群里有人發(fā)了份本地某中學的初三卷，據(jù)說“很難”、“學生都哭了”。今天就來評點下最后兩道壓軸題的思路。

幾何壓軸的第一小題，首先是掌握特殊角度的三角函數(shù)值，tan∠ABC=1?∠ABC=45°。即便記不清，只要理解正切的概念，RtΔACB中，tan∠ABC=AC:BC=1，即ΔACB為等腰直角三角形，同樣可推出∠ABC=45°。

再看待證結(jié)論∠ECD<45°，注意到RtΔCED，于是結(jié)論等價于證明∠CDE>45°，而∠CDE作為外角顯然大于∠ABC，這小題還是比較簡單的。

基本模型要熟悉

等腰直角三角形，垂直......讀題看圖時，已經(jīng)有一些熟悉的圖形浮現(xiàn)在我的腦中，比如弦圖、正方形中的十字架。等看到待證結(jié)論時，證明思路自然就出現(xiàn)了：

構(gòu)造全等?平行?相似成比例

從結(jié)論開始分析

如果對基本模型還不夠熟悉，那就要學會去分析題目，首先看結(jié)論。待證的是個比例式，常見的就是平行(相似)成比例。

結(jié)合線段在圖形中的位置，一種思路就是如下圖過B作AC的平行線，與CE延長線交于G，其實就是剛才的十字架，只是證明順序有點區(qū)別：

作平行線?相似成比例+全等

也可以如下圖過B點作CE的平行線?BE:EF=CG:CF

那么等價于證明CD=CG，這就是基礎的全等證明，不多說了。

拿出你的量角器

再來看第二小題，我的建議是馬上拿出量角器，量下∠CEF和∠ABC。既然要用∠ABC的正切值表示∠CEF的正切值，那么這兩個角顯然有某種聯(lián)系。

測量完我們可以大膽猜測兩個角互余，這就有了思考的方向。建議自己先思考，再來參考本小鎮(zhèn)做題家的思路。

顯然∠CEF和∠3互余，欲證∠CEF和∠ABC互余，等價于證明∠3=∠ABC。

而∠3=∠1+∠4，∠ABC=∠1+∠2，欲證∠3=∠ABC，等價于證明∠2=∠4 。

而∠2=∠4 ，明顯有ΔBDE∽ΔADB。要證相似，有公共角，那么需證夾公共角的對應邊成比例：

BD:DE=AD:BD

再看看還有什么條件，D是BC中點，BD=CD，即需證：

CD:DE=AD:CD

而圖中下側(cè)就是常見的相似直角三角形，ΔCDE∽ΔADC，即可推出上面的比例式。思路通了，再反過來從條件出發(fā)書寫證明，這種證法都不需要添加輔助線。

如何作輔助線

當時我是躺床上用手機看這道題，沒有條件用量角器，那么要求∠CEF的正弦值，自然需要有一個包含∠CEF的直角三角形，這就是作輔助線的出發(fā)點。

從圖上看，可以過F做CE的垂線，或者過C作CE的垂線。再結(jié)合條件觀察，顯然后者更合適。

作出輔助線后易知DE∥CG，而BD=CD，由平行線分線段成比例推出BE=EG，DE即中位線，所以

tan∠CEF=CG:CE=2DE:CE=2tan∠1

易知∠1=∠2且D為BC中點，所以

tan∠CEF=2tan∠2=2CD:AC=BC:AC

而tan∠ABC=AC:BC=a，所以

tan∠CEF=1/a

再來看看函數(shù)的壓軸題

第1小題將A、C兩點坐標代入拋物線解析式，聯(lián)立方程求解即得 y=? x2+2x

第2小題，SΔABP=a 是定值，由A、C兩點坐標可以確定AC直線方程，繼而求出B點坐標，則AB也是定值，所以AB邊的高h亦為定值。

則點P在距離AB為h的平行線上，顯然在AB上側(cè)的平行線與拋物線有2個交點，所以在AB下側(cè)的平行線與拋物線恰有1個交點。

AB直線方程是一次函數(shù) y=x+4，設其平行線為y=x+b，與拋物線恰有一點交點即聯(lián)立方程恰有一個解，配個方即得

 (x+1)2=2b+1

所以b=-?，平行線y=x-?與X軸交點D(?,0)，由等積變形即得：

a=SΔABP=SΔABD=? AD·OB=9

第3小題我覺得出得不好，中考顯然不會出這么難的作圖題，如果不知道阿氏圓，我覺得沒幾個學生可以做出來，難怪“學生都哭了”。

現(xiàn)在的初中幾何和我們當年相比，刪減了不少內(nèi)容，但考試內(nèi)容卷太多了。我都是后來聽群里老師說了阿氏圓，去網(wǎng)上查了才了解。

因為不了解阿氏圓，我做的時候也繞了點彎路，還是講一講，畢竟這才是正常的解題過程：

分析-聯(lián)想-嘗試-失敗-轉(zhuǎn)換思路-再嘗試(循環(huán))-解決

首先畫圖分析拋物線上滿足條件的D點，DA:DO=2，聯(lián)想到角平分線定理，AO的三等分點E可以作出，且DE為角平分線，但思考了一會沒想出如何利用角平分線。

于是換個思路，看看能不能找出到AO兩點距離比為2的點D軌跡，畫出軌跡與拋物線相交即可。于是想到三個滿足要求的點：AO的三等分點E、y軸上與A形成正三角形的F和G。

那么軌跡會不會是折線EF和EG呢？在EF上截取OK=OE=a，AK顯然大于AE。只有K點略向左平移，AK變小OK變大才可能比為2。至此，我已經(jīng)有了猜測，D點的軌跡是個圓。

由對稱性，圓心T顯然在X軸上，易知∠OEF=60°且TE=TF，從而推出OT=a，半徑為2a。

再來驗證一下，圓上任一點F'，易得

TF':OT=AT:TF'=2

再加上公共角OTF'，有ΔOTF'∽ΔF'TA

從而AF':OF'=2

確實圓上的點都滿足要求。

為什么說繞了彎路？

因為開始只想到AO的定比內(nèi)分點，沒想到AO的定比外分點。我們當年的教材里是有角平分線定理的，而且分內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理。

角平分線定理的逆命題也成立，證明方法相似，差別主要是前者是用等角對等邊，后者是用等邊對等角。

那么看下圖，設E、F分別為AB的定比內(nèi)分點和外分點，

AD:BD=AE:BE=AF:BF=t  (t≠1)

由角平分線定理的逆定理有：

∠1=∠2，∠3=∠4?∠EDF=90°

由泰勒斯定理的逆定理，D就在以EF為直徑的圓上。

這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓。

回到原題，要作圖找出AO的三等分點E，一種是通用的等分線段的方法。任意作條射線AT，在AT上任取點A1，依次截取AA1=A1A2=A2A3，連接A3O，過A2作A3O的平行線，由平行線分線段成比例定理可知，其與AO的交點E即為所求的三等分點。

第二種利用三角形重心的性質(zhì)，比如作出AB的中點D和B關于O的對稱點B'，其與AO交點為E，顯然E為ΔABB'重心，即為所求的三等分點。

之后作出E關于O的對稱點T，以T為圓心，ET為半徑作圓與拋物線相交，交點即為所求。