例5：（題目來(lái)源：高郵市贊化學(xué)校九年級(jí)全品作業(yè)）

（說(shuō)明這個(gè)例5本來(lái)要在這里呈現(xiàn)的，但時(shí)間原因今天不說(shuō)了，后面會(huì)在“畫圖意識(shí)”中結(jié)合今天的“軌跡思想”再闡述這道小題，敬請(qǐng)期待！）

  簡(jiǎn)析：對(duì)于第（1）小問，先識(shí)別到一組相似三角形：△AOG≌△DOE，如圖7-1-1所示；

  從而∠1=∠2，再結(jié)合一個(gè)“8字型”結(jié)構(gòu)，如圖7-1-2所示，易得到∠DHG=∠DOE=90°，即DE⊥AG成立；

   反思1：其實(shí)上面的結(jié)構(gòu)就是我經(jīng)常說(shuō)的“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形、手拉手、旋轉(zhuǎn)相似一拖二模型”，即便如同第（2）問那樣，讓正方形OEFG繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)起來(lái)，這個(gè)模型及結(jié)論依然成立，如圖7-1-3及圖7-1-4所示（這里講“模型骨架”保留了下來(lái)，其他旁枝末節(jié)刪除了，同學(xué)們要適應(yīng)這種方式，并學(xué)會(huì)這種處理技巧，這樣才能構(gòu)做到“慧眼識(shí)珠”）；

       對(duì)于第（2）②問，依然借助“整個(gè)圖形運(yùn)動(dòng)與圖形上每個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)”之間的辯證關(guān)系，將目標(biāo)聚焦在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)上來(lái)，點(diǎn)F與正方形OEFG都在同時(shí)繞著點(diǎn)O在旋轉(zhuǎn)一周，畫出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖7-3-1所示，其中OF是起始位置，以便求接下來(lái)特殊位置時(shí)的旋轉(zhuǎn)角；

  反思3：第（2）問的兩個(gè)問題，一是問特殊位置，二是問最值，共同的背景都是正方形在旋轉(zhuǎn)，處理手法都是將正方形的旋轉(zhuǎn)想象成目標(biāo)點(diǎn)在作相同的旋轉(zhuǎn)，這是一種“整體與局部”的轉(zhuǎn)化，借此畫出目標(biāo)點(diǎn)的軌跡圓，將問題成功轉(zhuǎn)化到了這個(gè)圓上來(lái)，將本來(lái)抽象復(fù)雜的問題具體簡(jiǎn)單化，這里的軌跡運(yùn)用技巧重要性不言而喻，同學(xué)們需要認(rèn)真體味、琢磨，數(shù)學(xué)越琢磨越有味！

最后我們?cè)僖?/span>2016年一道中考真題為例，讓同學(xué)們更加深刻地體會(huì)到“軌跡思想”在中考實(shí)戰(zhàn)中的巨大作用！

例8：（題目來(lái)源：中數(shù)參2017年1-2期，2016年浙江舟山中考題）

我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”；

（1）概念理解：

請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；

（2）問題探究；

如圖8-1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)P，連接AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）應(yīng)用拓展；

如圖8-2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖8-3），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積．

對(duì)于第（2）小問，首先“見垂直平分線，造等腰”，連接PD與PC，用兩次“垂直平分線性質(zhì)定理”可得到：PA=PD且PB=PC，如圖8-1-1所示；

在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，即等腰△PAD及等腰△PBC的底角相等，幾何直觀很容易推出其頂角也一定相等，即∠DPA=∠BPC，從而有∠APC=∠DPB；

如圖8-1-2所示，識(shí)別到一組“共頂角頂點(diǎn)的兩個(gè)相似的雙等腰三角形、手拉手、旋轉(zhuǎn)相似一拖二模型”，即等腰△PAD∽等腰△PBC，再根據(jù)“SAS”很容易證明△APC≌△DPB，從而有AC與BD相等；

總結(jié)反思：

  軌跡有“直曲”之分：

直軌：即動(dòng)點(diǎn)在線段、射線或直線上運(yùn)動(dòng)；若動(dòng)點(diǎn)在某條線段上運(yùn)動(dòng)，一般情況下問題有意被命題人被無(wú)形中簡(jiǎn)化了；若動(dòng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，一般情況下要分兩種情形去分類討論；若動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，一般情況下要分三種情形去分類討論；難度由易到難，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，需要同學(xué)們樹立這些最基本也是很重要的解題意識(shí)；

曲軌：上面舉到的各個(gè)例題，動(dòng)點(diǎn)的軌跡都在一段圓（?。┥线\(yùn)動(dòng)，初中階段會(huì)接觸到的曲軌跡一般是圓或者圓弧，比如旋轉(zhuǎn)問題中；當(dāng)然動(dòng)點(diǎn)也可能在雙曲線或者拋物線上運(yùn)動(dòng)，這都屬于曲軌跡；

對(duì)于“軌跡長(zhǎng)問題”，同學(xué)們要先去通過各種手段判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是直軌跡還是曲軌跡，再利用極限法尋找到動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，前者對(duì)應(yīng)著一條線段長(zhǎng)，后者一般對(duì)應(yīng)著一段弧長(zhǎng).關(guān)于此類題型，后續(xù)有機(jī)會(huì)的話，我會(huì)幫同學(xué)們整理這個(gè)專題；

軌跡有“顯隱”之分：

顯軌：即動(dòng)點(diǎn)所在的路徑已經(jīng)明確交代，如點(diǎn)在某條確定的拋物線上運(yùn)動(dòng)等；

隱軌：即動(dòng)點(diǎn)所在的路徑題目中并沒有明確交代，需要同學(xué)們有先自我判斷的意識(shí)，

既然點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，那么其必然在某條確定的軌跡上運(yùn)動(dòng)，不管題目有沒有交代，如上面的例題幾乎都要同學(xué)們自己利用所學(xué)去判斷動(dòng)點(diǎn)在某條圓（弧）上運(yùn)動(dòng)，同學(xué)們要有這種判斷意識(shí)，本文也旨在同學(xué)們樹立這種意識(shí)，以便解相關(guān)題型時(shí)能夠靈活運(yùn)用；

軌跡還有“單多”之分：

單軌：即動(dòng)點(diǎn)在一條軌跡上運(yùn)動(dòng)，如點(diǎn)在某直線上運(yùn)動(dòng)，一般分三種情形進(jìn)行考慮；

多軌：即動(dòng)點(diǎn)在多條軌跡上運(yùn)動(dòng)，這時(shí)直觀上就要分多種情形去討論，如點(diǎn)在某三角形的一邊上運(yùn)動(dòng)，一般分三種情形運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)在某四邊形的一邊上運(yùn)動(dòng)，直觀上一般就要分四種情形去討論；還有，既然要分類，就要多畫圖，畫圖越精確，分析越暢如，同學(xué)們要謹(jǐn)記這些基本的解題原則！

（本文完?。?/span>

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