數(shù)集到數(shù)集的映射叫函數(shù)，函數(shù)集到數(shù)集的映射叫泛函(函數(shù)與泛函，微分與變分；函數(shù)是無窮維向量)。物理和數(shù)學(xué)中的很多問題都可以看成泛函求極值問題(最小曲面與皂液膜；好走捷徑，萬物跟人同此心態(tài)；擺線、等時(shí)線與最速下降曲線；曲面上的短程線方程)。解決泛函求極值問題的一種重要方法就是變分法。在變分法中會(huì)引入變分的概念，泛函的變分就類似于函數(shù)的微分(微分與導(dǎo)數(shù)；函數(shù)與泛函，微分與變分)。對(duì)于一個(gè)函數(shù)，在自變量x取固定值時(shí)，如果函數(shù)從Y(x)變到任意y(x)，則y(x)-Y(x)稱為函數(shù)的變分(與微積分中函數(shù)自變量的微分類似)，記為δy=y(x)-Y(x)。函數(shù)的線性主要部分就是函數(shù)的微分，而泛函

的線性主要部分也就是泛函的變分，記為δI。

求泛函變分跟求函數(shù)微分的方法類似，也遵循鏈?zhǔn)椒▌t和線性性質(zhì)，因此

因?yàn)?/span>

所以

類似于函數(shù)取極(小)值的一個(gè)必要條件是微分(導(dǎo)數(shù))等于零，泛函取極(小)值的一個(gè)必要條件相應(yīng)也是變分等于零，即δI=0。對(duì)于邊界固定的泛函求極值問題(例如短程線問題，懸鏈線問題，最速下降曲線(擺線、等時(shí)線與最速下降曲線)問題)，邊界處的變分自然為零，因此上式等號(hào)右邊第二項(xiàng)的值為零。從而，要使整個(gè)變分為零，必須滿足

這就是變分法的歐拉方程(變分法與歐拉方程)，也是泛函取極值的必要條件。根據(jù)歐拉方程就可以解出最速下降曲線、懸鏈線(勢(shì)能最小)(懸鏈線的形狀)的方程。