譯自: 美國數(shù)學(xué)會通訊 (Bulletin of the American Mathematical Society), 新系列, 52 卷, 4 期, 2015 年 10 月, 545–584 頁.

摘要: 這篇文章將對拓?fù)鋵W(xué)研究作一個跨越世紀(jì)的瀏覽, 集中在二、三和四維流形的研究. 關(guān)于各小節(jié)附有進(jìn)一步的評述和技術(shù)細(xì)節(jié). (基于 2014 年首爾國際數(shù)學(xué)家大會上的 Abel 講座報告.)

§1. 拓?fù)鋵W(xué)序幕

現(xiàn)在為人所知的拓?fù)鋵W(xué)在 19 世紀(jì)形成, 在 20 世紀(jì)取得了夢幻般的進(jìn)展, 進(jìn)入 21 世紀(jì)更加興旺發(fā)達(dá). 但是, 在此之前已經(jīng)有了拓?fù)鋵W(xué)的想法, 和一些零星的結(jié)果, 喻示著應(yīng)當(dāng)有這樣一種研究領(lǐng)域.

1.1 Leonhard Euler, 圣彼得堡, 1736 年

在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的第一個拓?fù)鋵W(xué)陳述, 或許就是來自于 Euler 對哥尼斯堡 (K?nigsberg) 七橋問題的解答. 該問題是: 散步走過七座橋的每一座恰好一次. Euler 說明這樣的散步路線不存在. 問題可以用如下所示的一個圖來表述, 每塊陸地表示成一個圓點, 每座橋表示成一條邊.

18 世紀(jì)的哥尼斯堡

發(fā)行的印有 Euler 圖像的郵票

七橋問題的圖

定理 1. 有一條道路走過圖中每條邊恰好一次, 當(dāng)且僅當(dāng)該圖最多有兩個 “奇” 點, 所謂奇指所連邊數(shù)是奇數(shù).

對于所給的圖, 四個頂點都是奇的, 因此那樣的路線是不可能有的. 這個定理對學(xué)數(shù)學(xué)的年青人是一個極好的練習(xí), 因為證明相當(dāng)于初等, 但不顯然.

1.2  Leonhard Euler, 柏林, 1752 年

若干年后, Euler 發(fā)現(xiàn)了一個等式, 它在拓?fù)鋵W(xué)中起基礎(chǔ)性作用.

定理 2. 任何一個凸多面體, 其頂點數(shù)V 、邊數(shù) E 和面數(shù) F 滿足下面的關(guān)系式.

V ? E + F = 2.

例如: 正十二面體有 20 個頂點、30 條邊和 12 個面, 滿足 20 ? 30 +12 = 2.

Euler 遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在他所處時代的前面. 一百多年以后, 有限胞腔復(fù)形K 的 Euler 示性數(shù)被定義成這樣一個整數(shù)

χ(K) = 偶數(shù)維胞腔數(shù) ? 奇數(shù)維胞腔數(shù).

到了 20 世紀(jì)早期, 才能證明 Euler 示性數(shù)是一個拓?fù)洳蛔兞? 如下的兩個基本性質(zhì)可以很容易通過定義驗證:

這里我們假定各 K_j 是它們并集的子復(fù)形. 做為一個簡單的練習(xí), 利用定義和乘積性質(zhì), 我們可以證明 n 維方體 [0, 1]ⁿ 的 Euler 示性數(shù)是 +1,而該方體的邊界 (即: n–1 維拓?fù)淝蛎? 的 Euler 示性數(shù)是 1 + (?1) ^n?1 .

1.3 Augustin Cauchy, 巴黎理工學(xué)校 (′Ecole Polytechnique),1825 年

Cauchy 是給出連續(xù)這個概念精確定義的第一人, 而連續(xù)是拓?fù)鋵W(xué)最基本的概念之一.

更進(jìn)一步, 他給出了一個拓?fù)洳蛔兞? 閉路 C 繞一點 p 的卷繞數(shù)(winding number), 可通過一個全純微分形式沿 C 的積分來計算.

1.4 Carl Friedrich Gauss, 哥廷根, 1833 年

Gauss 給出了更精巧的拓?fù)洳蛔兞? 互不相交的兩個有向閉曲線間的環(huán)繞數(shù) (linking number) L. 受在電磁學(xué)研究的影響, 他用二重積分計算這個數(shù)

其中 x 在一條曲線上變動, 而 y 在另一條曲線上變動.

※ 進(jìn)一步的注記：

A1.1. Euler. 盡管出生和受教育都在巴塞爾, 他沒有在那得到一個職位. 因此, 當(dāng)位于圣彼得堡的俄國皇家科學(xué)院所發(fā)出邀請時, 他愉快地接受了.

以哥尼斯堡命名的城市已存在了 690 年, 它建立于 1255 年, 講波羅的海語的原住居民消失被德國定居者取代, 當(dāng) 1945 年被蘇聯(lián)軍隊接管后, 不再做為德國的城市, 而起名為加里寧格勒. 在 19 和 20 世紀(jì),哥尼斯堡產(chǎn)生了許多數(shù)學(xué)家, 包括 Rudolph Lipschitz, Alfred Clebsch, David  Hilbert, Hermann Minkowski 和 Jürgen Moser.

A1.2. Euler. 在 1741 年, 俄國的形勢變得不穩(wěn)定, Euler 接受了柏林學(xué)院的一個職位, 這是由普魯士國王腓特烈大帝資助的.

如 §2.1 所述, 考慮三維空間中非凸多面體 “Euler 示性數(shù)” 概念的第一個人, 或許就是L’Huilier. Johann Listing 在 1862 年研究了更一般的多面體，而Poincaré 在 1895 年首先提議流形的 Euler 示性數(shù)可以從同調(diào)中算出, 就是 Betti 數(shù)的交錯和. (以此方式定義的 Eulre 示性數(shù)經(jīng)常被稱為 Euler-Poincaré  特征.)   實際上,  Poincaré  在同調(diào)上的研究,  在20 世紀(jì)早期被許多數(shù)學(xué)家發(fā)展, 很自然地考慮下面的構(gòu)造

胞腔復(fù)形K → 鏈復(fù)形C_?(K) → 同調(diào)群H_?(K).

利用域系數(shù), 我們不難證明整數(shù)

等于 Betti 數(shù)的交錯和

.

可是, 同調(diào)群的拓?fù)渥冃缘淖C明要困難得多. 基本的工具, 單純逼近定理已經(jīng)由 L.E.J. Brouwer 給出.可是, Brouwer  并沒有用于同調(diào)理論. Alexander [1915] 關(guān)于Betti 數(shù)拓?fù)洳蛔冃缘牡谝粋€證明讓我相當(dāng)迷惑. (經(jīng)過答辯, Alexander 成為那時的新博士.)經(jīng)過拓?fù)浼业难芯? 再受 Emmy Noether 的影響, 事情變得清晰起來. 我們應(yīng)該考慮同調(diào)群,而Betti 數(shù)由這些群的秩來定義 (見 Hirzebruch [1999]). 我發(fā)現(xiàn)可讀的早期材料是Seifert 和 Threlfall [1934], 還有 Alexandroff 和 Hopf [1935].

A1.4. Gauss. 依照 (很后才引入的) 度的概念, Gauss計算了從環(huán)面到球面映射  的度.

§2. 二維流形

直至 19 世紀(jì), 人們才明白應(yīng)該有一種幾何研究, 不僅在局部也要在大范圍.

2.1 Simon L’Huilier, 日內(nèi)瓦皇家學(xué)院, 1812—1813 年

L’Huilier (也拼寫成 Lhuilier) 或許是考慮更一般 (非凸) 多面體 Euler 示性數(shù)的第一人. 對于 3 維歐氏空間中被鉆透 n 次的多面體的表面, 他算出 Euler 示性數(shù)是 χ=2?2n.借用現(xiàn)代的語言, 這種多面體的邊界是虧格為 n 的曲面.

2.2 Niels Henrik Abel, 挪威, 19世紀(jì) 20 年代

在耶爾斯塔的 Abel 紀(jì)念碑

由于 Abel 的工作, 曲面的整體理論的必要性變得清晰了. 他研究代數(shù)函數(shù)的積分. 例如, 如下形式

其中 a_j 是互不相同的實或復(fù)數(shù). 當(dāng)今, 我們會將它寫成沿著光滑仿射代數(shù)簇  中的一條道路積分 , 該代數(shù)簇由下式定義

此積分當(dāng) y = 0 時似乎沒意義, 但是因為2ydy = f'(x)dx, 我們可將被積函數(shù)寫成2dy/f'(x), 它當(dāng) y=0 時完全有合理的含義. 當(dāng)今人們寫成表示式

并做為簇 V 上的全純 1 形式, 或 Abel 微分.

給定任意一個這樣的 Abel 微分 α, 和 V 中一條閉路 L, 我們可以做積分而得到一個從基本群π₁ (V ) 到復(fù)數(shù)集的同態(tài)

可是, 這些術(shù)語的大部分在當(dāng)時還沒有. Abel 去世很早, 如何用更好的語言來描述此構(gòu)造, 這一工作留給了其他后來人.

2.3 Bernhard Riemann, 哥廷根, 1857 年

接受挑戰(zhàn)的第一人是 Riemann, 在 1851年博士論文和 1857 年關(guān)于 Abel 函數(shù)的文章中, 他提出了現(xiàn)在我們稱之為 Riemann 曲面的概念.

下面是 Riemann 演示的復(fù)平面上的三個有界區(qū)域. 他稱一個區(qū)域為單連通, 如果任一個切割 (從一個邊界點到另一個的道路) 必定將區(qū)域分成兩部分. 類似地, 稱一個區(qū)域為雙連通, 如果將它分開需要兩個切割. 依此類推.

更一般地, 他研究了超出平面的 “Riemann 曲面”:

另一個三連通的曲面

Riemann 也考慮了 F 是閉曲面的情形, 他描述了沿一些簡單閉曲線切開 F 的步驟, 使切開的曲面是一個連通且單連通的曲面.

這些曲面的此類曲線個數(shù)總是偶數(shù) 2p, 用現(xiàn)代的語言, 這表示有一個CW 復(fù)形 1 ° 結(jié)構(gòu): 一個頂點, 2p 條邊, 和一個 2 胞腔. 從而有 Euler 示性數(shù) χ=2?2p. Riemann 的整數(shù) p>0 是一個不變量, 現(xiàn)在稱之為 F 的虧格, 而 2p 是現(xiàn)在我們所知的一維 Betti 數(shù).

2.4 August Ferdinand M?bius, 萊比錫, 1863 年

盡管 Riemann 開創(chuàng)性想法影響了這一領(lǐng)域的后來所有工作, 但他只給出很少的細(xì)節(jié), 人們很難跟進(jìn). 幾年之后, M?bius 給出對我來說清楚很多的表述, 說明三維空間中的閉曲面可以用一個清晰定義的整數(shù)不變量來分類.

將閉曲面  的連通性類定義為這樣一個最小的整數(shù) n: F 中任何互不相交的 n 條閉路必定能切分開該曲面. (換句話說, 我們可以選出 p = n ? 1 條閉路沒有切分開曲面; 但是任何更多的互不相交的閉路必定會切分開它. 這里 p 是 Riemann 的不變量, 即虧格.)

例 1: 對于環(huán)面, 可知 p = 1, 因為我們沿一條閉路切割環(huán)面而不切分開, 但兩條互不相交的閉路必然切分開環(huán)面.

定理 3. 有相同連通類的任何兩個曲面都是初等相關(guān) (elementarily related).

M?bius 的初等相關(guān)的概念十分笨拙, 見如下所述. 用現(xiàn)代的術(shù)語,他想表達(dá)的是C¹ 微分同胚.

定義 1. 兩個幾何圖形初等相關(guān)是指: 一個圖形中任意維數(shù)的無窮小元素都對應(yīng)另一圖形中的無窮小元素, 使得在一個圖形中相鄰的兩個元素的對應(yīng)元素也相近, ……

但是 M?bius 的證明卻是出奇地時髦, 下面是一個概述: 將曲面在 中放置在一般位置, 沿著仔細(xì)選取的一些水平面切開. (他的示意圖如下:)

那么所得的每個連通塊有一個、兩個或三個邊界曲線, 分別是 2 維胞腔、平環(huán)或褲形 (pants).

更一般地, 以記二維球面中有 k 條邊界曲線的區(qū)域.

這樣 M?bius 的構(gòu)造將曲面 F 分成一些無交并

現(xiàn)舉一個例子:

為得到原來的曲面 F, 我們要在指定的微分同胚下, 將 E 的一條邊界曲線等同于另一條.

引理 1. 如果我們通過將  的一條邊界曲線等同于  的一條邊界曲線化簡  , 所得的結(jié)果微分同胚于.

證明不難, 利用這一表述, 我們通過一次次地等同邊界曲線對, 歸納地化簡集合

在 N ? 1 次之后, 我們得到形如 的連通集. (這里 p 是 Riemann 的不變量, 虧格.) 做為一個例子, 在如上圖中, 我們把標(biāo)記為 a, d 和 b 的圓盤放入對應(yīng)的洞中, 經(jīng)過在最后一種情形時的收縮, 我們得到類型  的區(qū)域.

現(xiàn)在再做兩條曲線的等同, 如同在二維球  上加一個 “環(huán)柄”, 這就完成了 M?bius 的證明. □

例如: 帶有 p = 3 個環(huán)柄的球面.

2.5 Walther Dyck, 慕尼黑, 1888 年

Dyck (后加封為貴族 von Dyck) 或許是第一個給出拓?fù)鋵W(xué)要做什么的清楚定義的人:

拓?fù)鋵W(xué)是要研究在有連續(xù)逆的連續(xù)函數(shù)作用下不變的性質(zhì).

他或許也是作為一個整體性定理敘述 Gauss-Bonnet 公式的第一人. 對于任意一個光滑閉的二維流形,

如果 Gauss 曲率不變號, 那么立即能得出示性數(shù)有相同的符號:

如果 K > 0, K = 0 或 K <>

那么分別地有 χ > 0, χ = 0 或 χ <>

這成為研究曲率與拓?fù)渲g關(guān)系的啟示.

2.6 Henri Poincaré, 巴黎, 1881 年到 1907 年

Poincaré 無可爭議地被認(rèn)作是當(dāng)代拓?fù)鋵W(xué)的奠基人. 他勾畫出同調(diào)論與 Betti 數(shù),敘述了 Poincaré 對偶定理. 更進(jìn)一步, 他引入了同倫的概念, 定義了基本群, 及與之相關(guān)的復(fù)迭空間的概念. 尤其重要的是對曲面的研究, 他描述了 Riemann 曲面的單值化定理. 理論的許多細(xì)節(jié)有待補(bǔ)充, 但是他提出了整體的輪廓.

2.7 Paul Koebe, 柏林, 1907 年

Koebe 和 Poincaré 大約在同一時間證明了單值化定理. 他的陳述如下:

定理 4. 任一 Riemann 曲面的萬有復(fù)迭空間共形同構(gòu)與下述之一:

(1) Riemann 球面  ,

(2) 復(fù)平面  ,

(3) 開單位圓盤 .

作為一個很容易的推論, 我們得到

推論. 任一 Riemann 曲面都有常曲率的度量:

2.8 Hermann Weyl, 哥廷根, 1913 年

Weyl的書 《Riemann 曲面的想法》(Die Idee der Riemannschen Fl?che) 是一個重要的轉(zhuǎn)折點. 在其出版之前, Riemann 曲面的定義相當(dāng)模糊. 開始于一個局部定義的解析函數(shù), 然后再加上所有可能的解析延拓. 依照著有重疊坐標(biāo)卡的拓?fù)淝娴姆绞? Weyl 給出了清晰的定義. 這對隨后關(guān)于復(fù)流形和光滑流形的工作提供了一個模型.

2.9 Tibor Radó, Szeged, 1925 年

Radó完成了緊致定向拓?fù)淝娴姆诸? 證明每個這樣的曲面可被賦予一個 Riemann 曲面的結(jié)構(gòu), 如 Weyl 所定義. 特別地,它可被賦予一個光滑流形的結(jié)構(gòu).

九十年以后, Riemann 曲面的研究, 及其與之相關(guān)的代數(shù)曲線的研究, 依然是繁榮的數(shù)學(xué)領(lǐng)域. 例如, 2014 國際數(shù)學(xué)家大會中四個 Fields 獎得主有兩個在這個研究領(lǐng)域工作.

※ 進(jìn)一步的注記：

A2.1.  L'Huilier.  

文章 Lhuilier 和 Gergonne [1812-1813] 是 Gergonne 所做的刪節(jié)版, 基于原來 L'Huilier 投出的一個長手稿.  很不幸的是, 基本不變量 n (現(xiàn)在我們術(shù)語中的虧格) 的表述十分含糊. (我無法得知L'Huilier 的原稿是否更清楚些.) 由于我不確信我的翻譯, 讓我引述一下Gergonne 的原話 (168 頁):

“En général un polyèdre terminé par une surface unique peut être percé, de part en part,  par un nombre plus ou moins grand d’ouvertures distinctes. Si n désigne  le  nombre  de  ses  ouvertures,  · · · ”

無論如何, 已明確地知道對每個多邊形曲面有一個相應(yīng)的數(shù) n,以及一個步驟來計算它. 例如, 對于 “環(huán)形” 多邊形曲面, 他(也在 168頁) 說明 Euler 示性數(shù)是零.

由 Calvin 在 1559 年建立的日內(nèi)瓦學(xué)院, 在拿破倫時代的幾年被稱為 “皇家的”, 自從 1873 年起, 被稱為日內(nèi)瓦大學(xué).

A2.2. Abel. 在 1826 年, 挪威政府的津貼讓 Abel 能訪問歐州幾個國家. 他在德國的逗留非常成功, 在新刊物《Crelle's Journal》上發(fā)表了七篇文章, 他在法國的逗留不太成功, 或許他最重要的工作, 代數(shù)積分的加法定理, 投到法國科學(xué)院, 而在 Cauchy 的書桌上遭到了十五年的冷遇. 回到挪威, 兩年的緊張數(shù)學(xué)活動損害了他的健康, Abel 在26 歲時死于結(jié)核病. 按照Charles Hermite 所說,

“Abel 留下的東西, 足夠數(shù)學(xué)家們忙上五百年.”

A2.3. Riemann. 盡管我試圖解釋 Riemann [1857, 97 頁] 的想法, 但我須承認(rèn)他的表述讓我很難在細(xì)節(jié)上弄懂.

使用虧格術(shù)語并與 Riemann 曲面相關(guān)聯(lián)的第一個人是 Clebsch [1865]. (參見 Hirzebruch 和 Kreck [2009].)  可是, 對 Clebsch 來說, Riemann 曲面的虧格不是一個整數(shù), 而是含有曲面的等價類, 這與該詞在生物學(xué)中,  或二次型理論中的用法類似.   這樣在 Clebsch  的說法中, Rieman 球面屬于 “第一虧格”, 環(huán)面或橢圓曲線屬于 “第二虧格”, 等等.  關(guān)于更多的歷史內(nèi)容,  讓我參照一下在 1881  年 Poincaré和 Felix Klein 之間的通信.  如 Gray [2013,  230 頁]所述, Poincaré 問:  在位相分析 (analysis situs) 意義下, 虧格 (Geschlecht) 是什么, 是否是與他本人所定義的虧格 (genre) 一樣的東西?

而 Klein 回復(fù)道: 位相分析意義下的虧格是曲面上能畫出的閉曲線的最大數(shù), 這些曲線不能切分曲面, 與定義曲面的代數(shù)方程的虧格是相同的數(shù).

A2.4.  M?bius.   從存在于復(fù)射影平面中的 Riemann 曲面上離開,轉(zhuǎn)向三維空間中的光滑曲面, 這是一個大的轉(zhuǎn)變, 也讓這個主題更加直觀. 然而, 我們并不清楚有多少合理性. 今天我們可以用 Morse 理論證明方法,  描述M?bius論證.  使用單位分解,  構(gòu)造一個 Morse  函數(shù)比構(gòu)造一個在三維空間中的嵌入更容易. 然而, 這樣的方法在當(dāng)時當(dāng)然是沒有的.

請注意, M?bius 的論證本質(zhì)上利用了定向性.  事實上, Riemann 曲面和三維空間的嵌入閉曲面必然是可定向的.  將 M?bius 的證明調(diào)整到不可定向曲面情形, 還要有一定的工作量.

§3. 三維流形

第一個非平凡三維流形的描述確切地出現(xiàn)在 14 世紀(jì): 但丁的《神曲》所述故事就發(fā)生在一個可視為拓?fù)淙S球面的地方, 天堂在上穹之極而地獄在下底之極. 可是, 三維流形的數(shù)學(xué)研究僅開始于 19 世紀(jì)末. 為簡明起見, 所有流形都假定是可定向的.

3.1 Poul Heegaard, 哥本哈根, 1898 年

Heegaard 證明任意可定向的三維閉流形都能分解成有相同虧格的兩個柄體的并集, 它們僅在邊界處相交. 換句話說, 我們可以構(gòu)造一個適用于所有這樣的流形模型, 某一柄體 H 的兩個復(fù)本和將兩個邊界粘在一起的微分同胚.

Heegaard 的結(jié)果很難應(yīng)用, 因為由給定曲面上保定向自同胚同痕類組成的映射類群非常豐富, 但是它的確提供了理解一般三維流形的重要技巧. 他的定理也導(dǎo)致了對映射類群的研究, 該群本身也是一個重要的對象.

3.2 Poincaré, 巴 黎, 1904 年:Poincaré 猜想

這是困擾拓?fù)鋵W(xué)家下一百年的基本問題:

問題. 如果一個三維閉流形的基本群平凡, 它一定同胚于標(biāo)準(zhǔn)的三維球面  嗎?

實際上, Poincaré 在 1900 年的原始猜想是: 有與球面相同的同調(diào)的流形同胚于標(biāo)準(zhǔn)球面. 然而在 1904 年, 利用 Heegaard 的方法, 他發(fā)現(xiàn)了一個反例. 他的例子是一個有 120 階有限基本群的光滑三維流形, 可最簡單地表示成陪集空間  , 其中  (最小的非交換單群) 是將二十面體變成自身的三維空間旋轉(zhuǎn)群.

3.3 James W. Alexander, 普林斯頓, 20 世紀(jì) 20 年代

Alexander 和他的妻子 Natalie

Alexander 帶角的球

Alexander 對偶定理說明復(fù)形  補(bǔ)的同調(diào)可通過 K 的同調(diào)計算出來, 這可視為 Jordan 曲線定理的大幅度推廣. 例如, 嵌入于n 維球面中的任意一個 n–1 維流形都將球分成兩個連通分支. 在  中分片線性嵌入二維球面這一特殊情形, 他證明每個分支的閉包實際上都是三維閉球的分片線性復(fù)本. 類似地, 對于  中分片線性嵌入的環(huán)面, 兩個補(bǔ)分支至少有一個是實心環(huán).另一方面, 他的如上所示的帶角球的例子,后面對于任意拓?fù)淝度胧遣粚Φ? 他也定義了續(xù)結(jié)的 Alexander 多項式 , 一個基礎(chǔ)的不變量.

3.4 Hellmuth Kneser, 格賴夫斯瓦爾德 (Greifswald), 1929 年

考慮定向連通的三維流形, 任取兩個都有連通和,

這在相差同構(gòu)意義下唯一. 還有恒等元素

定義 2. 流形  稱為是素的, 如果這是將 M 表示成連通和的唯一方式.

定理 5. 每個緊致流形 M 同構(gòu)于素三維流形的連通和

(許多年之后, 我證明這樣的素分解在相差順序和同構(gòu)意義下的唯一性, 這一結(jié)果變得完備. 見 Milnor [1962].)

3.5 Herbert Seifert, 萊比錫1993年

Seifert 纖維化形成了一類被很好地理解的三維流形, 它們由曲面上的圓周纖維構(gòu)成, 并允許有有限條特殊限定的奇異纖維.

3.6 Edwin Moise, 密西根大學(xué)，1952年

Moise (用大量的研究工作) 證明每個緊致三維流形都可以三角剖分, 這種剖分在分片線性同胚下唯一.

3.7 Christos Papakyriakopoulos, 普林斯頓, 1957 年

三維流形拓?fù)淅碚摰牡谝粋€重要突破來自于 Dehn 引理的證明, 該引理由 Max Dehn 在1910 年聲明, 但沒能正確地證明.

定理 6.  給定一個從單位方形  到  的分片線性映射, 并且在邊界點附近  是單值, 那么一定存在一個分片線性的嵌入, 它在邊界附近  與一致.

Papakyriakopoulos 的證明使用了巧妙的塔構(gòu)造, 可簡述如下: 像集 的正則鄰域 N 是一個帶邊的三維流形. 如果某一邊界分支有非零的虧格, 我們可以放在 N 的復(fù)迭空間中, 奇異的圓盤被提升到復(fù)迭空間中的奇異圓盤. 關(guān)鍵的步驟是提升的圓盤有更簡單的奇異, 于是在重復(fù)這一步驟有限次之后, 我們會達(dá)到虧格零的情形. 從而證明完成. 一個重要的推論如下:

設(shè)  是一個簡單閉的分片線性曲線. 那么 K 不打結(jié)當(dāng)且僅當(dāng)  .

實際上, 如果 K 是打結(jié)的,  會含有子群  , 它來自于K 的管狀鄰域邊界.

3.8  Wolfgang Haken, 慕尼黑, Friedhelm Waldhausen, 波恩, 20 世紀(jì) 60 年代

由定義, 在緊致可定向的分片線性三維流形M 中的不可壓縮曲面是一個緊致可定向的分片線性曲面 F, 滿足:

· 基本 π₁(F) 非平凡, 并嵌入于 π₁(M ), 并且

· 如果 F 有邊, 那么 M 必定有邊并且 ?F ? ?M .

有這樣不可壓縮曲面的不可約流形稱為 “充分大流形”, 或 Haken 流形. (這里, 不可約是指任意的嵌入二維球面都以三維球體為邊界.) 給定一個不可壓縮曲面, 再沿著它切開, Haken 在1962 年證明人們可歸納地構(gòu)造一系列不可壓縮曲面, 將流形分成單連通的塊. 他從沒發(fā)表該文章的下一部分, 其中應(yīng)含有他所做論證的細(xì)節(jié). Waldhausen 在1968 年發(fā)表了一個完整的論述, 并含有進(jìn)一步更重要的結(jié)果. 特別地, 他證明任意一個閉的 Haken 流形, 在相差一個分片線性同構(gòu)意義下, 由其基本群唯一決定. (在有邊 Haken 流形的情形, 人們還必須考慮對應(yīng)于邊界分支的子群.) 后來, Gordon 與Luecke[1989] 利用這一工作, 證明出素紐結(jié)被其補(bǔ)集的基本群唯一決定.

3.9 George D. Mostow, 耶魯, 1968 年

下面一個重要貢獻(xiàn)來自于完全不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.

剛性定理. 維數(shù)≥3的有曲率 K ≡ ?1 的閉Riemann 流形, 在相差一個等距意義下, 由其基本群唯一決定.

此結(jié)果也被 Margulis 證出, 由 Prasad 擴(kuò)展到體積有限的完備流形中. 一個重要的推論是:

這種流形的體積也是一個拓?fù)洳蛔兞?

這是一個全新類型的拓?fù)洳蛔兞? 與以前所知的完全不同. 許多其他的同構(gòu)不變量現(xiàn)在提升成同倫不變量, 如閉測地線的長度和 Laplace 算子的特征值. 然而, 體積是一個特別方便進(jìn)行研究的不變量.

在 20 世紀(jì) 70 年代, Robert Riley, 一個英格蘭南安普頓的博士研究生, 研究紐結(jié)群到雙曲三維空間自同構(gòu)群 PSL(2, C) 的表示, 集中在將緯元和平行于紐結(jié)的元素映到群中拋物元素的那些表示. 他發(fā)現(xiàn)了幾個例子 (包括 8 字型紐結(jié)), 其表示不僅將  同構(gòu)地映至PSL(2, C) 的子群  , 而且能提升成從紐結(jié)補(bǔ)集到商空間  的同胚, 這是一個體積有限的雙曲流形, 即它在一個常負(fù)曲率度量下是完備的, 并且體積有限.

這樣, 8 字型紐結(jié)在  中的補(bǔ)集能被賦予一個體積有限的完備的雙曲結(jié)構(gòu).

依然是在 20 世紀(jì) 70 年代, 哥倫比亞大學(xué)的 Troels J?rgensen 發(fā)現(xiàn)了 PSL(2, C) 子群  的一些例子, 其商空間  是有圓周上纖維叢結(jié)構(gòu)的緊致雙曲流形.

3.10 William Thurston, 普林斯頓, 20 世紀(jì) 70 年代后期

Thurston 找到了更多的雙曲紐結(jié)補(bǔ)空間. 他計算了 8 字型紐結(jié)補(bǔ)的體積, 通過將其 “三角剖分” 成兩個理想等邊 3 維單形來進(jìn)行. (參見Gieseking [1912]. ) 使用可追溯到Lobachevsky 的方法, 該體積是

關(guān)于雙曲體積, 他的主要結(jié)果可敘述如下:

定理 7. 雙曲三維流形所有體積值組成的集合是一個良序集, 即其中任何一個非空子集有最小元素. 更進(jìn)一步, 對任何固定的體積, 最多存在有限多個互不同胚的流形.

實際上, 有 k(k≥1) 個端的任意一個流形的體積是有 k ? 1 個端流形體積的遞增極限. 想法是每個端等同于  一個嵌入復(fù)本, 它可以被切掉而用一個實心環(huán)  以無限個不同的方式替代. 幾乎所有這些簡化后的流形都能被賦予雙曲結(jié)構(gòu), 它們的體積遞增地趨向原來流形的體積.

舉一個例子, Whitehead 鏈環(huán)在  中的補(bǔ)有兩個端, 對應(yīng)于鏈環(huán)的兩個分支. 圖中相繞的實心環(huán)中的一個或者兩個可以挖空并以無限多的方式填充上新的實心環(huán). 在此特殊的情形, 鏈環(huán)的補(bǔ)有雙曲體積 V = 3.66386 · · · .

3.11 William Jaco, Peter Shalen, Klaus Johannson, 20世紀(jì) 70 年代后期

以這三位命名的 JSJ  分解,  是沿著嵌入的球面或環(huán)面切割把三維流形分解成更簡單小塊的方式. 

下面是其中的一種敘述.

定理 8. 任意一個不可約的定向三維流形都有一個 (相差同痕) 唯一的互不相交的嵌入不可壓縮環(huán)面組成的最小集, 使得沿這些環(huán)面切開的三維流形分支或者是非環(huán)性的 (atoroidal)或者是 Seifert 纖維化.

此處非環(huán)性表示, 它不再有不可壓縮的嵌入環(huán)面.

3.12 Thurston, 1982 年: 幾何化猜想

這個大膽的猜想指出每個三維閉流形都由一些有簡單幾何結(jié)構(gòu)的塊組成. 確切地說, 猜想斷言每個光滑三維閉流形都可以通過一些嵌入的球面和環(huán)分解成若干  , 任意一個  都能被賦予局部齊性結(jié)構(gòu), 使得萬有復(fù)迭 是齊性空間能性.

更進(jìn)一步,  恰有八種可能性, 其中的三個是經(jīng)典的幾何:

(1)球面   , 有曲率 K ≡ +1. 以  為萬有復(fù)迭的Riemann流行已由 HeinzHopf 在1952年分類.

(2) 歐氏空間  , 有曲率 K ≡ 0. 對應(yīng)的緊致平坦流形已由 Bieberbach 在 1911 年分類.

(3) 雙曲空間  , 有曲率 K ≡ ?1. 它是最有趣和最困難的情形. 

下面兩個幾何很容易理解.

(4) .  例如, 

(5)  .  例如,   (雙曲曲面).

至于最后三個幾何, 將是三維李群, 帶有最大對稱的左不變度量.

(6) 冪零幾何, 有冪零群  .例如, 環(huán)面上非平凡圓周叢.

(7) 可解幾何, 有可解群  .例如, 圓周上大多數(shù)環(huán)面叢.

(8) 幾何. 例如, 雙曲曲面的單位切叢.請注意幾何化猜想包含 Poincaré 猜想做為一個特例.  Thurston 在許多有趣并且困難的情形證明了幾何化猜想. 然而一般的情形, 特別是 Poincaré  猜想,  躲開了他.

3.13 Richard Hamilton, 康奈爾大學(xué), 1982 年

Hamilton 利用微分方程

的 Ricci 流為研究流形的拓?fù)湟肓巳碌姆椒? 這里的  是 Riemann 流形在局部坐標(biāo)下的度量張量, 而  是 Ricci 曲率張量. 與熱傳導(dǎo)方程有些相似, 熱量從熱的區(qū)域流向冷的區(qū)域, 使得趨向常溫. 同樣地, 在 Ricci 流下, 曲率可直觀地想象成從正曲率區(qū)域流向負(fù)曲率區(qū)域, 趨向于曲率的一致分布.

如果我們的出發(fā)點是嚴(yán)格正 Ricci 曲率的流形, Hamilton 能夠做出證明. 這種情形, 度量流向常正曲率的度量, 從而且證明該流形微分同胚于標(biāo)準(zhǔn)的三維球面. 但對于更一般的初始條件,度量會發(fā)生復(fù)雜的奇點, Hamilton 沒能取得更多的進(jìn)展.

3.14 Grigori Pereleman, 圣彼得堡, 2003 年

通過對Ricci 流所產(chǎn)生奇點的仔細(xì)和精巧分析, Perelman 解決了 Hamilton 遇到難題. 一些奇點相對可控, 可以消除. 其他一些對應(yīng)于將嵌入球面收縮成一點, 于是對應(yīng)于連通和分解. 同樣還有其他的奇點, 對應(yīng)于環(huán)面分解. 最后, 當(dāng)沒有奇點時, 流導(dǎo)致趨于齊性的極限. 以這種方式,我們能完成全部幾何化猜想的證明, 包括做為一個特例的Poincaré猜想.

※ 進(jìn)一步的注記：

A3.1. Heegaard. 如今, 我們習(xí)慣于用 Heegaard 分解討論分片線性流形. (如見Hempel [1976].) 然而, 使用 Smale 型的論證和 “好” 的Morse 函數(shù), 我們同樣地可以構(gòu)造光滑流形的 Heegaard 分解. Heegaard的原始論證的確使用了可微的方法, 但是以一個相當(dāng)直觀的風(fēng)格.

A3.2.  Poincaré.  非平凡 Poincaré 同調(diào)球的一個方便模型是球形正十二面體空間, 從一個正十二面體通過等同相對的面得到, 等同過程是球面上的一個移動復(fù)合上一個 2π/10 旋轉(zhuǎn).仔細(xì)觀察, 由此產(chǎn)生的空間可以賦予常正曲率度量. (參見 Seifert 和 Threlfall [1934].) 不難發(fā)現(xiàn), 它同胚于陪集空間  . 這個陪集空間可以等效描述為: 空間一點對應(yīng)于中心在原點的正二十面體 (或十二面). 關(guān)于十二面體空間相當(dāng)于 Poincaré原始構(gòu)造的證明見Cannon  [1978].

如同對待 19 世紀(jì)的所有數(shù)學(xué)一樣, 我們必須小心, 因為有些詞的意義已經(jīng)改變.  對于 Poincaré,  “單連通” 空間是指拓?fù)渖系陌换蚯蛎? 他的“Betti 數(shù)” 是我們的 Betti 數(shù)加一.

A3.3. Alexander. 在 20 世紀(jì) 30 年代晚期, Alexander 是上同調(diào)理論創(chuàng)始人之一, 定義了任意緊度量空間的上同調(diào)群. (Alexander 的上同調(diào)群是同構(gòu)于幾年后定義的 Cech 上同調(diào)群, 雖然構(gòu)造極為不同.)

我從來沒有見過 Alexander, 他從 1951 年在高等研究院退休時, 就隱居起來, 直到他二十年后離世. 也許他想呆在人們的視線之外, 因為麥卡錫時代的政治氣候?qū)τ谒菢拥某肿笠碚斡^點的人是很危 險的. Alexander 是繼承財產(chǎn)的一個百萬富翁, 從來沒有領(lǐng)取研究院的工資.

A3.4. Kneser. 如果流形 M 非素, 那么它可以被描述為連通和 . 類似地, 如果其中的一個流形不是素的, 則它也可以表示為連通和, 以此類推. 問題是要證明這個構(gòu)造必定能最終停止. 我在 50 年前試圖解決這個問題 (見 Milnor [1962]), 然后如釋重負(fù)地也是懊惱地發(fā)現(xiàn) Kneser 在我出生之前就解決了它. 

Kneser,  像 Bieberbach, Teichmüller 和 Witt 一樣,  是納粹黨的早期支持者.

A3.7. Papakyriakopoulos. 他在普林斯頓的大部分時間, 我在那里. 我肯定認(rèn)識他, 但不記得曾經(jīng)與他有過交流, 也許我們都很害羞. 他很努力地獨(dú)自工作, 得到了由 Ralph Fox 設(shè)法安排的一個小的資助. 當(dāng)他的結(jié)果發(fā)現(xiàn)時, 我全然驚呆了, 我想其他人也會是這樣吧. 他的重要結(jié)果, 不僅包括 Dehn 引理, 而且還有環(huán)路定理, 它是一個更強(qiáng)的版本以及球定理. 球定理斷言: 對于滿足條件   的每一個可定向的分片線性三維流形M , 都可以找到一個分片線性的嵌入球面, 它代表  中一個不平凡的元素.

在Papakyriakopoulos之前和之后, 有一個很長的紐結(jié)理論的歷史. 開始于由P.G.Tait 在19世紀(jì)的一次嘗試, 接下來有J.W. Alexander, K. Reidemeister 和許多人的工作. 更完備的描述, 可見于: Crowell 和 Fox [1963], Rolfsen [1976], Lickorish [1997] 以及 Manolescu [2014].

A3.10. Thurston. 參 見 Thurston [1980, 1982], Gromov [1979—1980], 以及 Neumann 和 Zagier [1985].

哪些數(shù)可成為雙曲三維流形的體積? 這樣的數(shù)論將會是很有趣.(例如, 見 Borel [1981] 和 Zagier [1986], 還有我在 Thurston [1980, 第 7 章]中的評述).

與 Thurston 交談使我感到非常好奇, 我是典型地對他的數(shù)學(xué)斷言持懷疑態(tài)度的人. 他的斷言經(jīng)常是非常瘋狂, 但他卻從未出錯.