在證明三角形全等時有時需添加輔助線，對學習幾何證明不久的學生而言往往是難點．下面介紹證明全等時常見的五種輔助線，供同學們學習時參考．

一、截長補短

一般地，當所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時，通?？梢钥紤]用截長補短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等．

例1．如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB．求證：AC=AE+CD．

分析：要證AC=AE+CD，AE、CD不在同一直線上．故在AC上截取AF=AE，則只要證明CF=CD．

證明：在AC上截取AF=AE，連接OF．

∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°

∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．

顯然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°

在△DOC與△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC

∴△DOC≌△FOC， CF=CD

∴AC=AF+CF=AE+CD．

二、中線倍長

三角形問題中涉及中線（中點）時，將三角形中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形是常用的解題思路．

例2．已知三角形的兩邊長分別為7和5，那么第三邊上中線長x的取值范圍是（   ）．

分析：要求第三邊上中線的取值范圍，只有將將中線與兩個已知邊轉(zhuǎn)移到同一個三角形中，然后利用三角形的三邊關(guān)系才能進行分析和判斷．

解：如圖2所示，設(shè)AB=7，AC=5，BC上中線AD=x．

延長AD至E，使DE = AD=x．

∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD

∠ADC=∠EDB（對頂角）∴△ADC≌△EDB

∴BE=AC=5

∵在△ABE中   AB-BE＜AE＜AB+BE

即7-5＜2x＜7+5     ∴1＜x＜6

三、作平行線

當三角形問題中有相等的角或等腰等條件時，可通過作平行線將相等的角轉(zhuǎn)換到某一個三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件．

例3．如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE=BD．連接DE交BC于F．求證：DF=EF．

分析：要證DF=EF，必須借助三角形全等．而現(xiàn)有圖形中沒有全等三角形．由等腰三角形條件，可知∠B=∠ACB，作DH∥AE，可得∠DHB=∠ACB．則△DBH為等腰三角形．

證明：作DH∥AE交BC于H．

∴∠DHB=∠ACB，

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB

∴∠DHB=∠B，DH=BD

∵CE=BD    ∴DH= CE

又DH∥AE，∠HDF=∠E 

∠DFH=∠EFC（對頂角）

∴△ DFH≌△EFC（AAS）  ∴DF=EF

四、補全圖形

在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決．

例4．如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD為∠ABC的平分線．若A點到直線BD的距離AD為a，求BE的長．

分析：題設(shè)中只有一條已知線段AD，且為直角邊，而要求的BE為斜邊．要找到它們之間的關(guān)系，需設(shè)法構(gòu)造其他的全等三角形．

證明：延長AD、BC相交于F．

由BD為∠ABC的平分線，BD⊥AF．

易證△ADB≌△FDB   ∴FD= AD=a  AF=2a     ∠F=∠BAD    

又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90°

∴∠ABD=∠FAC   

∵BD為∠ABC的平分線  ∴∠ABD=∠CBE

∴∠FAC=∠CBE，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC

∴△ACF≌△BCE（ASA）    ∴BE=AF=2a

五、利用角的平分線對稱構(gòu)造全等

角的平分線是角的對稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個相等的角，還有一條公共邊，利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段，或向兩邊作垂線，對稱構(gòu)造出全等三角形是常用的證明方法．

例5．如圖5，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．證明：AD=CD．

分析：由角的平分線條件，在BC上截取BE=BA，可構(gòu)造△ABD≌△EBD，從而AD=DE．則只要證明DE=CD．

證明：在BC上截取BE=BA，連接DE．

由BD平分∠ABC，易證△ABD≌△EBD

∴AD=DE    ∠A=∠BED

又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°

∴∠DEC=∠C，∴DE=CD

∴AD=CD

　　（發(fā)表于《中學生數(shù)學》2009年10月第10期）