來(lái)源：新智元

人類(lèi)第一次將42寫(xiě)成了3個(gè)整數(shù)的立方和！

昨天，有人在 MIT 數(shù)學(xué)系的網(wǎng)站上貼出一個(gè)等式，網(wǎng)頁(yè)很簡(jiǎn)單，但沒(méi)給出結(jié)果：

(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3

等于 42！

在推特上，菲爾茲獎(jiǎng)得主高爾斯也轉(zhuǎn)發(fā)了這個(gè)結(jié)果。

這是一個(gè)大新聞，因?yàn)橹链?，下面這句話(huà)成為了定理：

除了 9n±4 型自然數(shù)外，所有 100 以?xún)?nèi)的自然數(shù)都能寫(xiě)成三個(gè)整數(shù)的立方和。

是的，在此之前，42是100以?xún)?nèi)最后一個(gè)尚未找到立方和的整數(shù)解的自然數(shù)?，F(xiàn)在，這個(gè)解也找到了。

找到這個(gè)等式的數(shù)學(xué)家是來(lái)自布里斯托大學(xué)的 Andrew Booker 和來(lái)自麻省理工學(xué)院的Andrew Sutherland。

Andrew Booker 是布里斯托大學(xué)數(shù)學(xué)教授

Andrew Sutherland是MIT數(shù)學(xué)系首席研究科學(xué)家

今年3月， Andrew Booker 找到了33的立方和整數(shù)解，同樣引起數(shù)學(xué)界轟動(dòng)。昨天，Andrew Booker穿著印有“42”的T恤接受采訪(fǎng)，解釋了他們的研究過(guò)程。

MIT的網(wǎng)頁(yè)截圖

在道格拉斯·亞當(dāng)斯著名的《銀河系漫游指南》系列中，42是“生命、宇宙以及一切的終極答案”。

面對(duì)這個(gè)玄妙的答案，泛維度種族需要回過(guò)頭先弄明白生命宇宙以及一切的終極問(wèn)題，方能理解答案。但 “沉思” 不能勝任此項(xiàng)艱巨的任務(wù)，它說(shuō)：“你們需要一臺(tái)能夠計(jì)算出這個(gè)終極答案的電腦，這臺(tái)電腦具有無(wú)限和微妙的復(fù)雜性，以至于有機(jī)生命本身將會(huì)成為操作母體的一部分。你們自身也會(huì)以一種新的生命形式投入到這臺(tái)電腦中，去操控為期 1000 萬(wàn)年的程序。我將會(huì)為你們?cè)O(shè)計(jì)出這臺(tái)電腦，并且我已為它取好名字。它將會(huì)被稱(chēng)為…… 地球?！?/span>

    人類(lèi)為什么對(duì)這樣一個(gè)等式如此著迷呢？

這個(gè)問(wèn)題至少可以追溯到 1825 年，數(shù)學(xué)家想知道，如果給定整數(shù) K，是否存在整數(shù) X、Y、Z，滿(mǎn)足：

X^3 + Y^3 + Z^3 = K。

數(shù)論領(lǐng)域下有一大分支叫“丟番圖方程”：

丟番圖 (Diophantine) 是一位古希臘的大數(shù)學(xué)家，被認(rèn)為是第一位懂得使用符號(hào)代表數(shù)來(lái)研究問(wèn)題的人。

丟番圖和他的墓志銘

墳中安葬著丟番圖。

多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路。

上帝給予的童年占六分之一，

又過(guò)十二分之一，兩頰長(zhǎng)胡，

再過(guò)七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。

五年之后天賜貴子，

可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。

悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，

又過(guò)四年，他也走完了人生的旅途。

回到丟番圖方程，由于立方數(shù)模 9 同余 0、1 或 - 1，三立方數(shù)和模 9 不可能同余 4 或 5，因而這是整數(shù)解存在的一個(gè)必要條件。因此9k+4或9k+5這種形式的整數(shù)不能寫(xiě)成三個(gè)立方數(shù)之和。然而，對(duì)于該條件是否同時(shí)為充分條件目前仍未有定論。

1992年，牛津大學(xué)的Roger Heath-Brown提出猜想，即其它所有整數(shù)都可以用無(wú)窮多種不同的方式寫(xiě)成三個(gè)立方體的和。在那以后，數(shù)學(xué)家們似乎已經(jīng)被Heath-Brown的論點(diǎn)所說(shuō)服，然而，找到把任何特定的數(shù)寫(xiě)成三個(gè)立方體之和的方法仍然是一個(gè)難題。

2000年，哈佛大學(xué)的Noam Elkies提出了一個(gè)實(shí)用的算法來(lái)尋找這類(lèi)解。Elkies和其他數(shù)學(xué)家使用類(lèi)似的方法，成功地為許多較小的整數(shù)找到了立方和的整數(shù)解。

(https:///abs/math/0005139)

2015年，數(shù)學(xué)家Tim Browning錄制了一段視頻，解釋了這個(gè)問(wèn)題。在那個(gè)時(shí)候，只有33、42和74這三個(gè)小于100的整數(shù)尚未找到解。這段視頻讓更多的人注意到了這個(gè)問(wèn)題，并帶來(lái)了一系列的突破。

Tim Browning的視頻讓更多數(shù)學(xué)家關(guān)注這個(gè)問(wèn)題

受到這段視頻的啟發(fā)，幾個(gè)月后，Sander Huisman找到了74的立方和整數(shù)解:

他提出了一種新的算法，這種算法能更有效地找到一個(gè)特定數(shù)字的解。2019年2月27日，Booker公布了33的立方和整數(shù)解。

這意味著100以?xún)?nèi)的自然數(shù)的立方和的整數(shù)解全部找到！

1000以?xún)?nèi)還沒(méi)找到解的整數(shù)只剩下：114,165,390,579,627,633,732,906,921 和 975。

1 = (-1)3 + 13 + 13

2 = 73 + (-5)3 + (-6)3

3 = 13 + 13 + 13

4 不可能

5 不可能

6 = (-1)3 + (-1)3 + 23

7 = 1043 + 323 + (-105)3

8 = (-1)3 + 13 + 23

9 = 2173 + (-52)3 + (-216)3

10 = 13 + 13 + 23

11 = (-2)3 + (-2)3 + 33

12 = 73 + 103 + (-11)3

13 不可能

14 不可能

15 = (-1)3 + 23 + 23

16 = (-511)3 + (-1609)3 + 16263

17 = 13 + 23 + 23

18 = (-1)3 + (-2)3 + 33

19 = 193 + (-14)3 + (-16)3

20 = 13 + (-2)3 + 33

21 = (-11)3 + (-14)3 + 163

22 不可能

23 不可能

24 = (-2901096694)3 + (-15550555555)3 + 155841398273

25 = (-1)3 + (-1)3 + 33

26 = 2973 + 1613 + (-312)3

27 = (-1)3 + 13 + 33

28 = 143 + 133 + (-17)3

29 = 13 + 13 + 33

30 = (-283059965)3 + (-2218888517)3 + 22204229323

31 不可能

32 不可能

33 = 88661289752875283 + (-8778405442862239)3 + (-2736111468807040)3

34 = (-1)3 + 23 + 33

35 = 143 + (-8)3 + (-13)3

36 = 13 + 23 + 33

37 = 503 + 373 + (-56)3

38 = 13 + (-3)3 + 43

39 = 1173673 + 1344763 + (-159380)3

40 不可能

41 不可能

42 = (-80538738812075974)3 + 804357581458175153 + 126021232973356313

43 = 23 + 23 + 33

44 = (-5)3 + (-7)3 + 83

45 = 23 + (-3)3 + 43

46 = (-2)3 + 33 + 33

47 = 63 + 73 + (-8)3

48 = (-23)3 + (-26)3 + 313

49 不可能

50 不可能

51 = 6023 + 6593 + (-796)3

52 = 239612924543 + 607029013173 + (-61922712865)3

53 = (-1)3 + 33 + 33

54 = (-7)3 + (-11)3 + 123

55 = 13 + 33 + 33

56 = (-11)3 + (-21)3 + 223

57 = 13 + (-2)3 + 43

58 不可能

59 不可能

60 = (-1)3 + (-4)3 + 53

61 = 8453 + 6683 + (-966)3

62 = 33 + 33 + 23

63 = 73 + (-4)3 + (-6)3

64 = (-1)3 + 13 + 43

65 = 913 + 853 + (-111)3

66 = 13 + 13 + 43

67 不可能

68 不可能

69 = 23 + (-4)3 + 53

70 = 113 + 203 + (-21)3

71 = (-1)3 + 23 + 43

72 = 73 + 93 + (-10)3

73 = 13 + 23 + 43

74 = (-284650292555885)3 + (66229832190556)3 + (283450105697727)3

75 = 43811593 + 4352030833 + (-435203231)3

76 不可能

77 不可能

78 = 263 + 533 + (-55)3

79 = (-19)3 + (-33)3 + 353

80 = 692413 + 1035323 + (-112969)3

81 = 103 + 173 + (-18)3

82 = (-11)3 + (-11)3 + 143

83 = (-2)3 + 33 + 43

84 = (-8241191)3 + (-41531726)3 + 416396113

85 不可能

86 不可能

87 = (-1972)3 + (-4126)3 + 42713

88 = 33 + (-4)3 + 53

89 = 63 + 63 + (-7)3

90 = (-1)3 + 33 + 43

91 = 3643 + 1923 + (-381)3

92 = 13 + 33 + 43

93 = (-5)3 + (-5)3 + 73

94 不可能

95 不可能

96 = 108533 + 131393 + (-15250)3

97 = (-1)3 + (-3)3 + 53

98 = 143 + 93 + (-15)3

99 = 23 + 33 + 43

100 = 73 + (-3)3 + (-6)3