【DTSIoShao的回答(42票)】:

首先我需要解釋一下, 在數(shù)學中, "變分學"一般不當作一個專門的分支, 而是作為一大類處理分析學問題的方法而出現(xiàn)的. 在理論物理中, 一般只關(guān)注Euler-Lagrange方程, 但是在穩(wěn)定相位等等問題中還需要關(guān)注更加艱深的的內(nèi)容.

變分方法在理論中永遠不會過時, 但是在教材中很難涉及到變分法中比較高級的內(nèi)容. 原因很簡單: 這些高級內(nèi)容太難了. 一般的數(shù)學物理教材僅僅止步于Euler-Lagrange方程. 所謂"泛函分析(教材)不關(guān)注變分法"也是類似的原因: 因為線性泛函分析基本上是線性代數(shù)在無窮維空間上面的推廣, 所以它其實關(guān)注不到變分問題關(guān)心的能量泛函等等非線性的泛函. 而非線性泛函分析一般是不能納入First Course in Functional Analysis這樣的書里面的, 因為一來沒有太系統(tǒng)化的理論, 二來太過艱深.

我姑且來簡要介紹一下和變分方法相關(guān)的數(shù)學問題.

偏微分方程: 這方面有一本特別艱深的書: Multiple Integrals in the Calculus of Variations, 作者是Morrey, 內(nèi)容上基本上是關(guān)注變分問題解的正則性理論. 問題的大致形式如下:

給定一個泛函:

(其中u一般要求是Sobolev函數(shù)), 何時這泛函能夠達到(局部) 極值? 極值函數(shù)的正則性(可積性, 連續(xù)性, 可微性或者解析性) 如何? 它屬于偏微分方程的近代理論中非常艱深的一部分. 它的應(yīng)用自然是很廣泛的, 比如著名的Plateau問題(極小曲面問題).

微分幾何: 一個著名的例子是Jacobi 場問題. 它關(guān)注的是變分問題解的"整體"性質(zhì): 變分問題中泛函的臨界點什么時候是整體的最小值點? 就單變量函數(shù)的情形, 我們就知道, 有非極值點的臨界點. 這種臨界點是很難處理的. 舉例來講, 考慮賦予標準度量的二維球面

, 在上面給定兩個點

, 則連接兩點的球面曲線長度是否有最小值? 是否存在唯一的曲線達到這個最小值? 翻譯成變分問題, 就是要尋找一條道路

使得泛函

達到極小. 這是平面上"兩點之間直線段最短"往一般的Riemann流形上的推廣. Jacobi場問題能夠比較清楚地研究這個泛函達到極小的可能性, 以及使得長度極小的曲線的唯一性.

幾何分析: 基本上是偏微分方程中變分方法在微分流形上的應(yīng)用, 但是因為背景空間不是Euclidean空間, 所以比單純的偏微分方程問題還要困難得多. 這方面的例子簡直不勝枚舉. 應(yīng)用比較廣泛的一個是調(diào)和映照問題(參考丘成桐的調(diào)和映照講義); 剛才提到的曲線問題可以看成是它的一個特殊情形. 它針對的是兩個Riemann流形之間的映射. 對于兩個流形之間的映射, 可以定義其能量泛函. 這能量泛函的臨界點就稱作調(diào)和映照. 所以變分學關(guān)心的問題具體到調(diào)和映照上面就是: 這樣的映照是不是存在? (給定了邊界條件之后)唯一性如何? 它們能不能讓能量泛函達到極值?

調(diào)和映照有著非常廣泛的應(yīng)用, 因為它有比較好的性質(zhì). 例如, 它可以用來研究映射的同倫分類問題.

還有一個例子是曲面的共形形變中遇到的Yamabe問題.

我的觀點是, 變分法很難寫成一本足夠好的教材, 因為它需要涉及如上所述的這些知識才能夠算得上比較深刻. 但這對于教材來講太多了一點. 如果不寫入變分法的這些數(shù)學應(yīng)用, 則又顯得太單薄.

所以我的建議是, 如果想要了解, 就多讀讀微分幾何和偏微分方程的書. 沒有什么捷徑可走.

【王芊的回答(2票)】:

我看的也是老老師（老大中，這個名字好奇怪）的變法法基礎(chǔ)，感覺挺適合初學者。

【邱睿的回答(0票)】:

感覺控制理論里面出現(xiàn)了很多變分的內(nèi)容

【葉寒溪的回答(0票)】:

作為經(jīng)濟學專業(yè)的學生，我學變分法的時候是和最優(yōu)控制理論放在一起講的。

如果樓主對這方面的內(nèi)容感興趣，推薦一本英文教材Dynamic Optimization，作者是Morton I. Kamien和Nancy. L. Schwartz。這本書前半部分是Calculus of Variations，即變分法的內(nèi)容，后半部分是最優(yōu)控制理論，向我們展示了在求解最優(yōu)化問題的時候，兩者在很多方面是殊途同歸的。至于預備知識， 微積分和常微分方程的內(nèi)容掌握就夠了。

雖然是英文教材，不過這本書用語真的是很簡單，讀起來幾乎沒什么障礙，但是其中的推導、證明過程也足夠嚴謹，而且例子也很豐富，非常適合自學。如果樓主只是單純地想了解變分法，不涉及到更高深的主題，這本書的前半部分應(yīng)該是比較合適的。

【劉吳的回答(0票)】:

作為一個學習過大量美國式數(shù)學課程的知乎新人來回答一下這個問題。

首先我想說明的一點是，在目前的經(jīng)濟學研究中，其實最優(yōu)控制已經(jīng)逐漸取代了變分法。具體原因請看如下回答。

其實，變分法其實是并不直屬于泛涵的。

首先來分一下類。

數(shù)學中的動態(tài)問題可以分為Dynamic Optimization(動態(tài)優(yōu)劃)，Dynamical System(動力系統(tǒng))，以及Dynamic Programming(動態(tài)規(guī)劃)。

其中 Dynamic Optimization(動態(tài)優(yōu)劃)又主要有Calculus of Variations(變分法)和Optimal Control(最優(yōu)控制)兩種解決問題的方法。

所以變分法其實是屬于動態(tài)數(shù)學問題中Dynamic Optimization(動態(tài)優(yōu)劃)的一種解決問題的方法。

再來簡單直觀的說一下以上提到的都是些什么。

Dynamic Optimization(動態(tài)優(yōu)劃)研究的是連續(xù)時間的動態(tài)問題，即時間是一直持續(xù)不停止的。Dynamical System(動力系統(tǒng))研究的是一個軌道的變化，即一個變量按照一個給定的規(guī)律不停運動的過程。Dynamic Programming(動態(tài)規(guī)劃)則是研究離散時間的動態(tài)問題，即我們假設(shè)變量只在一定的時間段發(fā)生一次變化，可以是一周，一個月，一年，等等。

再來就是 Calculus of Variations(變分法)了。我們說了解決 Dynamic Optimization(動態(tài)優(yōu)劃)問題主要有兩種方法。

其中， Calculus of Variations(變分法)是較為傳統(tǒng)古老也可以說是較為經(jīng)典的方法。其核心就是鼎鼎有名的Euler Equation。在此核心的基礎(chǔ)上通過更加復雜的約束條件（比如端點自由，殘余項，角點解等）引入了更加復雜的數(shù)學式子（如Transversality Condition等），這些較為復雜的東西這里不做贅述。

而第二種方法 Optimal Control(最優(yōu)控制)則是在變分法的基礎(chǔ)上得來的，但已經(jīng)成為了現(xiàn)在做研究的主流（起碼在經(jīng)濟金融領(lǐng)悟如此，其他領(lǐng)悟不了解）。其核心是將你要優(yōu)化的目標和約束條件合為一體的Hamiltonian。和變分法類似，最優(yōu)控制也有著諸多的拓展。之所以現(xiàn)在更多的使用 Optimal Control(最優(yōu)控制)，不僅僅是因為其使用起來方便簡介，上手快，更重要的是因為Hamiltonian中的乘子在經(jīng)濟學研究中一般有著極為重要的經(jīng)濟學含義，可以給我們一些直觀上的啟示。

這些只是對變分法和最優(yōu)控制以及其他諸多動態(tài)問題的簡述。如果想要具體學習，我在此強烈推薦Schwartz的Dynamic Optimization一書。這本書極其適合初學者。雖然是一本很老的書，但套路清晰，跟著書中的例子簡單走一遍，基本一天之內(nèi)就可以明白最基礎(chǔ)的方法原理（當然，想要精通熟練還是要多加練習）。

以上僅是個人見解，歡迎指正！

【張騰的回答(0票)】:

有同濟出的一本比較薄的變分法，還是可以簡單了解變分原理及其應(yīng)用的。還有一本國防科技大學出的書，都是比較早的，圖書館應(yīng)該有

【朝天闕的回答(0票)】:

剛看到一本個人感覺還不錯的變分法好教材《變分法基礎(chǔ)》北理工老大中編寫的，還沒認真看，但感覺真的不錯！好想學好變分！

原文地址:知乎