核心知識(shí)回顧

1. 判定定理 (SSS, SAS, ASA, AAS, HL)：熟練到不加思考的程度，尤其是AAS和ASA的區(qū)別（角的位置）。

2. 隱含條件：公共邊、公共角、對(duì)頂角、平行線帶來(lái)的角相等。

3. 終極目標(biāo)：證明線段或角相等，通常通過(guò)證明它們所在的兩個(gè)三角形全等來(lái)實(shí)現(xiàn)。

培優(yōu)題分類訓(xùn)練

類型一：經(jīng)典輔助線之作“雙垂直”模型

題1： 如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過(guò)點(diǎn)B、C作過(guò)點(diǎn)A的直線的垂線BD、CE，垂足為D、E。 求證：(1)△ABD ≌ △CAE; (2) DE = BD + CE.

思路點(diǎn)睛：

· (1) 利用“同角的余角相等”證明 ∠DAB = ∠ECA。

· (2) 利用(1)中的全等，將DE分解為DA和AE，分別等于CE和BD。

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類型二：經(jīng)典輔助線之“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法

題2： 已知，如圖，在四邊形ABCD中，BC > BA，AD = DC，BD平分∠ABC。 求證：∠A+ ∠C = 180°.

思路點(diǎn)睛：

· 截長(zhǎng)： 在BC上截取BE = AB，連接DE。證明△ABD ≌ △EBD。

· 得到AD = ED = CD，進(jìn)而證明△EDC是等腰三角形，∠C = ∠DEC。

· 利用鄰補(bǔ)角或四邊形內(nèi)角和證明∠A + ∠DEC = 180°，等量代換即可。

類型三：經(jīng)典輔助線之“倍長(zhǎng)中線”法

題3： 已知AD是△ABC的中線（BD=DC）。 求證：AB+ AC > 2AD.

思路點(diǎn)睛：

· 倍長(zhǎng)中線： 延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE = AD，連接CE。

· 證明△ABD ≌ △ECD (SAS)，得到AB = EC。

· 在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系：AC + EC > AE，即 AC + AB > 2AD。

類型四：動(dòng)態(tài)探究之“手拉手”模型

題4： 如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90°。 (1)求證：BD = CE； (2)求證：BD ⊥ CE。

思路點(diǎn)睛：

· (1) “手拉手”核心： 證明△ABD ≌ △ACE (SAS)。注意：BA=CA，DA=EA，∠BAD = ∠CAE（都是90°+公共角∠DAC）。

· (2) 延長(zhǎng)BD交CE于F。由(1)中全等得∠ABD = ∠ACE。再利用“8字模型”和對(duì)頂角，在△ABG和△FCG（G為BD、AC交點(diǎn)）中推導(dǎo)出∠CFB = ∠BAG = 90°

類型五：動(dòng)態(tài)探究之“半角”模型

題5： 已知，正方形ABCD中，∠MAN = 45°，它的兩邊分別交線段CB、DC于點(diǎn)M、N。 (1)求證：MN = BM + DN； (2)若正方形的邊長(zhǎng)為6，BM=2，求DN和MN的長(zhǎng)。

思路點(diǎn)睛：

· (1) “半角”核心： 將△AND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABE。證明E、B、M共線，再證明△AMN ≌ △AME (SAS)，從而MN = ME = MB + BE = MB + DN。

· (2) 設(shè)DN = x，則MN = 2 + x，NC = 6-x，MC=4。在Rt△MCN中利用勾股定理列方程求解。

類型六：綜合探究之“兩次全等”

題6： 如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC = 90°，AB = AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE于E。 (1)求證：BF = 2CE； (2)求證：CE = 1/2 DF.

思路點(diǎn)睛：

· 此題難度較大，需要構(gòu)造輔助線和多次全等。

· (1) 延長(zhǎng)CE和BA交于點(diǎn)F。先證△BCE ≌ △BFE (ASA)，得CE=EF，即CF=2CE。再證Rt△ABD ≌ Rt△ACF (ASA)，得BD=CF=2CE。

· (2) 在(1)的基礎(chǔ)上，證明△ABD ≌ △ACD (SAS)？或通過(guò)角度證明DF=BD，從而得出CE=1/2BD=1/2DF。需要仔細(xì)推導(dǎo)。

總結(jié)與建議

1. 掌握模型： “雙垂直”、“手拉手”、“倍長(zhǎng)中線”、“截長(zhǎng)補(bǔ)短”、“半角”等都是高頻模型，要理解其輔助線的內(nèi)在邏輯，而非死記硬背。

2. 分析思路： 遇到難題，從結(jié)論倒推（要證這個(gè)，需要先證什么？），再?gòu)臈l件順推（已知這個(gè)，我可以得到什么？），在中間匯合。

3. 規(guī)范書(shū)寫： 培優(yōu)題過(guò)程復(fù)雜，更要書(shū)寫規(guī)范，證明全等時(shí)按判定定理的順序列出條件，做到邏輯清晰，步步有據(jù)。

4. 積累經(jīng)典題： 把上面這類好題整理到錯(cuò)題本上，定期回顧，總結(jié)方法和套路。

這份合集涵蓋了大部分全等三角形的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，認(rèn)真鉆研必將對(duì)你的幾何能力有很大提升！