亢龍有悔，盈不可久也。

我覺得，力學(xué)中用到的數(shù)學(xué)方法就只有三個(gè)半。

• 首先是變分法，當(dāng)然也就包括了微積分，單變量的和多變量的。變分法可以從最小功原理重新推導(dǎo)出整個(gè)牛頓力學(xué)，還可以推廣到光學(xué)、電磁學(xué)乃至量子力學(xué)，其實(shí)，朗道講義就是這么做的。

  
  

• 其次就是微擾論，當(dāng)然也就包括了各種近似算法。精確解是很少的，你要知道怎么在精確解的基礎(chǔ)上進(jìn)行外推。海王星就是這么發(fā)現(xiàn)的，最近預(yù)言的太陽系第九大行星(不是冥王星!)也正在等待驗(yàn)證。

  
  

• 第三個(gè)就是混沌理論，即非線性動力學(xué)。相似的原因?qū)е孪嗨频慕Y(jié)果?錯!拉普拉斯的夢想?永遠(yuǎn)都只是夢想了!

  
  

• 最后的半個(gè)是狹義相對論，也就是時(shí)空變換方法。愛因斯坦改變了我們的時(shí)空觀，但是力學(xué)里確實(shí)用得不多。

我們談?wù)勛兎址?，介紹幾個(gè)最簡單的極值問題，最后是拉格朗日方程——從另一種觀點(diǎn)來看力學(xué)。

先從微積分講起。微積分最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是，如果我們知道了某個(gè)函數(shù)y=f(x)在x0處的數(shù)值，如果推斷它附近的一點(diǎn)x0+δx處的數(shù)值。搞物理的都是這么猜的，二者的差別是：

其中的f′(x0)就是所謂的一階導(dǎo)數(shù)了。然后，我們就把余量(也就是省略號的部分)直接去掉了，至于說這么做合不合法，有多大誤差，那就是數(shù)學(xué)家的事情了。如果這兩者的差別為零，也就是說f′(x0)=0，這就是極值條件。光的反射定律和折射定律可以從光程最短原理得到(費(fèi)馬原理)，用微分求極值的方法很容易證明，可是，你真的試過用幾何方法證明嗎？Try it。

上面就是單變量微積分的全部內(nèi)容。多變量微積分與此相似，只不過現(xiàn)在的函數(shù)有好幾個(gè)自變量。隨便舉個(gè)例子吧。函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)和(x0+δx,y0+δy)處的差別就是：

其中，f′x和f′y就是所謂的偏微分?f/?x和?f/?y。然后就可以用它去求解多變量的極值問題了。至于說合不合法、誤差有多大，還是那句話，不關(guān)我們的事兒，都拜托數(shù)學(xué)家了。

變分法是泛函分析里的方法。簡單地說，也是求某個(gè)函數(shù)的極值，但特殊的是，這個(gè)函數(shù)的自變量也是個(gè)函數(shù)。比如說

其中，A和B是積分的起點(diǎn)和終點(diǎn)。積分的結(jié)果就是一個(gè)數(shù)，具體的數(shù)值依賴于函數(shù)y=f(x)。 如果某個(gè)函數(shù)y能夠使得這個(gè)積分(或者說“泛函”)取到極值，那就意味著，任何與此函數(shù)的微小差別η，改變量都是零。也就是說

對括號里進(jìn)行形式上的微分(類似于上一段中對偏微分的處理)，可以得到

上面用到了分部積分公式d(PQ)=PdQ+QdP，以及η在A和B處的取值都是0。

因?yàn)?em>η是任意的足夠小的函數(shù)，所以，必然得到如下偏微分方程

也就是說：

這就是變分法得到的拉格朗日方程。

如果選取

就可以得到“兩點(diǎn)之間的最短距離是直線段”；

選取

就可以得到最速降線的微分方程，最后求出它是個(gè)旋輪線；

如果選取F=L=T?U，這就是力學(xué)的拉格朗日方程，L就是所謂的拉格朗日量，而T和U分別是系統(tǒng)的動能和勢能。利用拉格朗日方程，很容易求出行星軌道、簡諧振動、對稱陀螺定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等問題的微分方程和各種守恒量。實(shí)際上，機(jī)械能守恒、動量守恒、角動量守恒等都可以從拉格朗日方程中得到，分別對應(yīng)于時(shí)間、空間和空間方向的無差別性(拉格朗日量中不顯含相應(yīng)的變量)。

我覺得，這就是微積分和變分法的要義。再說一遍，不要覺得我們懶、偷奸?；覀冎皇菦]有時(shí)間，合法性和余量分析這種問題，要有好幾門課、幾百個(gè)課時(shí)、各種定理和習(xí)題才能掌握的，我們這里只能是提一提

這些做法并不嚴(yán)謹(jǐn)，但是有助于你找到解決問題的思路。在真的需要嚴(yán)格處理的時(shí)候，當(dāng)然應(yīng)該“戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢，如臨深淵，如履薄冰”，不然你就會

進(jìn)則亢龍有悔，退則蒺藜生庭，冀此求安，未知其福。

——《晉書·王豹傳》

PS：

“樂不可極，志不可滿”。一日而寫三篇教學(xué)筆記，不亦多乎?

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