數(shù)學(xué)中也有那么多美妙的相遇，演繹出一段段精彩的故事，讓人驚奇，讓人著迷。

你會發(fā)現(xiàn)，解題就是揭密那些相遇的故事，

解難題不過就是為相遇創(chuàng)造機緣：為種子澆灑雨露，為花兒招來蜜蜂，為牛郎織女架起鵲橋！

一、當(dāng)角平分線遇上等腰，平行線偷天換日秒解題

1.（2019·淮安－填空壓軸題）

如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中點，將△CBH沿CH折疊，點B落在矩形內(nèi)點P處，連接AP，則tan∠HAP＝?。?/p>

也許你早已注意到，角平分線、平行線、等腰三角形三者之中，有其二必有其三，如下圖：

當(dāng)你發(fā)現(xiàn)圖中有角平分線，有等腰三角形，再順藤摸瓜找到平行線AP∥HC，則tan∠HAP=tan∠BHC=BC/BH=2/1.5=4/3，如下圖，這道壓軸小題瞬間秒殺！

二、當(dāng)四邊形遇上雙直角，輔助圓橫空出世一擊殺

2.（2019·張家界－填空壓軸題）

如圖：正方形ABCD的邊長為1，點E，F(xiàn)分別為BC，CD邊的中點，連接AE，BF交于點P，連接PD，則tan∠APD＝?。?/p>

圖中易得∠APF=∠ADF=90°，則A、D、F、P共圓，tan∠APD＝tan∠AFD＝2.怎么樣，是不是簡單的不要不要的？！

三、當(dāng)動點遇上定角，手拉手一轉(zhuǎn)成雙軌跡定

3.（2019·宿遷－填空壓軸題）

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為?。?/p>

這個題目中發(fā)生了怎樣的故事？動點F繞定點E順時針旋轉(zhuǎn)60度至G點，F(xiàn)點在線段AB上，而線段AB被點A、B所確定，所以與點F關(guān)系最親密的點是點A或點B，又因為點G是由點F繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60度而來，所以要想定位點G就要把定點A或B繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60度，如下圖，把點B繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60度得點P，雙等邊手拉手得ΔPEG≌ΔBEF，∠EPG=∠FBE=90°，從而確定PG是一條定直線，G是此直線上一個動點，依據(jù)點到直線的垂線段最短，當(dāng)CG⊥PG時最小。

這個題目里蘊含著深刻的哲理：

（1）從哪里來決定到哪里去。動點G從點F變換而來，所以把F點所在線段AB作同樣的變換，便得到G點所在軌跡，如下圖，把線段AB繞點E旋轉(zhuǎn)60度得線段PQ，PQ即為點G的運動軌跡。

（2）合作帶來共贏（條件集中問題易解）。ΔEFG形狀確定，但位置、大小都不確定，若把形狀和位置、大小結(jié)合起來，便可架起聯(lián)系的橋梁。如上圖，取位置大小確定的線段BE作與ΔEFG形狀相同的等邊ΔBEP，手拉手模型出現(xiàn)?；蛴昧矸ǎ【€段CE作等邊ΔCEM，如下圖，得ΔFEM≌ΔGEC，得FM=CG，轉(zhuǎn)化為定點M到定線AB的最短路徑，當(dāng)FM⊥AB時即為最小。

（3）以靜制動，縱觀全局。點G是動點，如何把握一個動點呢？看它的軌跡，點動成線，點雖不確定，但其運動路徑確定，畫出運動路徑就看到了動點的運動全程，用以上方法確定G的運動軌跡，問題便迎刃而解。

四、當(dāng)定線對上定角，作隱圓洞若觀火路徑現(xiàn)

4.（2019·宿遷－解答倒二題最后一問）如圖①，在鈍角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，點D為邊AB中點，點E為邊BC中點，將△BDE從圖①位置繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，直線CE、AD交于點G，如圖②．求點G的運動路程．

圖①

圖②

由一轉(zhuǎn)成雙得ΔBCE∽ΔBAD，則∠BAD=∠BCE，得∠AGC=∠ABC=30°，AC為定線，可知點G在AC所對的弧上，而弧的大小范圍取決于D點的運動范圍，當(dāng)點D距定點E最遠時（BD⊥AG），點G在圓上最遠處。如下圖所示：

如下圖，當(dāng)BD⊥AG時，由BD=1/2AB得∠BAG=30°，所以此時弧BG的圓心角∠BOG=60°，D點旋轉(zhuǎn)180度時點G在該弧上往返共兩次，因此點G運動路徑為60度弧長的2倍，即為8/3π.

五、一個中點太寂寞，成雙結(jié)對好戲多

5.（2019·沈陽－解答例二題）

在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，將△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，把點E在AC邊上時△ADE的位置作為起始位置（此時點B和點D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，連接BD，點P是線段BD的中點，連接PC，PE．

（1）如圖1，當(dāng)△ADE在起始位置時，猜想：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是    ；

（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時，點D落在AB邊上，請判斷PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)α＝150°時，若BC＝3，DE＝1，請直接寫出PC²的值．

當(dāng)我們看到下面的圖形（P是AB的中點）：

是不是不由自主地想要讓它變成這樣（構(gòu)造DP=CP，使P為CD的中點）：

或者變成這樣（構(gòu)造CD=BC，使C為BD的中點）：

這就是我們常說的通用策略：“完形構(gòu)造－補形”。上題問題（1）構(gòu)造有如下三種方式：

三個問題實質(zhì)是同一個圖形旋轉(zhuǎn)過程中的三種情況，這種分類討論問題“形異法同”，思路與解法完全相同，請聰明的讀者自己完成。