最小作用量是一個泛稱，不同的領(lǐng)域有不同的定義，即便對同一問題也可以有多個最小作用量。1650年法國數(shù)學(xué)家費馬提出光通過介質(zhì)時滿足所耗時間最短（或光程最短）原理，這被認為是最小作用量應(yīng)用的第一個例子。光之所以會發(fā)生折射，是因為光在空氣和水中的傳播速度不同，光就選擇了在阻力小、速度快的介質(zhì)中多跑一段，在阻力大、速度慢的介質(zhì)中少跑一段，這樣可達到最短時間通過介質(zhì)的目的。

由于光在空氣和水中的傳播速度不同，光從空氣中入射到水中會選擇了耗時最短的路徑，就發(fā)生了折射。正是因為光的折射放在水杯中的鉛筆被折斷了。

光的這種“智慧”和人是一樣的。例如岸上一個人正好看到河里有人落水了，為了救人，我們總想在最短時間內(nèi)把落水者救上岸，如下圖所示。顯然由于水的阻力大，游泳的速度肯定沒有在岸上跑的速度快，大部分人會選擇圖中路徑2，先在岸上跑到距離落水者距離最近的C點，然后再跳入河中救人；與直線路徑1相比，路徑2要用時短，提高了救人效率。 由此，我們看到從岸上某點到達河里某點的最快路徑不是直線，也是一條折線，這就幫助我們理解了光為什么要發(fā)生折射。

到河里救人的路徑彎折保證最短時間到達落水者位置（陰影部分表示河流）

這個原理的應(yīng)用遠不止這些，1630年，伽利略在做斜面實驗時發(fā)現(xiàn)，兩個相同的小球從起點滑向終點，最快的路徑并不是直線而是一條曲線。我們知道兩點之間的直線只有一條，但曲線卻有無數(shù)條，一個問題便是在這許多曲線中哪一條是最快的曲線？這就是著名的最速降線問題。伽利略認為最快的曲線是一條弧線（圓的一部分），這是錯誤的。

1696年，約翰·伯努利將小球下落的空間分成許多小的下落層，每層高度為h，當 h很小時，可認為小球做勻速運動，利用能量守恒定律，可求得小球到達每一層速度均不同。想想光折射、或者去河里救人，小球為了在最短時間內(nèi)下落，速度方向就會不斷改變，當h趨近于無窮小時，路徑就變成一條連續(xù)的曲線，即最速降線?？梢宰C明它是一條倒著的擺線（輪緣上的點在輪子滾動時繪出的軌線）。

最速降線伯努利求解方法示意圖

可以看到我國古代房屋的屋頂一般都做成近似的擺線，雖然無法知道當時的設(shè)計者是否知道最速降線，但這樣的屋頂設(shè)計客觀上起到了最短時間排走雨水、減小屋面載荷的作用。

山西喬家大院，注意曲線的屋頂而非直線

從光的折射到物體運動之間相似性，或許說明了物理學(xué)大統(tǒng)一理論的可能性。萊布尼茨曾試圖建立一個能支配于整個力學(xué)和光學(xué)過程的作用量概念，這一思想對后來的學(xué)者產(chǎn)生了重大影響。法國科學(xué)家莫佩爾蒂（Maupertuis，也譯作莫泊丟、或莫培督、或馬保梯，大數(shù)學(xué)家歐拉是他的學(xué)生之一）分別在1741年，1744年，1746年發(fā)表了關(guān)于最小作用量原理的文章，他認為自然界最普遍的原理就是最小作用量原理，只要找到合適的作用量，就可以構(gòu)建該學(xué)科的理論基礎(chǔ)。對于運動學(xué)，他還給出的作用量定義為：物體的質(zhì)量，移動距離，與移動速度的乘積。

最小作用量原理的進一步發(fā)展，變分法起了不可忽視的作用。所謂變分就是泛函求極值問題。當一個函數(shù)的自變量本身就是函數(shù)的時候，稱這樣的函數(shù)為泛函，形象一點就是函數(shù)的函數(shù)，泛函求極值問題就是變分法。對于實數(shù)函數(shù)求極值，我們一般對該函數(shù)求導(dǎo)，一次導(dǎo)數(shù)等于0，說明存在極值，對變分的理解可類比于微分。

舉個例子，“兩點之間線段最短”，這在高中知識中，是作為公理不言自明的，但借助于變分可嚴格證明。

A、B兩點間線段最短示意圖

變分法是最小作用量原理的數(shù)學(xué)工具，必需聲明一下：泛函取極值，并非一定就是極小值，也可能是極大值，還有可能是駐值（定義：一階導(dǎo)數(shù)為0，但不是極值，可能為任一常數(shù)）。因此，在物理世界中作用量并非只有最小，更準確地說還有最大作用量原理，常數(shù)作用量原理。只是由于最小作用量原理最初研究的幾個問題主要是最小值，人們也就習(xí)慣性的稱為最小作用量原理。

舉一個常數(shù)作用量原理的例子。制作一個橢圓形的鏡面，如下圖所示，從橢圓一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓的內(nèi)表面反射后，所有光線又匯聚于橢圓另一個焦點。我們知道橢圓的定義為“到平面內(nèi)兩點（橢圓焦點）的距離之和為一常數(shù)（要求該常數(shù)大于兩點間的距離）的點的軌跡為橢圓”，那么，所有從一個焦點出發(fā)并在橢圓內(nèi)表面反射的光線，經(jīng)過橢圓另一個焦點時，表明它們走過了相等的路程，并且等于橢圓長軸。這就是常數(shù)作用量定理。

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橢圓鏡面反射，從一個焦點出來的光線又匯聚到另一個焦點

再舉出一個“最大作用量原理”的例子，最大熵原理。熵原本是熱力學(xué)概念，宏觀上，系統(tǒng)的熵變等于可逆過程吸收或耗散的熱量除以它的絕對溫度（克勞修斯，1865）；微觀上，熵是大量微觀粒子的位置和速度的分布概率的函數(shù)，是描述系統(tǒng)中大量微觀粒子的無序性的宏觀參數(shù)（波爾茲曼，1872）。結(jié)論：熵是描述事物無序性的參數(shù)，熵越大則無序。

1948年，信息學(xué)之父香農(nóng)借用了熱力學(xué)中熵的概念去描述信息源的不確定度，提出了“信息熵”的概念。比如參加高考的學(xué)生，他說“我一定能達一本線”，這種說法是確定的，信息熵為0；如果說“有兩種可能，一種能達線，一種達不了線”，這種說法就具有不確定，不確定性越強信息熵就越高。

再例如，一個人要投資做生意，那就需要盡可能把所有的情況都考慮周全，這樣如果你考慮的比我周全，你掌握的信息熵就大，不確定度就大。不確定度大并非壞事，因為考慮周全了，才有可能針對性的做出各種防范或補救方案，投資的風(fēng)險才會降低（從這個角度來看，最大熵實際上是要風(fēng)險最低，最大熵是否可等價于最小風(fēng)險？這樣仍可以統(tǒng)一成最小作用量原理。不知道常數(shù)作用量原理，如橢圓鏡面反射問題，能否找到等價的最小作用量？）。

投資策略中“不要把雞蛋放在同一個籃子里”的前提，你必須掌握足夠的信息熵

最大熵原理就是要保留全部的不確定性，這樣才能做到心中有數(shù)，并達到降低風(fēng)險的目的。對于在校大學(xué)生，最大熵原理的意義在于多學(xué)一些知識，增加自己的信息熵，將自己的人生風(fēng)險降到最低。別的同學(xué)掌握了比你更多的信息熵，他對人生考慮的周祥，他面對的人生風(fēng)險就低。

現(xiàn)實中小學(xué)畢業(yè)的做老板，大學(xué)畢業(yè)的打工。這并不是普遍現(xiàn)象，并且通常情況下我們也會說是機遇問題，對于一部分老板，他的人生是確定的而非不確定的，比如繼承，所以他沒有掌握更多信息熵的需求；另外一些老板雖然沒有在大學(xué)里學(xué)，但是在人生的大學(xué)堂中仍是學(xué)習(xí)的佼佼者，比如《大染坊》中的陳壽亭，只是他的學(xué)習(xí)可能要比在學(xué)堂里的學(xué)習(xí)要辛苦幾倍。

最大熵原理、常數(shù)路程原理、最短時間原理都是最小作用量原理的例子。龐加萊說“最小作用量原理迄今未經(jīng)觸動，人們似乎相信他會比其他原理更久長”。愛因斯坦則講到最小作用量原理似乎“使物理學(xué)家們窺探到了那么一點點“上帝”創(chuàng)造世界的秘密?！彼母叨瘸橄?，足以使它成為大自然最迷人、最美妙的原理之一，它的簡潔性和普適性令人震撼。似乎在科學(xué)的范疇中，人類只需要找到合適的作用量去描述自然，一切皆可明朗！

大自然都在照著最小作用量原理行事，我們又如何拋開最小作用量原理而生存呢？

參考資料：

百度百科  擺線，最速降線，最小作用量原理，皮埃爾·莫佩爾蒂，最大熵原理  

秦偉  最小作用量原理及其應(yīng)用  百度文庫  2012

呂乃基   社會中的“最小作用量定理”科學(xué)網(wǎng)博客

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=210844&do=blog&id=409955

新浪博客最大熵理論及其應(yīng)用
http://blog.sina.com.cn/s/blog_73361fab0100zi8x.html

說明：關(guān)于Maupertuis的翻譯上述三種翻譯都有見。如，百度百科“最小作用量原理”中“莫培督在其1744年的一片著名論文中宣布了一個原理，他稱之為“最小作用量原理””又“1744年由馬保梯最先提出的一個最小作用量原理?！保话俣劝倏啤捌ぐ枴つ鍫柕佟敝小澳鍫柕儆?/span>1744年發(fā)表了最小作用量原理”?；影倏啤拔镔|(zhì)波理論”中“在給出費馬原理和莫泊丟原理的相似性表示后(指最小作用量)…”