【原】中考數(shù)學倒計時30：二次函數(shù)壓軸的十幾種問題方法思路總結(jié)

中學解題思維 2021-04-28

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二次函數(shù)壓軸題當中，同學們會遇到各種各樣的解答問題，那么最常見的那些，今天就帶同學們一塊總結(jié)一下，方便大家記憶解題方法。我們只說一下方法，過程就不再詳細說了，在以前的題目中都有過程。

首先是最簡單的一種問題，給定兩個固定點，然后在對稱軸或者拋物線上找一點，使得該點和兩個固定點組成的兩個線段之和最小，即線段和最小值問題，遇到該種問題，一般直接找某個固定點關于某直線的對稱點，然后尋找三點共線時的動點；
線段和基礎上延續(xù)而來的三角形或四邊形周長最小值問題，同樣會出現(xiàn)固定的點，那么就會有固定的邊長，所以只需要找到另外的邊長之和最小，同樣使用找對稱點的方法；
垂直于x軸的一條直線，被拋物線和直線截取的兩端線段之間的關系，如最大差值，或者相等、2倍關系。最大差值問題需要找到該垂線與拋物線和直線的兩個交點的縱坐標，利用縱坐標表示的線段來進行線段差的計算，將會得到另一種二次函數(shù)，那么進行配方變頂點式，得到差值的最大值；而線段倍數(shù)關系則相對更簡單，只需要表示出兩線段的長度，利用倍數(shù)關系建立方程即可；（注意縱坐標的正負未知，所以表示出的線段加上絕對值符號，如此就能避免遺漏一些情況）
動點和兩固定點組成的三角形面積最大值問題，該問題一般會在一段局限的圖像上找一點，和其他兩個固定點組成三角形，求三角形面積最大，只需要對固定點所在的直線進行平移，使平移后的直線與拋物線只要一個交點，利用判別式=0求出平移距離，從而解出交點坐標；如果要求三角形面積，一般利用面積分割法進行計算，如果有一邊在軸上就會更簡單；
四邊形面積最大值問題：和三角形面積類似，一般會有三個已定的點，那么就有一個固定的三角形，所以只需要動點和其中相鄰的兩個定點組成的三角形面積最大即可，同樣使用直線平移法求出點的坐標即可；而面積同樣利用面積分割法求取；
直角三角形的存在性：一個動點和兩個定點的情況，可以直接利用勾股定理求出動點的坐標；如果是兩個動點，一個定點，則可利用直線垂直法，注意利用三角函數(shù)去推；同時還要注意情況討論，三個角可能有不同情況的直角；
等腰三角形的存在性：和直角三角形類似，包含情況討論，如果是兩個定點和一個動點，那么利用線段長相等解得動點坐標即可；如果是兩個動點和一個定點，利用底邊中線和底邊垂直的性質(zhì)，使用直線垂直法解得；
平行四邊形存在性：平行四邊形對邊相等，這本就是一個有利條件，所以一般利用平行且相等的兩個線段來尋找；如果是菱形，只需要在平行四邊形基礎上加上臨邊相等或者對角線垂直來求解；
正方形的存在性：一般來說正方形就比較特殊了，所以相對的有利條件也比較多，所以求解會更容易些；
整數(shù)坐標點的存在性：該問題并不是很常見，一般在較難的壓軸題中才會出現(xiàn)，在一個范圍內(nèi)尋找符合條件的動點，但前提是坐標需要是整數(shù)，所以需要找到橫縱坐標的范圍，在范圍內(nèi)去求解；
由動點形成的整數(shù)面積問題：例如一個動點和兩個定點組成的三角形面積，要求面積為整數(shù)，需要先利用平移法找到最大面積的值，然后在范圍內(nèi)尋找面積取整時的動點位置或者個數(shù)有多少，需要注意的是只有最大面積時的動點是一個，若無限定條件，其他整數(shù)面積時的動點則會同時出現(xiàn)兩個，所以同學們不要忽略了；
全等、相似三角形問題：二次函數(shù)中的全等、相似問題有時候簡單有時候較難，所以要看運氣如何，如果給定了對應點則還好點，如果題中只是說讓兩個三角形全等或相似，并未給出△∽/≌△這種形式，那么就要考慮多種情況存在了，尤其是在相似問題中，情況討論較多，所以尋找角是很重要的，但一般又不會出現(xiàn)度數(shù)，所以這個時候同學們千萬不要忘記三角函數(shù)；
特殊點的存在性：類似什么共諧點、好點，遇到這類問題，一般會直接讓寫出答案，所以同學們在草紙上可以利用各種技巧性方法進行計算，類似一些高中的可用知識“直線垂直”“點到直線的距離”“兩直線的夾角”等，沒事可以先看看這些知識點的用法，反正上了高中都要學，所以不如先提前看一下，在遇到直接寫答案的題目時如果用上了絕對是優(yōu)勢；
至于其他的，老師一下子也想不起來，常見的就是上面這十幾個種類，如果大家需要分享其他類型可以在留言中給出，方便其他人能夠看到。