繼續(xù)上節(jié)：希臘郵票上的“勾股定理”和中國的“商高定理”

級數(shù)趣談——從1+2+3＋…+n談起

古時候的中國、埃及、巴比倫、印度的勞動人民，通過了以下的幾何圖形，認識了這個公式（a＋b）²=a²＋2ab＋b²。它是公式（a＋b）ⁿ的特殊情形。這公式在科學(xué)上很有用。而在初中我們學(xué)到怎樣算（a＋b）ⁿ，當(dāng)n是較小的正整數(shù)。如：

n＝1， 我們有（a＋b）¹＝a＋b

n＝2，我們有（a＋b）²＝（a＋b）（a＋b）

＝a（a＋b）＋b（a＋b）

＝a²＋2ab＋b²

n＝3，我們有（a＋b）³＝（a＋b）（a＋b）²

＝a（a²＋2ab＋b²）＋b（a²＋2ab＋b²）

＝a³＋ 3a²b+3ab²+b³

是否有較快的方法，寫下（a＋b）ⁿ的展開式呢？

有的，請看底下的方法，這方法的原理和上面的展開方法是一樣的，但容易看出來：

我們用符號n?。ㄗxn的階乘）來表示乘積n×（n-1）×（n-2）×…×3×2×1。然后用符號（n^r）（這是大數(shù)學(xué)家歐拉采用的符號）

17世紀末的英國科學(xué)家牛頓（I．Newton）發(fā)現(xiàn)了二項式的一般展開式可以寫成：

這結(jié)果一般數(shù)學(xué)書稱為牛頓二項式定理，這是代數(shù)上的一個基本和重要的定理。

今天我們就從這個定理出發(fā)，談?wù)勔恍?shù)學(xué)故事。首先我們提到的是一個17世紀時科學(xué)界上的風(fēng)云人物。

富有傳奇色彩的帕斯卡

帕斯卡（Blaise Pascal 1623—1662）是法國著名的科學(xué)家，我們在中學(xué)學(xué)到的水壓機原理就是他發(fā)現(xiàn)的。他的著名的Tori-celli實驗，證明了空氣是有壓力，轟動法國一時。那時他才23歲。在物理上他奠立了流體靜力學(xué)的基礎(chǔ)理論。在數(shù)學(xué)上他的貢獻也是不少。

帕斯卡很小的時候母親就去世了，由在稅務(wù)局工作的父親教育他的姐姐及妹妹。父親是一個數(shù)學(xué)愛好者，常和一些懂?dāng)?shù)學(xué)的人交往，可是他認為數(shù)學(xué)對小孩子是有害且會傷腦筋，因此孩子應(yīng)該在15—16歲時才學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這之前就學(xué)一些拉丁文或希臘文。因此在帕斯卡小時父親從來不教他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，只是教他一些語文和歷史，而且帕斯卡的身體也不太強壯，父親更不敢讓他接觸到數(shù)學(xué)。

帕斯卡在12歲的時候，偶然看到父親在讀幾何書。他好奇的問幾何學(xué)是什么？父親為了不想讓他知道太多，只是大約講幾何研究的是圖形如三角形、正方形和圓的性質(zhì)，用處就是教人畫圖時能作出正確美觀的圖。父親很小心的把自己的數(shù)學(xué)書都收藏好，怕給帕斯卡去翻動。

可是帕斯卡卻引起了興趣，他根據(jù)父親講的一些幾何簡單知識，自己獨立對幾何學(xué)研究。當(dāng)他把他的發(fā)現(xiàn)：“任何三角形的三個內(nèi)角和是一百八十度”的結(jié)果告訴父親時，父親是驚喜交集，竟然哭起來。父親于是搬出了歐幾里得的《幾何原本》給帕斯卡看。帕斯卡才開始接觸到數(shù)學(xué)書籍。

他的數(shù)學(xué)才能顯得很早熟，在13歲的時候就發(fā)現(xiàn)了所謂“帕斯卡三角形”。還不到16歲他發(fā)現(xiàn)了射影幾何學(xué)的一個基本原理：圓錐曲線里的內(nèi)接六邊形對邊的交點共線。在他17歲時利用這定理寫出了有400多個定理的關(guān)于圓錐曲線的論文。解析幾何的創(chuàng)建人笛卡兒（Descarte）讀到這論文時不相信這是一個少年所寫的東西。

在19歲時他為了減輕父親計算稅務(wù)的麻煩，發(fā)明了世界上最早的計算機，只有加減的運算罷了。但是所用的設(shè)計的原理，現(xiàn)在的計算機還是用到。

數(shù)學(xué)上的數(shù)學(xué)歸納法是他最早發(fā)現(xiàn)。

可是在1654年11月的一天，他在巴黎乘馬車發(fā)生意外，差一點掉進河里去，他受驚后覺得大難不死一定有神明庇護，于是決定放棄數(shù)學(xué)和科學(xué)去研究神學(xué)了。只有在偶爾牙痛時才想些數(shù)學(xué)問題，用這個方法來忘記痛苦。

晚年他更極端，像苦行僧一樣，他把有尖刺的腰帶纏在腰上，如果他認為有什么不虔敬的想法從腦海出現(xiàn)，就用肘去打這腰帶，來刺痛身體。帕斯卡不到39歲就去世了。

帕斯卡非常接近發(fā)現(xiàn)微積分理論。德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲后來寫道：當(dāng)他讀到帕斯卡的著作，使他像觸電一樣，突然悟到了一些道理，后來才建立了微積分的理論。

帕斯卡在法國文學(xué)上地位也很高，讀者對他的生平和文學(xué)工作如有興趣，可以找吳達元著的：《法國文學(xué)史》（商務(wù)印書館發(fā)行）來看。

帕斯卡怎樣得到他的三角形

據(jù)說帕斯卡有一天在一張紙上用1、1、1、1…寫了水平和垂直的數(shù)列，呈一個倒L字形。（參看圖一）

然后在第二行第二列的地方，他寫上第一行的第二位數(shù)加上第二行第一位數(shù)的數(shù)字和，即1+1=2。然后他再把這數(shù)加上第一行第三位的數(shù)，得到2＋1=3，這樣繼續(xù)下去，到了9為止。

現(xiàn)在他把第三行的第一位數(shù)加上第二行第二位數(shù)，結(jié)果是3填寫在第三行的第二位數(shù)里。這樣他又把這個新數(shù)和第二行第三位數(shù)加在一起，把結(jié)果6寫在第三行第三位數(shù)。

他一直進行這種鋸齒形的加法。最后他看到的圖形就是圖一。他發(fā)現(xiàn)這個圖形有一個巧妙的地方，如果從左上角到右下角的方向畫一條對角線，在這對角線的二邊的對字是以這軸為對稱軸。

讀者如果細心的話，會發(fā)現(xiàn)有一個以Z為一頂點的正方形，從右上角到左下角的對角線所經(jīng)過的數(shù)字，恰好是牛頓二項式定理對于一個特別n展開的系數(shù)。

歐洲數(shù)學(xué)家就稱這個三角形為“帕斯卡三角形”?？墒呛髞砣藗儼l(fā)現(xiàn)比帕斯卡還早100年，有一個數(shù)學(xué)家名叫Petrus Api－anus在他著的數(shù)學(xué)書里就有這個圖了，這書是在1527年印刷。

中國人最早發(fā)現(xiàn)這個三角形

帕斯卡永遠也不會想到中國人在他出生之前的600多年就已經(jīng)知道這個所謂“帕斯卡三角形”了。

原來中國宋朝的數(shù)學(xué)家楊輝在1261年著了一部叫《詳解九章算法》的書，里面有一個圖（見圖二），并說明：“開方作法本源，出《釋鎖算書》，賈憲用此術(shù)?！?/span>

我們對賈憲的生平知道的不多，而《釋鎖算書》早已失傳。只知道他是北宋時楚衍（1022—1053）的學(xué)生，這樣看來賈憲是比帕斯卡早600多年知道這個三角形。因此外國人稱它作“帕斯卡三角形”，我們理所當(dāng)然的該稱為“賈憲三角形”。

賈憲為什么會發(fā)現(xiàn)這個三角形呢？這里倒有一點歷史可以談?wù)?。我們知道中國古代有一部?nèi)容豐富的數(shù)學(xué)書叫《九章算術(shù)》，后來祖沖之和唐初的王孝通推廣了《九章算術(shù)》中開平方和開立方的方法，求得二次方程、三次方程的正根。賈憲就是在研究開立方的問題時才發(fā)現(xiàn)了“增乘開方法”。我們現(xiàn)在中學(xué)學(xué)的開立方方法事實上就是這個方法。

賈憲的工作對后來的中國代數(shù)學(xué)家影響很大。在1247年秦九韶的《數(shù)書九章》和1248年李治的《測圓海鏡》兩書中，都用增乘開方法求得高次方程的正根。這個方法就是現(xiàn)在代數(shù)學(xué)中的所謂“和涅法”（Horner’s method）。和涅（W．G．Horner1786—1837）是在1819年才發(fā)現(xiàn)這個方法，這也比中國數(shù)學(xué)家遲了500多年。

除了楊輝的書有這個賈憲三角形，另外一本元朝朱世杰的書：《四元玉鑒》也有這個賈憲三角形的圖（見插圖三）。這書出版于1303年。

這個圖告訴我們許多有趣的事：①到了14世紀初中國仍舊是用籌算（珠算是在這時期發(fā)明）。②中國人很早

我們是否也可以把二項式定理改稱為賈憲定理？因為賈憲畢竟是比牛頓早知道這些事實。

我們以前說過日本早期的數(shù)學(xué)很受朱世杰的工作的影響，這里我們影印了一部在1781年日本出版的數(shù)學(xué)書有關(guān)于賈憲三角形的圖。從這圖里的籌算的記號和朱世杰的書比較就明顯的看出這圖是來自中國，而不是日本人發(fā)現(xiàn)。（見圖四）

賈憲三角的一些趣味性質(zhì)

帕斯卡同時期有一個法國著名數(shù)學(xué)家費馬（P．Fermat），他對數(shù)論的問題很有興趣，而且和帕斯卡又很友好。費馬三番四次要引起帕斯卡對數(shù)論也產(chǎn)生興趣，這樣他們可以一起研究討論，可是帕斯卡從來對這門數(shù)學(xué)并不在意，也從來沒有做這方面的研究，結(jié)果費馬只好自己繼續(xù)“孤軍作戰(zhàn)”。

可是他們同時卻對一個問題產(chǎn)生興趣，而且一起研究，結(jié)果奠立了一門數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論。他們感興趣的問題是：丟擲一個銅板或者一粒骰子幾次，我們所期望的結(jié)果出現(xiàn)的機會是多大？能不能計算出來？

原來在當(dāng)時歐洲的上層貴族階級，平日不事生產(chǎn)，“飽食終日，無所用心”，閑來不是打鼠、跳舞作樂，就是賭博。賭博的風(fēng)氣是很盛的，在長期賭博的過程，人們發(fā)現(xiàn)這里面好像有一門“學(xué)問”，可是卻不知道怎樣去說明。

帕斯卡和費馬研究最簡單的情形：擲銅板的游戲。一個銅板只有二面：頭和花。我們用英文字母T代表花，H代表頭。

擲銅板一個一次出現(xiàn)的可能情形是：T、H。

擲銅板一個二次出現(xiàn)的可能情形是：TT、TH、HT、HH。

擲銅板三次出現(xiàn)的可能情形是：TTT、THT、HTT、TTH、THH、HTH、HHT、HHH。

在這類游戲中，我們并不關(guān)心頭和花出現(xiàn)的次序而是它們的次數(shù)。因此我們把TH和HT看成是一樣的，THT和HTT及TTH是當(dāng)作相同，又如果我們把TT、TTT簡寫成T²、T³。那么我們看看擲銅板游戲的結(jié)果：

擲一次：               T           H

擲二次：             T²                  2TH       H²

擲三次：          T³                  3T²H      3TH²          H³

擲四次：T⁴      4T³H       6T²H²            4TH³              H⁴

這就出現(xiàn)了賈憲三角形！

我們現(xiàn)在定義在一個試驗過程（如擲銅板游戲或投骰子等等），一個事件發(fā)生的概率（或然率或機會率Probability）是等于這件事件出現(xiàn)的次數(shù)和所有可能出現(xiàn)的事件的次數(shù)的比。這樣一定發(fā)生的事件的概率是1，不可能發(fā)生的事件的概率是0。而一個事件的概率越漸近1，其出現(xiàn)的機會就是越大。

例如：我們擲一個銅板四次，出現(xiàn)二個頭二個花的概率是6÷（1+4+6+4+1）。由經(jīng)驗我們知道這情形出現(xiàn)是比出一個頭三個花的情形多得多。

費馬和帕斯卡就是由這些賭博游戲建立了一門數(shù)學(xué)“概率論”（Theory of Probability）的基礎(chǔ)理論。這門數(shù)學(xué)是有很大的應(yīng)用價值，如在預(yù)報地震就有用到它。

賈憲三角形和牛頓二項式定理曾經(jīng)是以前許多數(shù)學(xué)家研究的對象，到現(xiàn)在還有很多問題可以研究。

首先從二項式系數(shù)可以推廣到復(fù)數(shù)的情形來定義：

清朝的李善蘭（1811—1882），就有一個很有用的結(jié)果：對于任何實數(shù)或復(fù)數(shù)x和y，以及正整數(shù)n，恒有：

挪威19世紀的最偉大也是生活最潦倒的數(shù)學(xué)家阿貝爾在1826年推廣了牛頓二項式定理，他的結(jié)果是：

當(dāng)z=0時，就是二項式定理。這個證明是相當(dāng)?shù)碾y。

在近年一些數(shù)學(xué)家證明了在賈憲三角形里有這種“星的性質(zhì)”：如

讀者可以從賈憲三角形里驗證。

“伯努利公式”和古代的“招差術(shù)”

17世紀末的瑞士數(shù)學(xué)家伯努利（Bernoulli）發(fā)現(xiàn)了一個公式，在求高階等差級數(shù)的和時，效用很大。這公式和二項式系數(shù)有關(guān)系。

如果f（x）是x的實函數(shù)，那么f（x+1）-f（x）稱為f（x）的差分，用△f（x）表示?！鱢（x）是一個實函數(shù)，我們也可以再求它的差分，這差分就叫做f（x）的二級差分，用△²f（x）表示，因此

△²f（x）=△[f（x+1）-f（x）]

=f（x+2）-2f（x+1）+f（x）

我們又用△³f（x）來表示△²f（x）的差分，叫做f（x）的三級差分；顯然有

△³f（x）=f（x+3）-3f（x+2）+3f（x+1）-f（x）

依此類推，我們有了△^r-1f（x）這函數(shù)，就可以定義f（x）的r級差分△^rf（x），它是△^r-1f（x）的差分。而且我們有公式：

伯努利的求和公式是這樣：對任一函數(shù)f（x），則

這個公式的好處是：如果f（x）是一個 m次多項式，則對于一切x而言，△^m+1f（x）=0，因此不論 n是怎么樣大的數(shù)，以上的求和公式只包含m+1個項，計算起來很簡便。

例 求1⁴+2⁴+3⁴+…+n⁴的和的公式。

我們從前面的文章知道這公式是歐洲的數(shù)學(xué)家花了將近一千年的時間才找到的，現(xiàn)在我們很容易就可以算出來。

解 我們先列出逐差表：

f（1），f（2），f（3），f（4）…，f（k-1），f（k）

f（2）-f（1），f（3）-f（2），…，f（k）-f（k-1）

f（3）-2f（2）+f（1），…，f（k）-2f（k-1）+f（k-2）

從第二行開始，每一行左邊角落的數(shù)分別是△f（1），△²f（1），…。

在這題我們的函數(shù)是f（x）=x⁴，它的逐差表可以寫成：

的大數(shù)學(xué)家都算不出來。你現(xiàn)在會感覺到伯努利的求和公式是非常有用的吧！可是你不會想到這個方法，事實上是我們祖先在研究天文時所發(fā)現(xiàn)出來的“招差術(shù)”，這發(fā)現(xiàn)距今有1300多年的歷史了！

根據(jù)中國數(shù)學(xué)史家李儼的《中國算學(xué)史》，在隋朝時的劉焯（544—610），在《皇極歷》內(nèi)創(chuàng)造了“招差術(shù)”。

到了元朝王洵、郭守敬等撰的《授時歷》法用到了招差術(shù)推算太陽按日經(jīng)行度數(shù)和月球按日經(jīng)行度數(shù)。

我們在前面談到過的比費馬在級數(shù)研究還有深入貢獻的中國數(shù)學(xué)家朱世杰，在他的書《四元玉鑒》里也是用招差術(shù)來解決高階等差級數(shù)的求和問題。我們舉一個實際的例子來看。在這書里有一個問題是這樣：

“今有官司依立方招兵，初（日）招方面三尺，次（日）招方面較多一尺……已招二萬三千四百人?！瓎栒衼韼兹眨俊?/span>

第一日招兵3³=27人，第二日招兵4³=64人，第三日招5³=125人，等等，問幾日共招到23400人？

朱世杰用招差術(shù)先算出f（x）=（x+2）³的逐差表：

這里f（1）=27，△f（1）=37，△²f（1）=24，△³f（1）=6，

△⁴f（1）=0，因此如果第n日的總?cè)藬?shù)是S_n，則我們得公式

現(xiàn)在令S_n=23400，上式就可以轉(zhuǎn)化成n的一個四次方程，朱世杰用增乘開方法求得n=15。

中國古代的數(shù)學(xué)家的確是在數(shù)學(xué)上作出了很多重要的貢獻。就以楊輝和朱世杰在代數(shù)的研究來講比歐洲的數(shù)學(xué)家還深入，而且他們也是在學(xué)習(xí)了先輩的數(shù)學(xué)著作后，再加以發(fā)揮創(chuàng)新。

我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)一點中國數(shù)學(xué)史，并不是要鉆牛角尖去考證：“我的本家以前還是怎么樣怎么樣”，重要的是不要數(shù)典忘祖，被外國的權(quán)威誤導(dǎo)，以為以前我們樣樣都不如人。知道我們祖先的成就，再學(xué)習(xí)一些先進方法，相信在“戒驕戒躁，不亢不卑”的作風(fēng)下定能迅速進步。

動腦筋與學(xué)習(xí)

這里我們提供了一些數(shù)學(xué)問題，供給一些自學(xué)的青年、對數(shù)學(xué)有興趣的人士以及中學(xué)教師作為輔助教材。

（1）學(xué)習(xí)華羅庚著的《從楊輝三角談起》這小冊子。里面有豐富的材料和趣味的例子。

（2）挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（H．Abel）在1823年8月4日從哥本哈根寫信給他的老師洪波特談他在數(shù)論及分析上的一些新成果。在信上他調(diào)皮的寫道：。你能猜出他想告訴他老師什么東西嗎？

（3）試用招差術(shù)證明清朝陳世仁（1676—1722）所發(fā)現(xiàn)的一個數(shù)學(xué)公式

1²+3²+5²+…+（2n-1）²=n（4n²-1）÷3。

（4）證明

（5）證明

（6）從以上的4和5題的結(jié)果，你能找到一個一般的公式嗎？若是能夠試試找出一個巧妙的證明，再告訴我好嗎？