微專題在第50期《坐標系中不規(guī)則圖形的面積》中，詳細介紹了用割補法求不規(guī)則圖形面積的方法。當不規(guī)則圖形遇上二次函數，靜態(tài)圖形變成動態(tài)圖形時，割補法依然是我們求不規(guī)則圖形面積的通性通法。在第8期《拋物線與圖形面積》中，介紹了拋物線中三角形面積的幾種處理方法。結合第50期的探索，今天我們介紹拋物線中三角形（頂點都在拋物線上）面積的一般求法。可見（1）（2）只要求出A,B,C的坐標，代入點的坐標，直接可以利用坐標求解。其基本思路是將任意三角形轉化為邊在坐標軸上或者與坐標軸平行的三角形，然后類比上述（1）（2）的辦法進行解決。此時，需要用到第50期講的割補法（具體割補法見如圖輔助線）。過點C作X軸的垂線交AB于點D,則△ABC被分成了兩個以CD為一邊的三角形，過A作AE⊥直線CD于E,過B作BF⊥CD于F,則
對于(1)的情形,過C作直線垂直x軸交x軸于點D,yD=0.a 為兩點的橫坐標之差，可看成是兩點之間的水平距離，可以稱為水平寬；此公式適用于坐標系中的任意三角形，它也和三角形原有的面積公式形成了完美的一致。其實，三角形原有的面積公式就是這個公式的特殊情形，二者是一般和特殊的關系。這樣，我們便推導出了三角形面積的萬能公式。當三角形的三個頂點都在拋物線上時，點的橫坐標不可能一樣，如圖例 如圖，二次函數y=1/3x2-4/3x-4與x軸交于點C，與y軸交于點A，B為拋物線直線AC下方拋物線上一點，求△ABC面積的最大值。 所以，當點 B（3，-5）時，ΔABC的最大面積為9。（說明：此時求ΔABC的最大面積，除了這種方法外，也可以過點B作直線與AC平行，當直線與拋物線相切時，ΔABC取到最大面積。）后記：題中的三角形ABC滿足公式中的A,C,為定點,B為一動點，但在運動過程中，B的橫坐標介于A,C的橫坐標之間，所以直接套用公式即得。由此題可看出，在這種動點的題目中，水平寬是兩個定點間的水平跨度，鉛錘高是由動點向x軸做垂線，垂線與兩定點的連線交于一點，動點和這個交點在豎直方向的跨度。如圖，二次函數y=1/3x2-4/3x-4與x軸交于點C，與y軸交于點A，直線AB與x軸平行，且點B在拋物線上，點P是直線AC上方拋物線上的動點，是否存在點P，使S△PAC=2S△ABC,若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由。 解析:由題意不難得出S△ABC=8，要使S△PAC=2S△ABC，即求S△PAC=16。S△PAC=1/2ah,其中a為水平寬，a=xC-xA=6，h為鉛錘高，應該過動點P向x軸作垂線，交直線AC于點D，問題是此時動點P不在兩定點A、C之間，而是運動到了兩定點A、C之外，那么萬能公式還成立嗎？由此可證，當動點運動到兩定點之外時，萬能公式依然成立！區(qū)別是：動點在兩定點之間時，動點圖形的面積是兩個規(guī)則圖形的和，用的是加法運算；動點在兩定點之外時，動點圖形的面積是兩個規(guī)則圖形的差，用的是減法運算。如圖，關于x的二次函數y=-x2 bx c經過點A(-3,0)，點C(0,3)，點D為二次函數的頂點，DE為二次函數的對稱軸，E在x軸上。（2）DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等，若存在求出點（3）DE的左側拋物線上是否存在點P，使2S△FBC=3S△EBC，若存在求出點F的坐標，若不存在，請說明理由。 本次專題的主要研究路線是：先由割補法求出不規(guī)則三角形（沒有邊在坐標軸上或與坐標軸平行）的面積，進而推導出三角形面積的萬能公式。接下來研究拋物線中動點三角形的面積最值問題，以靜代動，用含x的代數式表示出相關線段的長度，利用萬能公式表示出動點三角形的面積表達式，再求最值。特別指出：割補法依然是求解不規(guī)則圖形面積的通性通法，萬能公式是在這個方法的基礎上總結出的三角形面積的一般公式。
|
