3. 數(shù)學(xué)家的絕招

伯努利家族的幾位數(shù)學(xué)家當(dāng)時(shí)曾經(jīng)叱咤風(fēng)云，但無(wú)論如何也掩蓋不了大師級(jí)的瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歐拉的奪目光輝。

萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler，1707－1783）是約翰·伯努利的學(xué)生。盡管約翰小氣到連自己的兒子都會(huì)妒忌，卻早早地就認(rèn)識(shí)到了歐拉的數(shù)學(xué)才能。他說(shuō)服了歐拉的父親，讓16歲的歐拉從神學(xué)轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)，成為自己的博士生。天才的歐拉在19歲時(shí)就完成了他的博士論文，20歲時(shí)被丹尼爾·伯努利邀請(qǐng)到俄國(guó)圣彼得堡的俄國(guó)皇家科學(xué)院工作，直到1741年轉(zhuǎn)到柏林，他一生大部分時(shí)間都在俄國(guó)和普魯士度過(guò)。不像老師約翰·伯努利的喜爭(zhēng)好斗，歐拉一生仁慈且寬容。歐拉很早就有嚴(yán)重的視力障礙，最后17年雙眼完全失明，但他樂(lè)觀而自信，仍然用對(duì)兒子口述的方式堅(jiān)持發(fā)展他平生鐘愛(ài)的數(shù)學(xué)。

歐拉成就斐然、著作甚豐，在數(shù)學(xué)的每個(gè)角落都能找到他的蹤影。本節(jié)將敘述的他在泛函變分以及微分方程理論中的先驅(qū)作用，不過(guò)是大師巨大成就中的泰山一角、滄海一粟而已。

上一節(jié)中介紹的變分法，始于17世紀(jì)末期雅各布對(duì)最速落徑問(wèn)題的解答，雅各布用了一點(diǎn)變分的思想，但卻并未系統(tǒng)化，并且，“變分法”這個(gè)名稱，是歐拉在1766年才根據(jù)拉格朗日的一封信中的命名而給出的。

約瑟夫·拉格朗日（Joseph-LouisLagrange，1736-1813）是法國(guó)數(shù)學(xué)家，要比歐拉晚生30年，但和歐拉年輕時(shí)一樣，是個(gè)天才少年。

圖1：（a）不均勻介質(zhì)中的光線（b）等時(shí)下降曲線（c）等周期的擺鐘

上節(jié)中敘述過(guò)擺線，看起來(lái)這個(gè)被伽利略命名的擺線在當(dāng)時(shí)還挺受寵的，因?yàn)楹脦讉€(gè)問(wèn)題的答案都是它。擺線最原始的定義是指圓滾動(dòng)時(shí)邊沿一點(diǎn)的軌跡，后來(lái)發(fā)現(xiàn)最速落徑是擺線，約翰·伯努利還發(fā)現(xiàn)光在折射率與深度成正比的介質(zhì)中的軌跡也是擺線，見(jiàn)圖1a。后來(lái)數(shù)學(xué)家對(duì)等時(shí)曲線（tautochrone）問(wèn)題加以研究，答案也是擺線。

惠更斯（ChristiaanHuygens，1629—1695）對(duì)這幾個(gè)與擺線有關(guān)的問(wèn)題都進(jìn)行過(guò)深入鉆研。在他的《擺鐘》一書(shū)中^【1】，他描述了一種周期相等的“擺”（圖1c），這不同于一般情形中擺線伸直而長(zhǎng)度固定的鐘擺。在上述的一般情形下，當(dāng)擺長(zhǎng)固定時(shí)，擺錘作的是圓周運(yùn)動(dòng)。中學(xué)物理中大家就學(xué)過(guò)，當(dāng)擺動(dòng)的振幅很小時(shí)，可以近似地將擺錘的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作是周期不隨初始位置而變的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，但如果振幅太大就不行了?；莞拱l(fā)現(xiàn)，如果用某種方法，使得擺錘運(yùn)動(dòng)的軌跡是倒過(guò)來(lái)的“擺線”的話，如此而設(shè)計(jì)的擺鐘將是等時(shí)的。也就是說(shuō)，在這種曲線上，擺錘運(yùn)動(dòng)的周期不依賴于擺錘的初始位置。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被等效地表述為如下的等時(shí)曲線問(wèn)題。

設(shè)想一個(gè)在重力作用下無(wú)摩擦地向下滑動(dòng)的小球，如圖1b所示。等時(shí)曲線是這樣一種曲線：所有初始速度為0、同時(shí)出發(fā)的小球，（比如圖中的A、B、C、D位置上面，分別放了小球1、2、3、4），無(wú)論它們起始于哪一個(gè)高度，所有的小球?qū)⑼瑫r(shí)到達(dá)曲線的最低點(diǎn)E。等時(shí)曲線乍一聽(tīng)有點(diǎn)奇怪，不同位置的小球怎么會(huì)同時(shí)到達(dá)地面呢？仔細(xì)想想就容易明白了：小球的初始位置不同，正好使得它們具有不同的勢(shì)能，使得滑下來(lái)的速度有快有慢，距離地面遠(yuǎn)的小球滑動(dòng)速度快，離地近的速度慢，而最后便可能同時(shí)到達(dá)。惠更斯證明了，這個(gè)等時(shí)曲線是存在的，和最速落徑問(wèn)題的解答相同，也是倒放著的擺線。

幾十年之后，年輕的（19歲時(shí)）拉格朗日又對(duì)等時(shí)曲線、及等周曲線（見(jiàn)之后的第5節(jié)）等變分問(wèn)題發(fā)生了興趣，并與當(dāng)時(shí)已經(jīng)成名的數(shù)學(xué)大師歐拉多次通信討論有關(guān)變分及泛函分析。在歐拉的寬容和鼓勵(lì)下，以此研究為基礎(chǔ)寫(xiě)出了他的第一篇有價(jià)值的論文“極大極小的方法研究”。之后，歐拉肯定了拉格朗日1760年發(fā)表的一篇用分析方法建立變分法的代表作，并正式將此方法命名為“變分法”。

拉格朗日的功勞是完全用分析的方法解決了一般的變分問(wèn)題。當(dāng)牛頓初建微積分的時(shí)候，主要考慮時(shí)間為自變量。推廣到更一般的情形，自變量數(shù)目可以增多，但仍然是一個(gè)分離而有限的數(shù)目。變分法要處理的自變量卻是一個(gè)變幻無(wú)窮的函數(shù)，從原始微積分的角度來(lái)看，那意味著自變量的數(shù)目是無(wú)限多！該如何處理這種無(wú)限多個(gè)連續(xù)自變量的問(wèn)題呢？數(shù)學(xué)家們總是有他們的絕招。我們?cè)谙旅婧?jiǎn)單描述一下變分分析的精神所在，并由此而導(dǎo)出變分法中基本的歐拉-拉格朗日方程。

經(jīng)典的變分問(wèn)題除了曾經(jīng)敘述過(guò)的最速落徑問(wèn)題、光線軌跡、等時(shí)曲線之外，還有測(cè)地線問(wèn)題、等周問(wèn)題、牛頓最早提出的阻力最小的旋轉(zhuǎn)曲面問(wèn)題，等等。這些問(wèn)題都可以表示成下面的積分形式：

                                                                                                                             （1）

這兒的x是自變量，y是x的函數(shù)，可以寫(xiě)成y(x)，y’是y(x)對(duì)x的微商。因?yàn)?/span>y是一個(gè)函數(shù)，所以，J便是函數(shù)的函數(shù)，即泛函。變分法提出的問(wèn)題就是：對(duì)什么樣的函數(shù)y，J將取極小（或極大）值？為敘述方便起見(jiàn)，在以后的文中只談及“極小值”。

假設(shè)這個(gè)極值函數(shù)已經(jīng)找到，用圖2b中的紅色曲線y(x)表示。也就是說(shuō)，y(x)是我們要求的泛函問(wèn)題的解，它使得公式（1）的泛函J有極小值。那么，泛函在極值附近將有些什么特點(diǎn)呢？為此，我們可以先看看一般函數(shù)在極值附近的特點(diǎn)。曲線在極值附近時(shí)，函數(shù)所對(duì)應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)為0，也就是說(shuō)，極值附近曲線的切線是水平方向的，切線水平意味著自變量變化時(shí)，函數(shù)值不怎么變化，既不上升也不下降，變化（即函數(shù)的微分）為0。對(duì)泛函的情況也是這樣，如果泛函J在y(x)有極值的話，當(dāng)解函數(shù)y(x)變化時(shí)，泛函J幾乎不變化，即變分為0。

圖2：變分法分析

函數(shù)中自變量x的變化好說(shuō)，我們用dx來(lái)表示其變化。比如，如果x是實(shí)數(shù)，dx便是一個(gè)很小的實(shí)數(shù)而已。而泛函是函數(shù)的函數(shù)，泛函的自變量是一個(gè)函數(shù)，函數(shù)可以千奇百怪地變化，在最速落徑問(wèn)題中唯一需要滿足的條件是：在A和B兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值是固定的。那么，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示y(x)附近變化的各種函數(shù)呢？在拉普拉斯之前，比如雅各布，是將自變量x在某些位置的數(shù)值來(lái)一點(diǎn)點(diǎn)變化，如圖2a所示，再運(yùn)用幾何直觀的方法，加上具體問(wèn)題的物理規(guī)律，從而得到函數(shù)y(x)的變化，然后令此變化為0而導(dǎo)出具體問(wèn)題的方程。歐拉后來(lái)推廣了雅各布求解最速落徑問(wèn)題的方法到一般的情況，將y(x)分成若干段一節(jié)一節(jié)更小的曲線，用求和代替公式（1）中的積分，得到了泛函分析中最重要的歐拉方程。但歐拉所使用的，萬(wàn)變未離其宗，仍然屬于變動(dòng)x的幾何類(lèi)方法。

拉普拉斯很巧妙地改進(jìn)了歐拉的辦法^【2】。如圖2b所示，所有的千奇百怪的試驗(yàn)函數(shù)Y(x)，可以寫(xiě)成解函數(shù)y(x)加上一個(gè)擾動(dòng)函數(shù)之和。這個(gè)擾動(dòng)函數(shù)則寫(xiě)成一個(gè)小實(shí)數(shù)變量 e與另一個(gè)任意連續(xù)函數(shù)h(x)的乘積：

Y(x) = y(x) + e h(x)                                      (2)

這樣做的結(jié)果就像是將擾動(dòng)的幅度變化和形狀變化分開(kāi)來(lái)了。幅度變化取決于實(shí)數(shù)變量 e，而函數(shù)形狀的變化則由函數(shù)h(x)表征。對(duì)函數(shù)h(x)的要求不多：它們是至少有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，兩個(gè)端點(diǎn)值為0的任何函數(shù)，如圖2b左上角的曲線所示。然后，將表達(dá)式（2）代入到積分公式（1）的被積函數(shù)f(x,Y,Y')中。因?yàn)楣降挠疫吺顷P(guān)于x的積分，積分之后，表面上看起來(lái)，函數(shù)h(x)消失了，積分結(jié)果J(e)只是e的函數(shù)。但實(shí)際上，正確的說(shuō)法應(yīng)該是：函數(shù)h(x)被吸收到了J(e)之中。因?yàn)椴煌?/span>h(x)，將會(huì)得到不同形狀的J(e)。圖2b中右邊的兩個(gè)函數(shù)曲線，便是對(duì)應(yīng)于不同的h(x)而得到的不同J(e)。

雖然不同的h(x)得到不同的J(e)，但這所有的J(e)函數(shù)有一個(gè)共同的特點(diǎn)：當(dāng)e等于0的時(shí)候，函數(shù)J(e)的一階導(dǎo)數(shù)為0，這是函數(shù)取極值的必要條件。如圖2b右圖所示，也就是說(shuō)，函數(shù)J(e)在0點(diǎn)有極小值。這個(gè)性質(zhì)可以很容易地從公式（2）看出來(lái)，因?yàn)楫?dāng)e等于0的時(shí)候，試驗(yàn)函數(shù)就是該泛函問(wèn)題要尋求的解：y(x)，這個(gè)解函數(shù)將使得J的變分為0，亦即J(e)對(duì)e的微分為0。

以上描述的方法很巧妙地將泛函變分的問(wèn)題，等效地轉(zhuǎn)化成了一個(gè)函數(shù)J(e)對(duì)一個(gè)實(shí)數(shù)變量e取微分求極值的問(wèn)題，將對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)變成了對(duì)單變量的求導(dǎo)。當(dāng)然，兩者仍然是有所區(qū)別的，這區(qū)別是在于這兒包括了一個(gè)任意函數(shù)h(x)。解決這個(gè)后續(xù)問(wèn)題時(shí)玩的花招也是在這“任意”二字上。

首先，類(lèi)似于解決函數(shù)極值的方法，我們需要求J(e)對(duì)e的微分。根據(jù)微積分的基本法則，因?yàn)榉e分限與e無(wú)關(guān)，微分符號(hào)便可以直接穿過(guò)公式（1）右邊的積分符號(hào)而變成全微分應(yīng)用到f(x,Y,Y')上。然后再利用J(e)對(duì)e的微分等于0這一點(diǎn)，得到一個(gè)積分為0的表達(dá)式。如下面的公式（3）所示，這個(gè)積分的被積函數(shù)是兩部分的乘積：

公式（3）中，被積函數(shù)的第一部分是f的偏微分表達(dá)式，第二部分則是任意函數(shù)h(x)?，F(xiàn)在，這兩部分相乘之后再積分的結(jié)果為0。而我們知道，h(x)是一個(gè)任意函數(shù)，怎么樣的函數(shù)乘上一個(gè)任意函數(shù)再積分后將會(huì)使得結(jié)果總是為0呢？顯然只有當(dāng)這個(gè)函數(shù)為0的時(shí)候才能做到這點(diǎn)。如此一來(lái)，我們便得到了如公式（4）所示的微分方程。這就是變分法中最基本的歐拉-拉格朗日方程。

參考資料：

【1】C.Huygens, "The Pendulum Clock or Geometrical Demonstrations Concerning theMotion of Pendula (sic) as Applied to Clocks," Translated by R. J.Blackwell, Iowa State University Press (Ames, Iowa, USA, 1986).

【2】CourantR, Hilbert D (1953). Methods of Mathematical Physics. Vol. I (First Englished.). New York, New York: Interscience Publishers, Inc. pp. 184–5