拉普拉斯曾經(jīng)說過“我們當(dāng)中的所有的人都應(yīng)該去讀讀歐拉的著作，他是我們所有人的老師”。的確，歐拉雖然沒有專門做過教師，但是他的想法和教育理念深深地影響到了所有人。歐拉也有過一位非常偉大的老師，如果沒有這位老師的培養(yǎng)，歐拉的前途應(yīng)該會(huì)大不相同，這就是伯努利家族。

1630年，伽利略提出一個(gè)問題：“一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，從一個(gè)給定點(diǎn)到不在它垂直下方的另一點(diǎn)，如果不計(jì)摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時(shí)間最短”。伽利略沒有深入研究過這個(gè)問題，粗略地認(rèn)為這個(gè)曲線應(yīng)該是圓弧。

1696年，約翰伯努利重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題，并且得出了正確的答案。伯努利先生很興奮，在整個(gè)歐洲數(shù)學(xué)界廣發(fā)英雄帖，希望廣大數(shù)學(xué)界人士來作答。截止到1697年5月5日，萊布尼茨，牛頓，雅各布伯努利，羅必塔都獲得了正確答案?？梢钥闯鰜?，能夠解出這個(gè)難題的都是當(dāng)時(shí)世界級(jí)的大數(shù)學(xué)家，《博學(xué)通報(bào)》刊登了除羅必塔以外所有的正確解法。

這5種解法中，最巧妙的還要算是約翰伯努利本人發(fā)現(xiàn)的方法，他創(chuàng)造性地把光學(xué)，力學(xué)和數(shù)學(xué)分析結(jié)合在一起，解出了這個(gè)難題。

首先看一個(gè)公式：

學(xué)過高中物理的同學(xué)應(yīng)該會(huì)很有印象，這是光線的折射定律，其中的α是入射角和折射角，v是光線在不同介質(zhì)中的傳播速度，n叫介質(zhì)的折射率。費(fèi)馬總結(jié)出一個(gè)光線傳播定律：

“過空間中兩定點(diǎn)的光，實(shí)際路徑總是光程（或者時(shí)間）最短?！?/strong>

由這個(gè)定律就可以推導(dǎo)出這個(gè)公式，荷蘭物理學(xué)家斯涅耳在1621年，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這個(gè)公式的正確性，所以光的折射定律又叫斯涅耳定律。約翰伯努利的解法正是基于這個(gè)定律。

下面介紹約翰伯努利的解法，前方高能，請(qǐng)謹(jǐn)慎閱讀！

至此，我們已經(jīng)建立了最速降曲線的微分方程（4），下面就開始求解這個(gè)方程：

實(shí)際上最速降曲線也就是我們常說的擺線，也叫旋輪線。圓上的任意一點(diǎn)滾動(dòng)產(chǎn)生的軌跡就叫擺線，另外生活中兩個(gè)等高的點(diǎn)之間自由下垂的繩子或鏈子的造型也是擺線。

可以看出來這個(gè)方法的想象和創(chuàng)造力是空前的，約翰伯努利敏銳地察覺到費(fèi)馬的時(shí)間最短原理推廣到無限情層數(shù)就是最速降曲線的解，相當(dāng)漂亮！伯努利的解法中，除了要?jiǎng)?chuàng)造性地認(rèn)識(shí)到最短時(shí)間原理和最速降曲線之間的關(guān)系，還有關(guān)鍵一步就是如何建立描述這個(gè)運(yùn)動(dòng)問題的微分方程，一旦正確的微分方程建立，對(duì)這個(gè)運(yùn)動(dòng)問題的研究就全部轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)方法上來。事實(shí)上，到今天為止，我們描述運(yùn)動(dòng)最理想的方式仍然是微分方程。牛爵士當(dāng)年在《原理》一書中建立的第二運(yùn)動(dòng)定律并不是我們現(xiàn)在常見的F=ma的形式，而是F=m·dv/dt。

“最速降問題”也成為了約翰伯努利一生數(shù)學(xué)成就的經(jīng)典代表。

約翰伯努利數(shù)學(xué)生涯還有一件更加成功的成就，那就是做了歐拉的老師。且不論這對(duì)師生之間的學(xué)術(shù)成就高低，他們都是各自研究領(lǐng)域的世界級(jí)大師。“最速降問題”掀起熱潮的時(shí)候歐拉尚未出生，假如歐拉也在那個(gè)時(shí)代，那么競(jìng)爭(zhēng)可能會(huì)更加精彩激烈。

雖然說約翰伯努利完全解決了“最速降問題”，但他也使用了很多技巧，很多時(shí)候這樣的技巧顯得不是那么顯而易見，也并非適用所有情況。就像在微積分創(chuàng)立之前就有很多人已經(jīng)會(huì)求曲線的面積和周長(zhǎng)。但是他們用到的特殊技巧卻不是每個(gè)人都可以掌握的，牛頓，萊布尼茨兩位的偉大之處在于，將解決這類問題的方法一般化，用一套規(guī)范來解決這一類問題。事實(shí)上，如果伯努利能再前進(jìn)一步，就可以發(fā)現(xiàn)這一門新的學(xué)科。

回過頭來我們?cè)賮矸治鲆幌隆白钏俳登€”問題的難點(diǎn)在哪兒？建立的微分方程實(shí)際上是表示的是一類時(shí)間與路徑的函數(shù)簇，我們要做的是在這一類函數(shù)簇內(nèi)找到時(shí)間最短的那條。這個(gè)問題有點(diǎn)類似求函數(shù)的極值，在連續(xù)函數(shù)的某個(gè)位置存在一點(diǎn)，使得一階導(dǎo)數(shù)為零，我們就把這個(gè)點(diǎn)叫作駐點(diǎn)，我們可以很方便在駐點(diǎn)處分析函數(shù)的各種性質(zhì)。很明顯函數(shù)簇中的自變量也變成了函數(shù)，這種情況毫無疑問會(huì)比求函數(shù)極值復(fù)雜得多。這套數(shù)學(xué)方法的誕生已經(jīng)積累好了足夠的數(shù)學(xué)背景，就待臨門一腳了。

歐拉在1734年重新研究了老師的“最速降問題”，這里，歐拉拋棄了那些高超的轉(zhuǎn)換技巧轉(zhuǎn)而分析更一般的情況。歐拉給這門新的學(xué)科起了一個(gè)很有力的名字——變分法。并與拉格朗日一同建立了變分法最關(guān)鍵的定理——?dú)W拉-拉格朗日方程。此方程的地位相當(dāng)于微積分領(lǐng)域的牛頓-萊布尼茨公式。

下面，我們簡(jiǎn)單看下用歐拉方程怎么求解“最速降問題”，這里同樣高能，請(qǐng)謹(jǐn)慎閱讀！

這里的(15)式與（4）式完全相同，于是，最速降曲線問題就這樣被解決。

在變分法的逐步建立過程中，拉格朗日做了非常重要的貢獻(xiàn)。這位年輕的數(shù)學(xué)家從19歲開始就一直與歐拉保持長(zhǎng)期的通信交流數(shù)學(xué)，其中對(duì)于等周問題，拉格朗日給出了第一個(gè)證明，等周問題的研究也是變分法誕生的另一個(gè)契機(jī)。這讓歐拉欣喜若狂，歐拉壓下自己往年做過關(guān)于等周問題方面不太成熟的研究，鼓勵(lì)拉格朗日先發(fā)表自己的論文，于是年輕的拉格朗日名聲大噪，從默默無聞的數(shù)學(xué)后生也晉升到著名數(shù)學(xué)家的行列。現(xiàn)在一般認(rèn)為拉格朗日對(duì)于變分法的創(chuàng)立有著更加標(biāo)準(zhǔn)的貢獻(xiàn)，但是，變分法的基本方程最先卻是歐拉提出的，所以這個(gè)基本方程被命名為E-L方程。從某種意義上說，以歐拉命名的數(shù)學(xué)定理已經(jīng)多到讓人難以排序，所以不得不找個(gè)別人的名字加進(jìn)去來區(qū)分，要不就說這是具體什么領(lǐng)域的歐拉定理，而不僅僅是說歐拉定理了。

今天的變分法已經(jīng)滲透到所有的自然科學(xué)中去了，物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，甚至后來的自動(dòng)控制領(lǐng)域，E-L方程都是最基本的分析工具。人們不僅僅可以處理的函數(shù)的大小，也可以在一堆函數(shù)中準(zhǔn)確找到滿足要求的那個(gè)具體的函數(shù)了。

歐拉以一種最崇高的方式致敬了自己的老師，在數(shù)學(xué)界的故事中還有什么比師徒傳承更加動(dòng)聽的故事么？在這里，我們也看到，歐拉作為一位大師對(duì)待后生的可敬態(tài)度，始終鼓勵(lì)年輕人做出更大的貢獻(xiàn)，這是對(duì)自己實(shí)力的絕對(duì)信任，也是為了培養(yǎng)更多的年輕數(shù)學(xué)家。某種意義上，歐拉的精神要比他的成就更加動(dòng)人。