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編譯 | 楊莉昕 戚譯引

數(shù)學(xué)家一直想知道數(shù)字 33 能否寫成三個(gè)整數(shù)立方之和的形式，也就是說(shuō)，方程 33 = x3  y3  z3 是否有整數(shù)解。最近，英國(guó)布里斯托大學(xué)（University of Bristol）的數(shù)學(xué)家 Andrew Booker 終于破解了這個(gè)難題，他發(fā)現(xiàn)：

(8,866,128,975,287,528)3

(–8,778,405,442,862,239)3

(-2,736,111,468,807,040)3 

=

33

相關(guān)論文已經(jīng)以預(yù)印本形式發(fā)表（論文鏈接），數(shù)論學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者們?yōu)橹畾g呼雀躍。這個(gè)方程雖然一眼就能看懂，實(shí)際上它卻可以追溯到數(shù)學(xué)中最古老的謎題之一，對(duì)這個(gè)領(lǐng)域的探索將對(duì)我們理解整數(shù)的性質(zhì)甚至計(jì)算機(jī)的運(yùn)行帶來(lái)啟發(fā)。

k = x3  y3  z3 問(wèn)題是丟番圖方程（Diophantine equation）的一種形式，其中 x、y、z 和 k 均為整數(shù)。這個(gè)方程以古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖命名，但它可以追溯到古巴比倫時(shí)代。費(fèi)馬那句著名的“我想到了一個(gè)絕妙的證明，但是這頁(yè)邊空白太小了寫不下”，最初就寫在這條方程旁邊。（費(fèi)馬大定理：當(dāng)整數(shù) n>2 時(shí)，關(guān)于 x, y, z 的不定方程 xⁿ  yⁿ=zⁿ 沒(méi)有整數(shù)解。）

據(jù)考證，費(fèi)馬讀的是 1621 年出版的《算數(shù)》，右側(cè)空白就是那個(gè)寫不下證明的地方。圖片來(lái)源：Wikipedia

在這個(gè)“三次方之和”問(wèn)題中，對(duì)于 k 的不同取值，方程可能無(wú)解，也可能存在無(wú)限多解。例如，當(dāng) k=29，我們很容易想到 29 = 33   13   13。還有一些情況，例如對(duì) k=32，方程沒(méi)有整數(shù)解。

自從 1955 年以來(lái)，數(shù)學(xué)家就嘗試借助計(jì)算機(jī)解決這一問(wèn)題。一些方程的解數(shù)字十分龐大，比如 k=26 的情形，26 = (114,844,365)3   (110,902,301)3   (–142,254,840)3。在排除無(wú)解的數(shù)字之后，數(shù)學(xué)家一般用窮舉法計(jì)算方程的解，也就是簡(jiǎn)單粗暴地一個(gè)個(gè)嘗試可能的選項(xiàng)。在 1999 年，有數(shù)學(xué)家算出了 k=30 的一組解，這三個(gè)數(shù)字中有兩個(gè)是負(fù)數(shù)，都包含 9 到 10 位數(shù)字，看起來(lái)更像是彩票號(hào)碼。

到 2015 年，對(duì) 100 以下的 k 值，還沒(méi)有被解決的數(shù)字只剩下33、42 和 74。對(duì)于 k=33，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們已經(jīng)對(duì) 10¹⁴ 以下的數(shù)字進(jìn)行了搜索，卻一無(wú)所獲。到 2016 年 4 月，法國(guó)數(shù)學(xué)家 Sander Huisman 在 10¹⁵ 以下的數(shù)字中進(jìn)行搜索，解出了 k=74 對(duì)應(yīng)的方程，代價(jià)是約十萬(wàn)個(gè) CPU 小時(shí)的運(yùn)算量。

到這個(gè)時(shí)候，100 以內(nèi)還未找到整數(shù)解的 k 值只剩下 33 和 42。

2015 年，YouTube 數(shù)學(xué)頻道 Numberphile 發(fā)布了一個(gè)介紹丟番圖方程的視頻。這個(gè)視頻非?；鸨缃褚呀?jīng)有超過(guò) 140 萬(wàn)次觀看。盡管 Numberphile 一再溫馨提醒觀眾“不要嘗試暫停視頻親自計(jì)算”，它卻引起了數(shù)學(xué)家 Andrew Booker 的強(qiáng)烈興趣。（有趣的是，前文解出了 k=74 對(duì)應(yīng)方程的法國(guó)數(shù)學(xué)家也是通過(guò)這個(gè)視頻“入坑”的。）

Booker 設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單的算法，大大提高了搜索的效率，并且他將搜索上限提升到 10¹⁶。具體而言，他對(duì)方程做了一些簡(jiǎn)單的變換：

 x³ y³ z³=33
 x³ y³=33-z³
(x y)(x²-xy y²)=33-z³

由于 x y 為非零整數(shù)，方程可以被轉(zhuǎn)換為：

     x²-xy y²=(33-z³)/d
x y=d

只要選定 z 和 d 的值，那么這就是一個(gè)二元二次方程組。計(jì)算機(jī)要做的就是針對(duì)不同的 z 值和 d 值，一一確定方程組是否有整數(shù)解。

Andrew Booker 接受 Numberphile 采訪。圖片來(lái)源：https:///ASoz_NuIvP0

Booker 告訴 Quanta Magazine，之前的算法“不知道它們?cè)谡沂裁础保鼈兛梢栽诮o定范圍內(nèi)對(duì)整數(shù)進(jìn)行搜索，尋找方程 k = x3   y3   z3 的解，其中 k 為任意整數(shù)；也就是說(shuō)，舊的算法不能針對(duì)特定的 k 求出方程的解，比如對(duì)于 k = 33，而他的算法可以。也正因此，相比于那些沒(méi)有目標(biāo)的算法而言，它的運(yùn)行速度“在實(shí)際運(yùn)用中要快 20 倍”。

Booker 使用了大學(xué)里的超級(jí)計(jì)算機(jī)，他原本以為要花上六個(gè)月，但實(shí)際上只用了三個(gè)星期。在 Numberphile 發(fā)布的新視頻中，Booker 回憶起找到答案的那天：“計(jì)算機(jī)在（2 月 27 日）早上 9 點(diǎn) 05 分找到了答案。當(dāng)時(shí)我剛剛送孩子們?nèi)ド蠈W(xué)，然后走進(jìn)校園。大約九點(diǎn)半的時(shí)候，我來(lái)到辦公室，就看到了這個(gè)?！?/span>

計(jì)算機(jī)從千萬(wàn)億種可能性中篩選出了這三個(gè)奇怪的 16 位整數(shù)。經(jīng)過(guò)驗(yàn)算，Booker 高興得在辦公室里跳了起來(lái)。

這個(gè)發(fā)現(xiàn)當(dāng)然也有超級(jí)計(jì)算機(jī)算力提升的功勞。Booker 笑稱，那三個(gè)解對(duì)應(yīng)的數(shù)字他自己都背不下來(lái)。這樣的計(jì)算顯然不是人力能夠完成的。

直到不久之前，計(jì)算機(jī)還無(wú)法實(shí)現(xiàn)在數(shù)軸上正負(fù)均達(dá) 10¹⁶ （或者說(shuō)一千萬(wàn)兆）的范圍進(jìn)行搜索，尋找方程的解；如今，Booker 還計(jì)劃將搜索范圍提升到 10¹⁷，以尋找 k=42 對(duì)應(yīng)的解，他已經(jīng)確定 10¹⁶ 范圍內(nèi)不存在解。在 100 以內(nèi)的整數(shù)中，去掉不存在解的整數(shù)之后，無(wú)法表示成三個(gè)整數(shù)的立方之和的如今只有 42 了。

Booker 和其他專家表示，每個(gè)新發(fā)現(xiàn)的解并不會(huì)為尋找下一個(gè)解提供線索。再說(shuō)即便“解決”了 42，數(shù)論學(xué)家仍會(huì)面臨 101 至 1000 之間的 11 個(gè)尚未找出解的更“頑固”的整數(shù)。Booker 說(shuō)：“我認(rèn)為這些研究目標(biāo)的有趣程度還不足以證明花費(fèi)大筆錢款隨意占用一臺(tái)超級(jí)計(jì)算機(jī)是值得的?！?/span>

如果解丟番圖方程就像買彩票，為什么還要在這上面花這么大力氣呢？

數(shù)論學(xué)家感興趣的是丟番圖方程的性質(zhì)。例如，目前不存在能夠可靠判斷任意給定的丟番圖方程是否有解的數(shù)學(xué)方法。有數(shù)學(xué)家認(rèn)為，當(dāng) k 除以 9 的余數(shù)為 4 或 5 的時(shí)候，方程 k = x3  y3  z3無(wú)解（例如當(dāng) k=32，32=9x3 5，這時(shí)候方程無(wú)解）。這個(gè)猜想已經(jīng)通過(guò)了初步檢驗(yàn)，但是目前還未得到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。

丟番圖方程的解必須為整數(shù)，并且不同 k 值對(duì)應(yīng)的解十分隨機(jī)和分散，對(duì)相差不大的 k 值（例如 29 和 33），可能一個(gè)能輕松地找到一組較小的解，另一個(gè)對(duì)應(yīng)的解的數(shù)字卻極其龐大。Browning 說(shuō)：“這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)有著豐富的內(nèi)涵，隱藏著和丟番圖方程毫無(wú)關(guān)系的其它數(shù)學(xué)問(wèn)題，并且能夠模擬計(jì)算機(jī)?！?/span>

丟番圖方程的衍生問(wèn)題——費(fèi)馬大定理在提出三百多年后終于被英國(guó)數(shù)學(xué)家 Andrew Wiles 證明，他因此獲得了 2016 年阿貝爾獎(jiǎng)。不知道 k = x3   y3   z3 問(wèn)題的下一個(gè)突破又會(huì)發(fā)生在什么時(shí)候呢？

參考來(lái)源

https://www./sum-of-three-cubes-problem-solved-for-stubborn-number-33-20190326/

https://www./fiendishly-simple-math-problem-gets-new-solution-after-puzzling-world-for-centuries

https://www./watch?v=wymmCdLdPvM

https://www./watch?v=ASoz_NuIvP0&feature=

https://en./wiki/Fermat%27s_Last_Theorem