「新原理研究所」（ID：newprincipia）

如果要羅列一張最美公式的清單，那么 F = ma 肯定榜上有名。這個公式表達(dá)的是力(F)等于質(zhì)量(m)乘以加速度(a)，它告訴我們的是，推動一個空的購物車要比一個裝滿食品的購物車更加容易。它與牛頓的另外兩大運(yùn)動定律，為經(jīng)典力學(xué)奠定了基礎(chǔ)。

通過牛頓力學(xué)，我們可以計算出物體的運(yùn)動方式。例如，飛機(jī)起飛需要多少升力、火箭升空需要多大的推力，等等等等，都可以用F=ma來計算。我們可以通過它來理解真實(shí)世界的運(yùn)作方式，這是一件多么美妙的事啊。

那么，除了牛頓力學(xué)外，是否還存在著其它更好的方式來理解世界的運(yùn)行呢？答案是有的，這個更好的方式發(fā)現(xiàn)于牛頓之后的100 - 150年。當(dāng)時，拉格朗日、歐拉和哈密爾頓這樣的數(shù)學(xué)物理巨匠，對經(jīng)典力學(xué)進(jìn)行了重新表述。新的方式之所以更好，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

• 首先，它很簡潔。這種簡潔是理論物理所應(yīng)該具備的。

• 其次，它很強(qiáng)大。它提供了一種相當(dāng)直接的新方法來解決復(fù)雜的問題。
  

• 最后，也是最重要的，它具有普遍性。它提供了一個框架，可以被擴(kuò)展到所有其它的物理定律，并且揭示了經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)的深層聯(lián)系。

在本文中，你將感受到這個思考事物的新方式為什么會是物理學(xué)中最深刻的結(jié)果之一。但是，正如許多其它深刻的結(jié)果一樣，它有個非常缺乏想象力的名字：最小作用量原理。

看待事物的新方式

【回顧牛頓力學(xué)】

我們先簡單的回顧一下牛頓力學(xué)。這里，考慮一個在位置r(t)的粒子，受到力F的作用。這個力可以從幾個不同的力得到：

○  假設(shè)一個粒子，從起點(diǎn)移動到終點(diǎn)，由于受到作用力，且該作用力所做的功與移動路徑無關(guān)，則稱此力為保守力。引力和靜電力都是保守力，但摩擦力不是。

經(jīng)典力學(xué)的目標(biāo)就是解出不同的力（比如引力、電磁力或摩擦力）的微分方程（如公式①）。如果力F是保守力，那么力就可以表示為公式 ②，其中V(r)表示勢能。這時，牛頓方程便可以寫成：

這是一個二階微分方程，它的通解有兩個積分常數(shù)。在物理上，這意味著我們需要指定粒子的初始位置和初始速度，才能找出粒子最終會出現(xiàn)在哪里。

【一個更好的方式】

現(xiàn)在，我們不指定初始位置和速度，而是選擇指定初始位置r(t?)和最終位置r(t?)，并考慮連接這兩個位置的所有可能路徑：

○  粒子從一個點(diǎn)到另一個點(diǎn)可以采取所有可能的路徑。

那么現(xiàn)在的問題是，在眾多路徑中，粒子究竟會選取哪一條？

現(xiàn)在，讓我們要做一些看似奇怪的事，給每一條路徑r(t)分配一個數(shù)字，我們稱之為作用量（action）：

公式④中的被積函數(shù)便是拉格朗日量(L)，它表示的是動能與勢能的差值。這里，我們將得到一個非常重要的結(jié)果：

粒子所選取的路徑是作用量的極值。

或許你還記得在學(xué)習(xí)函數(shù)時，如果我們要找到函數(shù)的極值，那么只要將函數(shù)微分，并使它等于零就可以了。但是作用量并不是一個函數(shù)，而是一個泛函——函數(shù)的函數(shù)。因此要證明它我們就需要用到所謂的“變分法”。這里，我們將省略這一結(jié)果的證明過程。值得一提的是，當(dāng)我們?nèi)∽饔昧康臉O值（δS = 0）時便會發(fā)現(xiàn)，我們最終會得到公式③。要求作用量是極值等價于要求路徑服從牛頓的方程，這是多么令人驚嘆的結(jié)果。

哥倫比亞大學(xué)的物理和天文學(xué)教授Janna Levin在2017年Edge提出的年度問題“什么樣的科學(xué)術(shù)語或概念更應(yīng)該被廣為人知？”中就推薦了“最小作用量原理”。她寫道：

更簡單的說，最小作用量原理可以被表述為最小阻力原理。如果你在半空中投放一顆球，它會沿著最短的路徑下落到地面，這是在引力的作用下受到最小阻力的路徑。如果球沒有沿著最短路徑下落，例如它繞著不斷擴(kuò)大的圓環(huán)旋轉(zhuǎn)，并且還返回到空中，你就會知道還有其他的力在起作用——可能是一根隱藏的繩子或一陣狂風(fēng)。這些額外的力會在它們的數(shù)學(xué)描述下，讓球沿著最小阻力的路徑運(yùn)動。最小作用原理是一個古老的原理，它能讓物理學(xué)家能在短短一行公式里，分享人類歷史中最深奧的那些概念。用這一行簡短的數(shù)學(xué)描述來計算在可能空間中的最短路徑，將能讓你發(fā)現(xiàn)宇宙起源的故事以及我們宇宙的生態(tài)系統(tǒng)的演化。

物理學(xué)的統(tǒng)一

拉格朗日法已經(jīng)遍及所有的物理學(xué)，而不僅僅只是停留在力學(xué)。所有物理學(xué)的基本定律都可以用最小作用量原理來表示。對于電磁學(xué)、狹義和廣義相對論、粒子物理學(xué)，甚至是追求超越已知物理定律的弦理論，都是如此。

一旦你掌握了所有這些概念，我們就可以將已知的物理寫在一個公式中。（幾乎）所有曾經(jīng)進(jìn)行過的實(shí)驗，都可以由標(biāo)準(zhǔn)模型的拉格朗日量來解釋：

○  每一項上的名字，都是其理論的發(fā)現(xiàn)者。

如果你無法理解這些符號，不要擔(dān)心，你可以把這個公式當(dāng)做藝術(shù)來欣賞。這里，我只簡單地介紹每一項分別代表了什么：

前兩項描述了自然界中的四種基本力。在第一項中，引力由時空曲率R表示，愛因斯坦的廣義相對論是目前描述引力最精確的理論。“麥克斯韋”描述了電力和磁力，它們只是單一的電磁力的不同表現(xiàn)?！?/span>楊-米爾斯”是麥克斯韋理論的擴(kuò)展，它告訴我們與強(qiáng)核力（將原子核束縛在一起的力）和弱核力（支配放射性的基本作用力）有關(guān)的信息。

第三項是由保羅·狄拉克在1928年所發(fā)現(xiàn)的。在思考如何結(jié)合相對論和量子力學(xué)時，他發(fā)現(xiàn)了一個可以描述基本粒子（如電子）的方程。該方程也預(yù)言了反物質(zhì)粒子的存在，并于1931被驗證。狄拉克方程描述了所有已知的物質(zhì)粒子，包括電子、中微子和夸克，以及它們對應(yīng)的反粒子。

但是，這些粒子是如何獲得質(zhì)量的？這個問題曾困擾著許多物理學(xué)家，最后的幾項——“希格斯”和“湯川”——就回答了這個問題。

所有已知的基礎(chǔ)物理都被簡潔地寫在了一行公式中，這是多么振奮人心的成就。這一結(jié)果，無疑激勵了許多的學(xué)子踏上成為一名理論物理學(xué)家的道路。

從經(jīng)典到量子

【嗅出路徑】

從上文中我們已經(jīng)知道，最小作用量原理賦予了我們一種看待事物的不同方式：

在牛頓的方法中，粒子運(yùn)動的方式如下：在每個時刻，粒子都在想“我現(xiàn)在要去哪里？”它環(huán)顧四周，看到勢能，將它微分，然后它說“啊哈，我往這邊走?！苯又谝粋€無限小的時刻之后，一切又重新開始。

但是在拉格朗日法中則有著非常不同的觀點(diǎn)?，F(xiàn)在，粒子所要采取的是作用量最小化的那條路徑。那么，它又是如何知道哪條路徑是最短的呢？在它決定要走哪條路徑之前，它是否查看了所有可能的路徑？

在某種程度上，這種哲學(xué)上的思考是沒有意義的。畢竟，這兩種方法是完全等價的。但是，當(dāng)我們超越經(jīng)典力學(xué)，而討論量子力學(xué)的時候，這種局面就改變了。我們發(fā)現(xiàn)，粒子確實(shí)嗅了所有可能的路徑！

【費(fèi)曼的路徑積分】

剛才我們說到了一個自由粒子從 r(t?) 到 r(t?) 只采取了一條路徑，但根據(jù)量子力學(xué)，事實(shí)上它采取了所有可能的路徑：

的確，這聽起來很不可思議。但量子力學(xué)告訴我們，所有可能發(fā)生的都會發(fā)生。不過它們是有概率性地發(fā)生。在最深的層面，自然就是概率性的，事物的發(fā)生是隨機(jī)的。這是量子力學(xué)的關(guān)鍵洞見。

要解釋這個問題，首先，我們可以為每一條路徑指定一個復(fù)振幅：

這里每條路徑都有自己的相，它是路徑的作用量的值（單位為?=普朗克常數(shù)/2π）。

接著，粒子從 r(t?) 到 r(t?) 的概率為：

其中A表示振幅，它是一個復(fù)數(shù)。振幅的計算需要對粒子能走的所有路徑求和，并且在求和中，其中每一路徑都由該路徑的相定義；由此，我們就可以得出概率?；叵胍幌拢瑥?fù)數(shù)可以表示為二維xy-平面上的小箭頭。箭頭的長度表示復(fù)數(shù)的大小，而相表示相對于x-軸的角度。換一種說法，每條路徑可以用具有相（角度）的小箭頭表示。把所有箭頭加起來，然后平方，就會得到概率。這便是費(fèi)曼的路徑積分，有時也被稱為歷史求和。

我們可以通過以下方式來更具象地思考這個問題：當(dāng)一個粒子移動時，它確實(shí)采取了所有可能的路徑。但是，在遠(yuǎn)離經(jīng)典路徑（即遠(yuǎn)離作用量的極值）的情況下，相鄰的路徑之間的作用量變化很大，因此不同路徑的總和平均為零：

也就是說，遠(yuǎn)離經(jīng)典路徑，小箭頭表示每個路徑點(diǎn)在隨機(jī)方向上的復(fù)振幅，它們之間會相互抵消。

只有在接近經(jīng)典路徑（即接近作用量的極值），鄰近路徑的相才會相互加強(qiáng)：

也就是說，接近經(jīng)典路徑，小箭頭表示每個路徑點(diǎn)在相同方向上的復(fù)振幅，因此它們會相加。這就是經(jīng)典物理是如何從量子物理出現(xiàn)的。

【眼見為實(shí)】

顯然，到這里，你可能還是不相信量子粒子采取了所有可能的路徑?，F(xiàn)在讓我們考慮一個實(shí)驗，朝一個帶有雙縫A和B的屏幕發(fā)射電子，一次一個：

在牛頓物理中，每一個電子要么會通過A，要么通過B。因此，我們預(yù)期在屏幕后面會看到兩條并排堆積而成的電子。但是，結(jié)果是如此簡單的話就顯得了無生趣了。那么，我們看的了什么？我們看到的是一系列明暗條紋的分布（如下視頻所示）！在量子物理中，每一個電子看起來就好像是同時通過了A和B，因此它們會相互干涉！這看起來是如此的難以置信，但卻正是自然真實(shí)的運(yùn)作方式。

在下一堂課中，我們將看到更多關(guān)于量子力學(xué)的奇異性質(zhì)。