一元二次方程的概念及運(yùn)用

[考情分析]近3年中考主要考查: 

1. 選擇合適的方法解一元二次方程,常在壓軸題中涉及考察;

2.用一元二次方程根的判別式判斷方程根的情況或者根據(jù)根的情況求字母系數(shù)的取值范圍，根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用;

3.一元二次方程的應(yīng)用主要以選擇題的形式考查列方程，常在解答題中與環(huán)等式、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用結(jié)合考查，難度較大，分值一般3- 10分.

命題點(diǎn)1:一元二次方程的解法(近3年考查5次)

1. 一元二次方程x2-4x+3=0配方為(x- -2)*=k,則k的值是1

2. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)a, b,定義一種運(yùn)算: ab=a2+b2-ab,若x (x-1)=3，則x的值為-1或2。

3. 閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出x的值.

[問題]解方程:

x'+2x+4yx+2x- 5=0.

[提示]可用“ 換元法”解方程.

解:設(shè)(x2+2x=t(t≥0)， 則有x2+2x=t. 原方程可化為: t+4t-5= 0.

定義新運(yùn)算“a*b': 對(duì)于任意實(shí)數(shù)a, b,都有a*b= (a+b) (a-b)-1,其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例4*3=(4+3)(4- -3)-1=7-1=6.若x*k=x(k為實(shí)數(shù))是關(guān)于x的方程，則它的根的情況為(C)

A.有一個(gè)實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

D.沒有實(shí)數(shù)根.

(仙桃)關(guān)于x的方程x2+ 2(m-1)x +m2-m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a，β,且a°+β2=12,那么m的值為( A )

A. -1   B. -4    C.-4或1     D.-1或4

若關(guān)于x的一元二次方程x2- 2mx +m2- 4m - 1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1, xz2, 且(x1+2) (xz+2) - 2x2=17,則m的值為(A)

A. 2或6 B. 2或8  C.2   D. 6

命題點(diǎn):一元二次方程的應(yīng)用(近6年考查10次)

(鄂州)目前以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展.某市2019年底有5G用戶2萬戶，計(jì)劃到2021年底全市5G用戶數(shù)達(dá)到9.68萬戶.設(shè)全市5G用戶數(shù)年平均增長(zhǎng)率為x,則x的值為( A ) 

A. 120%  B.130%  C.140%  D.150% .

 (襄陽第19題6分)改善小區(qū)環(huán)境，爭(zhēng)創(chuàng)文明家園.如圖所示，某社區(qū)決定在-塊長(zhǎng)(AD)16m，寬(AB)9m的矩形場(chǎng)地ABCD上修建三條同樣寬的小路,其中兩條與AB平行，另一條與AD平行,其余部分種草.要使草坪部分的總面積為112 m,則小路的寬應(yīng)為多少?

解:設(shè)小路寬為x m,

由題意，得(16-2x) (9-x)=112.

整理，得x2-17x+16=0.

解得x=1，

x2=16>9(不合題意，舍去). .x= 1.

答:小路的寬應(yīng)為1m

(數(shù)學(xué)文化) 《田蚍類乘除捷法》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有-一個(gè)數(shù)學(xué)問題:“直田積八百六十四步，只云長(zhǎng)闊共六十步，長(zhǎng).多闊幾何?”意思是: -塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長(zhǎng)與寬共60步，問它的長(zhǎng)比寬多多少步?根據(jù)題意,長(zhǎng)比寬多12步.

重難點(diǎn): 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

①ED已知關(guān)于x的一元=次方程x2-4x- 2k+8=0.

(1)若此方程的一個(gè)根為3，則k的值為2 方程的另-一個(gè)根為1 ;

(2)若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k>2 ;

(3)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k≥2 ;

(4)若方程沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k<2 ;

提分關(guān)鍵

(1)運(yùn)用根的判別式時(shí)注意二次項(xiàng)系數(shù) a≠0或分類討論;

(2)運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系注意隱含條件△≥0.

重難點(diǎn):一元二次方程的應(yīng)用.

02(一題多個(gè)設(shè)問)恩施玉露茶是湖北特產(chǎn)，以“綠、濃、醇、香”四絕而著稱.

(1)①某茶葉采購(gòu)商第一次采購(gòu)玉露茶的價(jià)格為480元/斤，干旱影響，茶葉產(chǎn)量降低，②該采購(gòu)商第三次的采購(gòu)價(jià)格比第一次多了100. 8元，求解：后兩次采購(gòu)價(jià)格的平均增長(zhǎng)率;

[分層分析]設(shè)后兩次采購(gòu)價(jià)格的平均增長(zhǎng)率為x,①得到第二次采購(gòu)的價(jià)格為480(1+x)元，②可列方程為480(1+x)2=480+100. 8.

解:設(shè)后兩次采購(gòu)價(jià)格的平均增長(zhǎng)率為x，依題意得480(1+x)2= =480+ 100.8，解得x1=0.1, x=-2. 1(舍).

答:后兩次采購(gòu)價(jià)格的平均增長(zhǎng)率為10%.