第四集重大友情提醒：

經(jīng)網(wǎng)友提醒，上一集中“模型構(gòu)建”、例14以及相關(guān)變式中如果不強調(diào)“動點C位于直線AB的上方”的話，每一道題的目標軌跡都應(yīng)該由兩段弧組成，且這兩條弧關(guān)于AB對稱，此時路徑長還需要在原來結(jié)果的基礎(chǔ)上乘以2，這一點應(yīng)引起大家的注意！另外，有一些動點的路徑（或軌跡）可能在端點處取不到，但這對計算相應(yīng)的軌跡長問題不受影響，故可忽略，請同學們稍微注意即可！

《第四集》的例題屬于模型的直接考察，大多考題會在定角的推導上設(shè)置門檻，需要同學們形成主動尋找定角及定邊的意識與能力，下面再舉幾例，同學們可以用心體悟！

例15.如圖15所示，P為線段AB上一動點(點P不與點A、B重合)，在線段AB的同側(cè)分別作等邊△APC和等邊△PBD，連結(jié)AD、BC，交點為Q.

(1)求∠AQB的度數(shù)；

(2)若AB=6，求動點Q運動軌跡的長.

簡析：(1)此圖是一個經(jīng)典的“共頂點雙等邊三角形—手拉手—旋轉(zhuǎn)一拖二模型”，其內(nèi)部存在豐富多彩的結(jié)論；

首先，利用圖15-1中的全等三角形（SAS）易推得∠1=∠2；

再結(jié)合圖15-2中的“8字型”結(jié)構(gòu)，導角易得∠AQB=120°；

當然也可以利用圖15-3中的“8字型”結(jié)構(gòu)，導角推得∠AQB的度數(shù)，殊途同歸，不再贅述；

若連接PQ，這個基本圖形中將“8字成瘋”，可以結(jié)合“四點共圓”或者“對頂相似”等結(jié)構(gòu)去探究，如圖15-4所示，包括還有許多的“平行8字型”等！

(2)由第(1)小問知目標動點Q處產(chǎn)生了（多個）定角，要想求其運動的軌跡長，自然聯(lián)想到“定邊對定角”模型，接下來依托于點Q處產(chǎn)生的定角去尋找所對的定邊，你會發(fā)現(xiàn)只有定邊AB符合題意（注意：這里AC與BD都是動邊）；

下圖是本題的動態(tài)圖，請欣賞之：

找到了動點Q的軌跡后，“無跡問題”變得有跡可循了，進一步可以追問最值問題等，譬如：

如圖15-7所示，在原題的基礎(chǔ)上，取AB的中點N，其他條件保持不變，求NQ的最小值.

解題后反思：本題在路徑長問題的基礎(chǔ)上追加了一個最值問題，這兩個問題都是在畫出具體軌跡的基礎(chǔ)上解決的，同學們要加強軌跡意識的自我培養(yǎng)，要有主動自問、主動尋找動點軌跡的意識，這是很基本的一種解題意識，因為但凡動點，不可能是雜亂無章的運動，一定是在一條確定的路徑上運動的，當確定了路徑，也就牽住了“牛鼻子”，“無跡問題”變得有跡可循了，問題也就變得簡單易行了.

路徑問題與最值問題一般可認為是一對“雙生子”，能提出路徑長問題，一般都可以繼續(xù)追加最值問題；反過來，有相當一部分最值問題都可以通過確定動點的路徑來解決.

另外，本題中追加的最小值問題恰好當點Q位于軌跡弧的中點處取得，這是一種“超級對稱”的幾何直觀意識，有的時候這種幾何直觀更加難能可貴，哪怕猜錯了也無所謂，這也是于頭對我們的教誨！

再來看一道本人非常推崇的好題！

此題筆者之所以喜愛，是因為它既可以用“定邊對定角”模型解決，又可以用“瓜豆原理”輕松搞定，而這兩種方法在很大范圍內(nèi)都是普適的，是解決路徑問題的兩個重大法寶，尤其是后者對于路徑長問題甚至可以實現(xiàn)“盲殺”，本文最后一個版塊也會專門詳細介紹！下面提供這兩種解法：

解法一（“定邊對定角”模型）：

第一步：如圖16-1，由點C是以AB為直徑的半圓弧的中點易知∠APC=45°；

第二步：如圖16-2，又由CQCP知△PCQ為等腰直角三角形，易得∠AQC=135°；

第三步：如圖16-3，連接AC，識別到“定邊AC對定角∠AQC”模型；

解題后反思：此題是一道典型的“定邊對定角”最值問題，下面介紹其基本破解之道：

首先要有尋找目標動點的軌跡意識，而這就需要我們先看看該動點處是否存在確定的角，可稱為“定角”，很多時候這樣的定角并不唯一；

然后循著剛找到的“定角們”去看看它們對應(yīng)的邊有木有確定的邊，可稱為“定邊”，一旦兩者兼有，就自然形成了“定邊對定角”模型；

確定了“定邊對定角”模型后，就可以畫出動點的軌跡弧，再確定圓心及相應(yīng)的圓心角，解之即可.

解法二（“瓜豆原理”）：

第一步（“導角”得等腰直角三角形）：

同解法一，首先推出△PCQ為等腰直角三角形；

接下來想想從動點Q可以看成由主動點P怎么來？

此時，往往可以借助圖形的常見變換，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)以及位似的眼光去分析主、從動點間的關(guān)系；

第二步（主、從動點間的關(guān)系）：

如圖16-8，由“△PCQ為等腰直角三角形”易知，從動點Q可以看成主動點P繞著定點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度而來；

其實，有關(guān)等腰直角三角形的問題，經(jīng)常可以這樣看待；

第三步（主、從動點軌跡間的關(guān)系）：

每一個從動點Q都是由相應(yīng)的主動點P如此變換得到，這樣一來，從動點Q的軌跡肯定也是由主動點P的軌跡如此變換而來，即從動點Q的軌跡是由主動點P的軌跡（即弧BC）繞著定點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度而來；

這是很自然的想法，跟代數(shù)里的整體思想一模一樣，只不過將動點的軌跡看成了一個整體而已，屬幾何里的整體思想，即所謂的“捆綁思想”；

眾所周知：圖形的常見三大變換，即平移、翻折及旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置；位似前后的圖形相似，即位似后的圖形與位似前的圖形相似，也即位似不改變圖形的形狀，只改變圖形的位置與大小，且其大小隨位似比同比例放縮；

有了這個理論的支撐易知：從動點Q的軌跡是與主動點P的軌跡（即弧BC）全等的一段弧，這即為所謂的“種瓜得瓜種豆得豆”之說；

如何確定并畫出這段弧呢？只要找到確定其圓心、半徑以及相應(yīng)的端點即可；

第四步（確定目標動點軌跡弧的圓心及端點）：依據(jù)“捆綁思想”易知，從動點Q的軌跡弧的圓心也是由主動點P的軌跡弧（即弧BC）的圓心O繞著定點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度而來，如圖16-9所示；

包括從動點Q的軌跡弧的兩個端點也是由主動點P的軌跡?。椿C）的兩個端點（即點B與點C）繞著定點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度而來，即為點A與點C；

最后再來一道有趣的“定邊對定角”問題，讓同學們再次強化對此模型的認知：

例17.如圖17所示，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上有一個動點P，過點P向半徑OA作垂線，垂足為點H.設(shè)△OPH的內(nèi)心為I，當點P在弧AB上從點A運動到點B時，求內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長.

簡析：此題有趣，有趣在一個字，即“定”字上面，先看解析：

題目要求內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長，當然要先確定動點I的軌跡啦；

回到此問題上來，因為OP是一條“動邊”，并非我們要尋找的“定邊”，那如何解決呢？繼續(xù)我們的下一步；

第三步（“超級對稱”轉(zhuǎn)移邊角）：如圖17-3，連接AI，由OI平分∠AOP結(jié)合“對稱思想”易知△AOI≌△POI（SAS），從而有∠AIO=∠PIO=135°，亦為一個“定角”

從而可以識別到“定邊AO對定角∠AIO”模型；

這里的邊AO是確確實實的“定邊”，而并非上面OP這個“偽定邊”，哈哈！

解題后反思：通過本例，同學們對于“定邊對定角”模型有了更深刻的認識嘛??？尤其是“定”字，不僅僅要求是邊長確定，包括位置也要確定，即為真正的“定邊”；

還有本題中由一個“偽定邊對定價”轉(zhuǎn)化成了真正的“定邊對定角”，這里的轉(zhuǎn)化非常漂亮，也是一種“超級對稱”幾何直觀意識，值得大家用心揣摩！

前面說了這么多，其實主要還是圍繞著板塊一，即“路徑之隱圓（弧）”展開的，主要介紹了“定義法”、“定邊對直角”、“定邊對定角”這些最基本的模型解法，其間還穿插了一些如“瓜豆原理”等有趣的解法，下面進入板塊二，即路徑之隱線（段）！

未完待續(xù)，敬請期待！

（第五集完?。?/p>

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