中國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展到宋元時(shí)期，終于走到了它的高峰。在這個(gè)數(shù)學(xué)創(chuàng)新的黃金時(shí)期中，各種數(shù)學(xué)成果層出不窮，令人目不暇接。其中特別引人注目的，當(dāng)首推北宋數(shù)學(xué)家賈憲創(chuàng)制的“賈憲三角”了。

　　由于史書沒有賈憲的傳記，所以我們今天對(duì)這位數(shù)學(xué)家的生平事跡已經(jīng)無法搞清楚了。只知道他曾經(jīng)當(dāng)過宋代“左班殿直”的小官，是當(dāng)時(shí)天文數(shù)學(xué)家楚衍的學(xué)生，還寫過兩部數(shù)學(xué)著作，可惜這兩部著作現(xiàn)在都失傳了。幸虧南宋數(shù)學(xué)家楊輝在他的書中引述了賈憲的許多數(shù)學(xué)思想資料，才使我們今天得以了解賈憲在數(shù)學(xué)上的重大貢獻(xiàn)。

　　賈憲最著名的數(shù)學(xué)成就，是他創(chuàng)制了一幅數(shù)字圖式，即“開方作法本源圖”（見圖1）。這幅圖現(xiàn)見于楊輝的書中，但楊輝在引用了這幅圖后特意說明：“賈憲用此術(shù)”。所以過去我國(guó)數(shù)學(xué)界把這幅圖稱為“楊輝三角”，實(shí)際上是不妥當(dāng)?shù)?，?yīng)該稱為“賈憲三角”才最為恰當(dāng)。

圖 1開方作法本源圖

　　用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)術(shù)語來說，這幅“開方作法本源圖”實(shí)際上是一個(gè)指數(shù)為正整數(shù)的二項(xiàng)式定理系數(shù)表。稍懂代數(shù)的讀者都知道：

　　如果把以上式子中等號(hào)右邊的各個(gè)系數(shù)排列起來，則可得：

　　這正好與“開方作法本源圖”上的數(shù)字完全相符。

　　這樣一種二項(xiàng)式系數(shù)的展開規(guī)律，在西方數(shù)學(xué)史上被稱為“帕斯卡三角形”。帕斯卡是法國(guó)數(shù)學(xué)家，他是在1654年所著的書中給出類似于賈憲“開方作法本源圖”的數(shù)字三角形表的（見圖2）。其實(shí)在歐洲，類似的數(shù)字三角形也并非帕斯卡最先發(fā)明，只是開始沒有廣泛流傳罷了。西方最古的此類數(shù)字三角形，可以上溯到1527年；但與賈憲的這個(gè)圖相比，已經(jīng)晚了四百多年。因此我們完全有理由把這項(xiàng)中國(guó)人最先發(fā)明的數(shù)學(xué)成果稱為“賈憲三角”而載人史冊(cè)。

　　不僅如此，賈憲的這個(gè)圖還蘊(yùn)含了圖中數(shù)字的產(chǎn)生規(guī)律。細(xì)心的讀者也許已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)三角形的兩條斜邊都是由數(shù)字１所組成的，而其他的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加。按此規(guī)律，這個(gè)數(shù)字三角形可以寫到任意多層；也就是說，二項(xiàng)式任意正整次冪的

　　系數(shù)展開都可以按照這個(gè)圖很容易地得到。

圖2 帕斯卡三角形

　　根據(jù)楊輝的記載，賈憲求“開方作法本源圖”中各項(xiàng)系數(shù)的方法，就是他在開平方、開立方中所用的新法——“增乘開方法”。應(yīng)用這種“增乘開方法”，既可求得任意高次展開式系數(shù)，又可進(jìn)行任意高次冪的開方。在賈憲之前，從漢代一直到唐代的一千多年時(shí)間里，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家只能進(jìn)行正數(shù)的開平方和開立方運(yùn)算，對(duì)于四次方以上的高次冪開方?jīng)]有什么好的方法。直到賈憲的“增乘開方法”問世，才真正找到了開高次方的最佳方法，并能用它開任意有理數(shù)的高次方。這在中國(guó)數(shù)學(xué)史乃至世界數(shù)學(xué)史上，都是具有極其重要的價(jià)值的。以后的數(shù)學(xué)家在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)前進(jìn)，又把它推廣為任意高次方程的數(shù)值解法。南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶在系統(tǒng)總結(jié)前人成果的基礎(chǔ)上，終于把以增乘開方法為主體的高次方程數(shù)值解法發(fā)展到了十分完備的程度。在秦九韶的著作中，方程的系數(shù)既有正的，也有負(fù)的；既有整數(shù)，也有小數(shù)；方程的次數(shù)最高達(dá)10次方。如：

　　其解法與現(xiàn)代通常使用的“霍納法”（由英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納于1819年給出）基本一致，但比霍納法要早了五百多年。從賈憲到秦九韶逐步發(fā)展完備起來的高次方程數(shù)值解法，是中國(guó)數(shù)學(xué)在宋元時(shí)期的一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造。