一元二次方程問(wèn)題是初中代數(shù)之重點(diǎn)，也是中考之熱點(diǎn)。許多同學(xué)在解題時(shí)，由于對(duì)題目中的隱含條件重視不夠，在平時(shí)作業(yè)或考試當(dāng)中往往出現(xiàn)錯(cuò)解。現(xiàn)將常見(jiàn)的錯(cuò)誤情況公布于眾，以期引起廣大師生的共同注意。

錯(cuò)誤之一：忽視二次項(xiàng)系數(shù)不能為0

例1、已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為、。問(wèn)：為何值時(shí)，？

誤解：∵關(guān)于的一元二次方程的兩根為、，根據(jù)題意，由求根公式得：

，

即，解得：

∴當(dāng)時(shí)，。

分析：既然是一元二次方程，那么這里就有一個(gè)隱含條件，即，也就是；還有，方程中的一次項(xiàng)系數(shù)含有，這就意味著被開(kāi)方數(shù)，即，這也是題目中的一個(gè)隱含條件，綜合起來(lái)，即＜，而上述解答中就忽視了這個(gè)條件。另外，既然方程有兩個(gè)根，那么到底是兩個(gè)相等的根還是兩個(gè)不相等的根呢？這得由判別式來(lái)確定，所以還應(yīng)求出判別式的值：，由于＜，所以可判定＞0，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。而又因?yàn)?/span>，所以可判定，即，由韋達(dá)定理得：，又由于＜，解得正確答案為：。

例2、關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值.。

誤解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ≥0，

即

解之得

分析：，即時(shí)，原方程為一元一次方程。

所以，正確的答案應(yīng)為＜2，且。

錯(cuò)誤之二：忽視負(fù)的平方根和算術(shù)平方根的非負(fù)性

例3、解方程：

誤解：

∴，

∴，

∴

分析：此解錯(cuò)就錯(cuò)在由到，忽視了平方根還有一個(gè)負(fù)的，導(dǎo)致丟掉了一個(gè)解。

正確的解為：  

∴，

∴

∴，

∴原方程的解為：，

例4、已知是方程的一根，求作以和為根的一元二次方程。

誤解：把代入原方程，得。解之得：，。

⑴當(dāng)時(shí)，，，∴所求的一元二次方程為；

⑵當(dāng)時(shí)，，，∴所求的一元二次方程為。

分析：此解主要錯(cuò)在未考慮到這一問(wèn)題。因而應(yīng)舍去。

正解應(yīng)為：所求的一元二次方程為。

錯(cuò)誤之三：忽視結(jié)論的多解情況

例5、若關(guān)于x的方程只有一個(gè)解，試求的值與方程的解.

誤解：將原方程化簡(jiǎn)，得

∴當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解

分析：將原方程化簡(jiǎn)，得：，應(yīng)分為兩種情況討論。

①當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解；

②當(dāng)時(shí)，方程的判別式為：

＞0

∴方程總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，按題設(shè)原方程只有一個(gè)解，因此必有一根是原方程的增根，從原方程知道，增根只可能是使即或.

顯然，0不是的根，故是此方程的根。

將代入得：；

因?yàn)橐桓?/span>，，所以由根與系數(shù)的關(guān)系可求出方程的另一根（應(yīng)用兩根之和或兩根之積結(jié)果相同），為：，

    ∴當(dāng)時(shí)，原方程也有唯一的解為.

例6、已知、分別滿足和，則的值是多少？

誤解：由題意可知、應(yīng)是方程（）的兩個(gè)根，

      ，

∵，∴△＞0，

∴方程的兩根不等，

根據(jù)韋達(dá)定理得：，，

∴

分析：既然、分別滿足和，那么就有這種情況，而上述解答看似很合理，卻忽視了這種情況。這其實(shí)是一個(gè)“陷阱”，應(yīng)必須考慮到這種情況。

在時(shí)有上述結(jié)論存在，而當(dāng)時(shí)，。

∴本題正確的解應(yīng)為或2

那么弄丟這種存在情況的原因在哪里呢？

主要是在于把、視為方程（）的兩個(gè)根，這就自然而然地忽視了這種情況的存在了，因?yàn)?/span>的判別式在的情況下＞0，就沒(méi)有的這種情況了。

錯(cuò)誤之四：忽視二次方程的△的取值

例7、已知關(guān)于的二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為17，求的值。

誤解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，

由韋達(dá)定理得：，，

∴，

即，

解得：，

分析：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，利用韋達(dá)定理求得：

，，

再由兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為17，得

解得：，

這樣解看似合理的，但最關(guān)鍵的一點(diǎn)是忽視了的判別式△的取值情況。

當(dāng)時(shí)，＜0

化簡(jiǎn)得，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)時(shí)，＞0，方程有實(shí)數(shù)根。故只取。

例8、已知、是方程的兩實(shí)數(shù)根，且，求的值。

誤解：根據(jù)題意由韋達(dá)定理得：，

∵，即，

∴。

解之得：，。

分析：解題時(shí)只注意到方程兩根的等量關(guān)系，而忽視了方程有兩個(gè)實(shí)根時(shí)Δ≥0這一先決條件，而當(dāng)時(shí)△＜0，故應(yīng)當(dāng)舍去。

∴正解應(yīng)為。

錯(cuò)誤之五：忽視對(duì)題目中關(guān)鍵詞的辨析

例9、為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根。

誤解：要使方程有實(shí)數(shù)根，只需，即，

解之得：，又∵，∴，且。

分析：解法中對(duì)方程“有實(shí)根”和“有兩個(gè)實(shí)根”未加以辨析，而當(dāng)時(shí)，原方程為一元一次方程，也有實(shí)根，是。所以此題錯(cuò)在誤認(rèn)為原方程一定是一元二次方程，而沒(méi)想到也可以是一元一次方程。

∴正解為。

例10、、是方程的兩實(shí)根，求的最小值。

誤解：由已知得，，

∴

∴當(dāng)時(shí)，的最小值為1。

分析：解法中沒(méi)有注意到有實(shí)根的意義和本質(zhì)是什么，因而忽視了方程有兩實(shí)根時(shí)這一前提條件。

∵當(dāng)時(shí)，△＜0，此時(shí)方程無(wú)實(shí)根，∴正解的解法還應(yīng)當(dāng)求出的取值范圍。

∵原方程有兩實(shí)根解，

∴，

解得：，

∴當(dāng)時(shí)，的最小值為

錯(cuò)誤之六：忽視對(duì)根的符號(hào)的考察

例11、已知、是方程的兩個(gè)實(shí)根。求的值。

誤解：設(shè)，則，

由韋達(dá)定理得：，∴，∴。

分析：∵，，∴可知＜0，且＜0，

∴＜0，故應(yīng)當(dāng)舍去?！嗾_的解應(yīng)當(dāng)為。

例12、設(shè)方程的兩根恰好是直角三角形兩銳角的正弦值。求的值。

誤解：設(shè)原方程兩根為，則，；

又由題意知。

即，解之得，而當(dāng)時(shí)，△＞0，

∴。

分析：解法中考慮△＞0是非常必要的，但是卻忽視了為兩銳角正弦值，應(yīng)當(dāng)滿足0＜＜1，0＜＜1，即＞0，＞0。而當(dāng)時(shí)，＜0，＜0。故應(yīng)當(dāng)舍去，正解為。