法，其中就包含了張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)的基本概念，它是微積分中偏導(dǎo)數(shù)概念的自然推廣。所謂“張量”，是指滿足某種變換規(guī)律的一組函數(shù)。張量在現(xiàn)代物理學(xué)中特別有用，例如張量分析就在廣義相對(duì)論中就起了基本的作用。

19世紀(jì)的微分幾何所取得的主要成就還包括了Lie（李）在1869-1873年所創(chuàng)造的李群理論和Klein（克萊因）在1872年發(fā)表的埃爾蘭根綱領(lǐng)。但是在19世紀(jì)，拓?fù)鋵W(xué)還沒(méi)有發(fā)展起來(lái)，因此那時(shí)候的黎曼幾何和李群理論就只能是一個(gè)局部的理論。

二.微分幾何在20世紀(jì)的大發(fā)展

到了20世紀(jì)，幾何學(xué)家們開(kāi)始研究流形的整體（或大范圍）性質(zhì)，特別是關(guān)注微分幾何局部性質(zhì)和整體性質(zhì)之間的關(guān)系，其中的代表人物是Blaschke（布拉施克）和Cohn-Vossen（康福森）。在1925年，H. Hopf（H. 霍普夫）開(kāi)始研究黎曼流形局部的微分幾何結(jié)構(gòu)與其整體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系。

在1917年，Levi-Civita（列維-齊維塔）為了弄清楚黎曼所發(fā)現(xiàn)的復(fù)雜的黎曼曲率張量的真正含義，而提出了黎曼流形中“平行移動(dòng)”的簡(jiǎn)單概念。Weyl（外爾）則進(jìn)一步將它發(fā)展成為“仿射聯(lián)絡(luò)（affine connection）”這一現(xiàn)代微分幾何的基本概念。所謂“聯(lián)絡(luò)”，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是流形切空間的求導(dǎo)法則，它在本質(zhì)上已經(jīng)與空間的度量無(wú)關(guān)。就像黎曼將度量從空間中分離出來(lái)一樣，Weyl（外爾）也將聯(lián)絡(luò)從度量當(dāng)中分離了出來(lái)。

整體微分幾何另一位先驅(qū)是E. Cartan（E. 嘉當(dāng)），他接下來(lái)是將聯(lián)絡(luò)的概念發(fā)展成為“纖維空間”的基本概念。他的著名的“活動(dòng)標(biāo)架”方法其實(shí)就是“向量叢（vector bundle）”概念的先聲。一般我們用這樣的記號(hào)來(lái)表示向量叢： ，其中的 表示從向量叢 到微分流形 的投影映射，對(duì) 上的每個(gè)點(diǎn) 來(lái)說(shuō)，它們的“纖維” 都是線性空間（例如每個(gè)點(diǎn) 的切空間就是這樣的線性空間，它們組成了 的切叢）。而刻畫(huà)流形彎曲程度的聯(lián)絡(luò)概念就可以推廣成向量叢上的聯(lián)絡(luò)。后來(lái)人們又從向量叢的理論中進(jìn)一步抽象出了更一般的“纖維叢（fiber bundle）”理論。

E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）還引入了很重要的微分形式（早期也稱為外微分形式）：

他用微分形式來(lái)表示向量叢上的聯(lián)絡(luò)。在其他幾乎所有的微分幾何學(xué)家都使用張量分析的時(shí)代，E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）提出微分形式是非常超前的。

圖1：E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）

在1930年代的早期，隨著微分流形的概念逐漸清晰，以及李群理論與拓?fù)鋵W(xué)理論的逐漸成熟，整體微分幾何開(kāi)始興盛起來(lái)。E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）在研究李群的整體拓?fù)湫再|(zhì)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)從微分形式的計(jì)算中可以直接得到流形的幾何與拓?fù)洳蛔兞?，從而找到了分析與拓?fù)渲g的深刻聯(lián)系。這個(gè)重要發(fā)現(xiàn)就是后來(lái)在1931年被de Rham（德拉姆）所證明的de Rham定理：由微分流形 的所有微分形式確定的德拉姆上同調(diào)群與 的奇異上同調(diào)群是同構(gòu)的。因?yàn)榈吕飞贤{(diào)群是由 中線性無(wú)關(guān)的“微分形式上同調(diào)類”組成的，所以從這個(gè)定理就可以得到一個(gè)很重要的結(jié)論：可以用微分形式上同調(diào)類來(lái)作為微分流形 的拓?fù)洳蛔兞俊?/p>

幾年后，Hodge（霍奇）又證明了一個(gè)十分漂亮的Hodge定理：在緊黎曼流形上，每個(gè)微分形式上同調(diào)類中都含有唯一的調(diào)和（微分）形式。由于調(diào)和形式是橢圓型偏微分方程的解，因此這個(gè)著名的Hodge定理就直接建立起了黎曼流形的拓?fù)湫再|(zhì)與橢圓型偏微分方程解空間之間最基本的聯(lián)系。

也是在1931年左右，以k?hler（凱勒）為代表的一些數(shù)學(xué)家開(kāi)始研究一類很重要的復(fù)流形——?jiǎng)P勒流形，這種復(fù)流形是黎曼流形對(duì)于復(fù)數(shù)世界的自然推廣，例如凱勒流形就具有和黎曼度量相似的“凱勒度量”。和黎曼流形相比，凱勒流形具有更豐富的幾何與拓?fù)湫再|(zhì)，并且由此可以直接溝通微分幾何與代數(shù)幾何的聯(lián)系（這是因?yàn)樵诖鷶?shù)幾何中所研究的代數(shù)簇中有許多是凱勒流形）。在凱勒流形上，對(duì)于表現(xiàn)流形拓?fù)湫再|(zhì)的微分形式上同調(diào)類，可以建立起十分完美的、由Hodge定理發(fā)展而成的Hodge理論。

在1940年代，經(jīng)典的聯(lián)系曲面局部與整體性質(zhì)的Gauss-Bonnet（高斯-博內(nèi)）定理被陳省身先生推廣到了高維，他證明了高維緊黎曼流形 的高斯-博內(nèi)定理：，這個(gè)等式左邊的 表示黎曼流形 上曲率的微分形式，右邊是 的歐拉示性數(shù)。陳省身先生在證明這個(gè)定理時(shí)，首創(chuàng)運(yùn)用了E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）的纖維叢思想和微分形式的有力工具。在每一個(gè)黎曼流形 上，都有一個(gè)纖維叢 ，而纖維叢 實(shí)際上也是一個(gè)微分流形，在 和 這兩個(gè)流形的微分形式上同調(diào)類之間有著很獨(dú)特的內(nèi)在聯(lián)系。陳省身先生首先將黎曼流形 上的曲率微分形式 “提升”到纖維叢 后成為了 上的微分形式，然后在 上找到了另一個(gè)低一次的微分形式 ，使得成立等式 ，其中的 是外微分，從而就可以將定理中的積分 轉(zhuǎn)化為對(duì)于微分形式 的積分，于是便能夠完成對(duì)高維的高斯-博內(nèi)定理的證明。

在陳省身先生給出的高維的高斯-博內(nèi)定理的證明過(guò)程中，最有價(jià)值的收獲是對(duì)恰當(dāng)微分形式 的發(fā)現(xiàn)。用來(lái)表示曲率的恰當(dāng)微分形式完全可以作為微分流形的德拉姆上同調(diào)群的元素，并且對(duì)恰當(dāng)微分形式進(jìn)行積分以后還能夠顯示流形的整體拓?fù)湫再|(zhì)。這個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)引導(dǎo)陳省身先生在一般的復(fù)流形上, 用復(fù)流形 的纖維叢 上聯(lián)絡(luò)的曲率微分形式來(lái)確定 的德拉姆上同調(diào)群的元素 ，由于這些含有流形幾何信息的元素還有另外一個(gè)名稱：微分形式上同調(diào)類，所以人們就將它們稱為“陳（省身）示性類”，簡(jiǎn)稱“陳類”（其中的字母 就是“陳”字拼音的第一個(gè)字母）。陳省身先生由此發(fā)展出了一整套的示性類幾何理論，用陳類統(tǒng)一了其他所有的纖維叢示性類，這項(xiàng)成就被認(rèn)為是陳省身先生最重要的工作。后來(lái)人們逐漸發(fā)現(xiàn)，陳類是證明代數(shù)幾何學(xué)中的主要定理——Hirzebruch-Riemann-Roch（希策布魯赫-黎曼-羅赫）定理的最基本的工具。

高維的高斯-博內(nèi)定理的證明充分顯示了纖維叢理論對(duì)于描述微分流形的整體拓?fù)湫再|(zhì)的極端重要性。在1950年，Ehresmann（埃雷斯曼）發(fā)表了他的主叢（一種特殊的纖維叢）上的聯(lián)絡(luò)理論，這種理論系統(tǒng)總結(jié)和推廣了E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）的聯(lián)絡(luò)思想和方法，為整體微分幾何奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。纖維叢的聯(lián)絡(luò)理論作為一種廣義的“求導(dǎo)”理論，統(tǒng)一了以往的各種聯(lián)絡(luò)理論，因此也被稱為“纖維叢的微分幾何”。陳省身先生是纖維叢聯(lián)絡(luò)與示性類理論的主要倡導(dǎo)者和傳播者，這套理論徹底改變了以往經(jīng)典微分幾何學(xué)中的只注重局部坐標(biāo)的張量語(yǔ)言，代之以十分新穎的整體的向量場(chǎng)與微分形式的語(yǔ)言（例如其中就有表示黎曼聯(lián)絡(luò)的Koszul（科斯居爾）記號(hào) ），這種新的語(yǔ)言極大地促進(jìn)了人們對(duì)于現(xiàn)代微分幾何的學(xué)習(xí)、理解與研究。

微分幾何學(xué)在20世紀(jì)的后半葉迅速發(fā)展成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一門(mén)主流的分支學(xué)科，研究的主要方向包括曲率與拓?fù)涞年P(guān)系、子流形、特征值問(wèn)題、調(diào)和映射、復(fù)流形、里奇流（Ricci flow）、度量黎曼幾何等。

在20世紀(jì)的50年代，Bochner（博赫納）提出了一個(gè)簡(jiǎn)單而又富有成效的思想：將調(diào)和形式與曲率聯(lián)系起來(lái)，從而對(duì)合適的曲率條件，不僅可以得到黎曼流形上調(diào)和形式的消失定理，而且還得到了凱勒流形上全純形式的消失定理。這些斷言高階上同調(diào)群等于零的消失定理進(jìn)一步導(dǎo)致產(chǎn)生了著名的Kodaira（小平邦彥）消失定理，而后者對(duì)于刻畫(huà)復(fù)流形的拓?fù)湫再|(zhì)來(lái)說(shuō)是很基本的。

在20世紀(jì)的60年代，Atiyah（阿蒂亞）和Singer（辛格）一起證明了阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理，這個(gè)著名定理指出：流形 上的一類橢圓型偏微分算子的指標(biāo)（表示微分算子分析性質(zhì)的一個(gè)整數(shù)）是流形的拓?fù)洳蛔兞?，并且它可以用幾何量的積分來(lái)表示。阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理被認(rèn)為是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)定理之一，因?yàn)樗沂玖宋⒎謳缀螌W(xué)與拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何學(xué)、偏微分方程等學(xué)科之間的深刻聯(lián)系。事實(shí)上，阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理是一個(gè)綜合了許多重要定理的大定理，它不僅包含了高維的高斯-博內(nèi)定理的結(jié)論，同時(shí)也包含了Hirzebruch-Riemann-Roch（希策布魯赫-黎曼-羅赫）定理的結(jié)論。

在20世紀(jì)的70年代，誕生了著名的Calabi-Yau（卡拉比-丘（成桐））定理。在前面我們講到了凱勒流形，這種復(fù)流形是復(fù)微分幾何與復(fù)代數(shù)幾何的主要研究對(duì)象。Calabi（卡拉比）在20世紀(jì)的50年代曾經(jīng)提出過(guò)一個(gè)重要的猜想：在“第1陳類”為零的緊凱勒流形中，一定存在唯一的里奇（Ricci）曲率為零的凱勒度量。Calabi（卡拉比）自己只能證明唯一性。要證明這種特殊度量的存在性問(wèn)題，可以歸結(jié)為求解一個(gè)高度非線性的復(fù)偏微分方程的解。這個(gè)極其艱難的證明解的存在性任務(wù)是被Yau（丘成桐）完成的，他運(yùn)用了多種幾何與分析的方法（包括經(jīng)典的先驗(yàn)估計(jì)方法），經(jīng)過(guò)幾年的努力研究，終于在1976年證明了這個(gè)偏微分方程解的存在性，也就是把Calabi（卡拉比）猜想變成了“Calabi-Yau（卡拉比-丘）定理”。

和陳省身先生證明了高維的高斯-博內(nèi)定理相類似，Calabi（卡拉比）猜想的解決同樣也開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)全新的研究領(lǐng)域——Calabi-Yau（卡拉比-丘）流形的幾何學(xué)。因?yàn)榧热灰呀?jīng)證明了里奇（Ricci）曲率為零的凱勒度量的存在性，所以數(shù)學(xué)家們自然就將具有這種特殊度量、并且第1陳類為零的復(fù)流形命名為“Calabi-Yau（卡拉比-丘）流形”。這種新流形的幾何學(xué)在代數(shù)幾何與理論物理中都具有很重要的應(yīng)用。目前在理論物理中所研究的超弦理論是一種試圖統(tǒng)一自然界中所有的力（包括量子引力）的理論，其中所用到的主要數(shù)學(xué)理論正好就是Calabi-Yau（卡拉比-丘）流形理論。

在20世紀(jì)的80年代，微分幾何與理論物理的互相作用產(chǎn)生了一個(gè)十分重要的規(guī)范場(chǎng)（Gauge Field）理論。物理學(xué)家Yang（楊振寧）和Mills（米爾斯）在1954年就提出了的規(guī)范場(chǎng)的基本思想，這個(gè)理論主要用于描寫(xiě)基本粒子的內(nèi)在對(duì)稱性，利用規(guī)范場(chǎng)論所建立起的弱相互作用和電磁相互作用的統(tǒng)一理論，已經(jīng)為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。數(shù)學(xué)家們后來(lái)發(fā)現(xiàn)，規(guī)范場(chǎng)論中的規(guī)范勢(shì)實(shí)際上就是纖維叢上的聯(lián)絡(luò)。不僅如此，在這個(gè)理論中出現(xiàn)的Yang-Mills（楊振寧-米爾斯）方程是一組極有意義的非線性偏微分方程。于是，就像愛(ài)因斯坦在廣義相對(duì)中運(yùn)用了黎曼幾何一樣，物理學(xué)家們大量運(yùn)用了纖維叢的微分幾何來(lái)推進(jìn)規(guī)范場(chǎng)論的研究，例如他們運(yùn)用了阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理來(lái)確定Yang-Mills方程的自對(duì)偶解集。

在另一方面，規(guī)范場(chǎng)理論反過(guò)來(lái)也促進(jìn)了對(duì)于微分幾何的研究。在1982年，Donaldson（唐納森）發(fā)現(xiàn)：4維流形上Yang-Mills方程的自對(duì)偶解集的?？臻g與流形的拓?fù)湫再|(zhì)有直接的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上他發(fā)現(xiàn)了4維流形的新的拓?fù)洳蛔兞?。Donaldson（唐納森）的嶄新理論極大地推進(jìn)了人們對(duì)于4維流形的研究。

在20世紀(jì)的最后10年里，微分幾何學(xué)界發(fā)起了對(duì)于證明Poincaré（龐加萊）猜想這個(gè)重大問(wèn)題的沖擊。著名的龐加萊猜想是：每個(gè)單連通的3維流形都同胚于3維球面。此時(shí)數(shù)學(xué)家們手中主要的武器是著名的里奇流（Ricci flow）： ，這是一組描述關(guān)于隨時(shí)間 變化的黎曼度量的二階非線性拋物型偏微分方程，其中的 就是Ricci（里奇）曲率。里奇流是由Hamilton（漢密爾頓）在1979年引入的，目的是為了研究3維流形的拓?fù)洹＝?jīng)過(guò)了20年的努力研究，漢密爾頓逐步建立起了關(guān)于里奇流的理論框架。在2003年，Perelman（佩雷爾曼）宣布他證明了龐加萊猜想，他所用的方法主要就是改進(jìn)的（“帶手術(shù)的”）里奇流方法。

三. 20世紀(jì)微分幾何領(lǐng)域中的各個(gè)分支學(xué)科

在20世紀(jì)中所形成的微分幾何學(xué)領(lǐng)域中，各個(gè)主要分支學(xué)科（或方向）有：

“

微分流形、黎曼流形、聯(lián)絡(luò)論、張量與旋量、整體黎曼幾何、齊性空間的微分幾何、G-結(jié)構(gòu)與等價(jià)問(wèn)題、復(fù)流形、調(diào)和積分、曲線與曲面的微分幾何、子流形的微分幾何、極小子流形、幾何測(cè)度論、調(diào)和映射、莫爾斯理論、仿射微分幾何、Finsler空間、積分幾何、譜幾何、剛性與幾何群論、辛幾何與切觸幾何、模空間與偏微分方程、一些新的幾何理論（如Twistor空間、超凱勒幾何、ADHM構(gòu)造、卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形等）。

”

四. 20世紀(jì)微分幾何發(fā)展過(guò)程中的大事記

下面按照年份的順序，記錄了在20世紀(jì)中關(guān)于微分幾何發(fā)展過(guò)程中的一些重要事件。

• 1900年，Levi-Civita（列維-齊維塔）和Ricci（里奇）提出了絕對(duì)微分（張量運(yùn)算）的基本概念。

• 1902年，Bianchi（比安契）證明了Bianchi定理。
  E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）建立了無(wú)窮李群的基本理論，并且證明了微分方程組的等價(jià)性。

• 1903年，Campbell發(fā)表介紹李群的著作《有限連續(xù)變換群的李理論導(dǎo)引》。

• 1905年，Einstein（愛(ài)因斯坦）發(fā)表狹義相對(duì)論。
  Levi（萊維）提出了李群的Levi分解。
  Poincaré（龐加萊）研究了凸曲面上的測(cè)地線。

• 1906年，Wilczynski發(fā)表了《曲線與直紋面的射影微分幾何》。

• 1910年，E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）提出了活動(dòng)標(biāo)架法。

• 1913年，E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）開(kāi)始研究Spinor（旋量）理論。

• 1915年，Einstein（愛(ài)因斯坦）發(fā)表廣義相對(duì)論。

• 1917年，Levi-Civita（列維-齊維塔）提出“平行移動(dòng)”的基本概念。

• 1918年，Weyl（外爾）提出“仿射聯(lián)絡(luò)”的基本概念。

• 1921年，Blaschke（布拉施克）發(fā)表《微分幾何教程與愛(ài)因斯坦相對(duì)論的幾何基礎(chǔ)》。

• 1922年，Schouten確定了各種不同類型的聯(lián)絡(luò)。

• 1925年，E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）發(fā)表了《黎曼空間的幾何》。

• 1926年，E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）提出了“和樂(lè)群”的基本概念

• 1928年，E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）發(fā)表了《黎曼空間幾何講義》。

• 1929年，E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）給出了緊李群的刻畫(huà)。

• 1930年，Douglas等人解決了經(jīng)典的Plateau（普拉托）問(wèn)題。

• 1931年，de Rham（德·拉姆）證明了著名的de Rham定理。
  Hopf（H. 霍普夫）和Rinow（里諾）證明了著名的完備黎曼流形上的Hopf-Rinow定理。

• 1932年，H. Hopf（H. 霍普夫）提出微分幾何的Hopf研究綱領(lǐng)。

• 1933年，Hodge（霍奇）創(chuàng)立了著名的Hodge理論,

• 1934年，Morse發(fā)表名著《大范圍變分法》, 創(chuàng)立了Morse（莫爾斯）理論。

• 1935年，Whitney建立了纖維空間（球叢）理論，并且開(kāi)創(chuàng)了示性類的研究領(lǐng)域。
  Myers研究了黎曼流形的整體性質(zhì)。

• 1936年，E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）發(fā)表《李群的拓?fù)洹罚_(kāi)創(chuàng)了緊李群的同調(diào)論。
  Ehresmann（埃雷斯曼）建立了局部齊性空間理論。
  de Rarm（德拉姆）提出Current（流動(dòng)形）的概念及其理論。

• 1937年，E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）發(fā)表了外微分法講義。
  Bochner（博赫納）等人提出了單位分解方法。

• 1938年，E. Cartan（E. 嘉當(dāng)）建立了Spinor（旋量）理論。

• 1939年，Douglas提出了Plateau（普拉托）問(wèn)題的一般形式。
  H. Hopf（H. 霍普夫）證明了負(fù)曲率流形上測(cè)地流的遍歷性。

• 1941年，Hodge（霍奇）發(fā)表名著《調(diào)和積分的理論與應(yīng)用》，其中系統(tǒng)闡述了Hodge理論。
  H. Hopf（H. 霍普夫）建立了緊李群的同調(diào)論。

• 1942年，Sard（薩德）證明了著名的Sard定理。

• 1943年，Allendoerfer等人證明了黎曼多面體上的Gauss-Bonnet（高斯-博內(nèi)）定理。
  Preissmann研究了黎曼流形的整體性質(zhì)。

• 1944年，Chern（陳省身）內(nèi)蘊(yùn)地證明了閉黎曼流形上的Gauss-Bonnet（高斯-博內(nèi)）定理。

• 1946年，Chern（陳省身）確定了Hermitian（埃爾米特）流形的示性類，即發(fā)現(xiàn)了陳類。
  de Rham（德拉姆）發(fā)表了著名的Hodge- de Rham（霍奇-德拉姆）理論。
  Bochner（博赫納）建立了向量場(chǎng)與里奇（Ricci）曲率之間的聯(lián)系。
  Chevalley（謝瓦萊）發(fā)表了名著《李群論》。

• 1947年，Ehresmann（埃雷斯曼）提出了纖維空間的結(jié)構(gòu)理論，并且建立了復(fù)流形上殆復(fù)結(jié)構(gòu)的理論。

• 1949年，Kodaira（小平邦彥）建立了黎曼流形上的調(diào)和場(chǎng)理論（廣義位勢(shì)論）。Pontriagin確定了示性類理論中的Pontriagin類。

• 1950年，Ehresmann（埃雷斯曼）發(fā)表了他的主叢上的聯(lián)絡(luò)理論，用微分形式給出了無(wú)窮小聯(lián)絡(luò)的刻畫(huà)。

• 1956年，Nash證明了黎曼流形在歐氏空間中的嵌入定理。

• 1958年，Bott與Samelson將Morse（莫爾斯）理論運(yùn)用到了研究對(duì)稱空間中。

• 1960年：Federer和Fleming開(kāi)創(chuàng)了黎曼流形上的幾何測(cè)度論研究領(lǐng)域。

• 1963年，Atiyah（阿蒂亞）和Singer（辛格）證明了著名的阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理；
  Kobayashi（小林昭七）和Nomizu（野水克己）發(fā)表名著《微分幾何基礎(chǔ)》的第一卷（后來(lái)在1969年發(fā)表了該書(shū)第二卷）。

圖2：Kobayashi（小林昭七）、Nomizu（野水克己）寫(xiě)的《微分幾何基礎(chǔ)》第一卷中譯本，科學(xué)出版社，2017年

• 1964年，Eells和Sampson開(kāi)創(chuàng)了黎曼流形上調(diào)和映射的研究領(lǐng)域。

• 1964年，Palais和Smale創(chuàng)立了廣義Morse（莫爾斯）理論，從而為無(wú)限維流形的研究奠定了基礎(chǔ)。

• 1967年，Kobayashi（小林昭七）在復(fù)流形上引進(jìn)了不變偽距離，開(kāi)創(chuàng)了復(fù)流形研究的新領(lǐng)域。

• 1967年，McKeam和Singer（辛格）開(kāi)創(chuàng)了黎曼流形上曲率與Laplace算子特征值研究的新領(lǐng)域。

• 1968年，Mostow的剛性定理開(kāi)創(chuàng)了“由拓?fù)鋪?lái)決定幾何” 的研究新方向。

• 1968年，Simons開(kāi)創(chuàng)了黎曼流形中的極小簇研究的新領(lǐng)域。

• 1969年，Gromoll和Meyer找到了正曲率完備開(kāi)流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

• 1976年，Yau（丘成桐）證明了著名的Calabi（卡拉比）猜想。

• 1978年，Thurston開(kāi)創(chuàng)了3維流形研究的新領(lǐng)域。

• 1978年，Gromov開(kāi)創(chuàng)了度量黎曼幾何與辛幾何的研究新領(lǐng)域。

• 1979年，Hamilton（漢密爾頓）開(kāi)創(chuàng)了里奇流（Ricci flow）研究的新領(lǐng)域。

• 1982年，Donaldson（唐納森）運(yùn)用理論物理學(xué)中的規(guī)范場(chǎng)（Gauge Field）理論，開(kāi)創(chuàng)了4維流形研究的新領(lǐng)域。

• 2003年，Perelman（佩雷爾曼）運(yùn)用里奇流（Ricci flow）的方法，證明了著名的龐加萊猜想。

五.微分幾何閱讀書(shū)目