5. 狄多女王的智慧

再回到經(jīng)典變分問題，補充介紹一個著名的的例子：等周問題（Isoperimetricinequality）。

等周問題來源于公元前200多年的古希臘。據(jù)說狄多（Dido）女王因為智慧地解決了這個問題而建立了迦太基城。問題聽起來挺簡單的：給你一條長度固定的繩子，如何用它在平面上圍出一塊最大的面積？人們很容易直觀地得出問題的答案是一個圓，如同兩千多年前的狄多女王的直覺一樣，好像也不需要很多智慧。但是，要真正從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明這個問題卻不那么容易了，一直到十九世紀(jì)（1838年）才被雅各·史坦納用幾何方法證明^【1】。

圖1：圓形是等周問題的解的簡單說明

從圖1所示的幾個圖形，可以對等周問題的答案進行一點簡單的直觀幾何解釋：（a）圖表明，解曲線一定是處處“凸”的。因為如果某處凹下去了的話，便可以用與圖a類似的方法將凹處邊緣對稱于紅線翻轉(zhuǎn)到虛線的位置而變“凸”，卻仍然保持同樣的周長，得到更大的面積。（b）圖說明：在固定周長的情形下，圖形越對稱，面積越大。（c）圖則表明，正方形不可能是等周長圖形中面積最大的。因為我們可以將方形的一個角剪去再拼到一條邊上，這樣作了之后得到的圖形與原來方形有相同的面積和周長但卻不是完全凸的，所以面積不是最大。從以上三個直觀理解可以得出如下結(jié)論：等周長而圍成最大面積的那個圖形，應(yīng)該是“最凸”和“最對稱”的。那么，基于直觀感覺，符合這兩個要求的，應(yīng)該是非圓莫屬！

我們感興趣的是從變分法的角度來分析解決這個問題。這個問題與前面所述的幾個變分法例子的不同之處是除了需要求泛函的極值（圍成的面積最大）之外，還包含了一個較為復(fù)雜的約束條件：圖形的周長不變。

1776年，年輕的拉格朗日（19歲）提出了拉氏乘子法，用以解決帶約束條件的極值問題。被歐拉稱贊為“這應(yīng)該是不論怎樣贊美也不過分的貢獻(xiàn)”^【2】！

如何將平面上的等周問題用數(shù)學(xué)公式來描述？可以假設(shè)問題中平面上的一閉合曲線用參數(shù)方程x(t)和y(t)表示。這樣，曲線所圍成的面積A和周長L就可以分別用積分式表示為：

等周問題要解決的就是要找到x(t)和y(t)滿足的方程，使得在周長固定的條件下（L=C）面積A最大。

為了解決上述的平面等周問題，我們將首先介紹兩個預(yù)備知識：一是為了求出曲線(x(t),y(t))所包圍的面積而需要使用的格林定理（GreenTheorem）；第二個便是當(dāng)年受到歐拉高度評價的拉格朗日乘子法。

a）格林定理

牛頓和萊布尼茨對微積分貢獻(xiàn)的精華是“微積分的基本定理”，如下面的公式（3），這個定理將互逆的微分和積分關(guān)聯(lián)起來：

“微積分的基本定理”說的是什么呢？仔細(xì)看看公式（3），如果用語言來敘述它，說起來有點拗口：“一個函數(shù)F(x)的微分的積分，等于它的邊界值F(a)和F(b)之差”！說些什么呀，微分又積分，不就什么也沒干嗎？當(dāng)然和原來的函數(shù)有關(guān)啰。不過，這兒好像也玩了點兒花招，右邊的結(jié)果并不完全是原來的未知函數(shù)F(x)，而是被表示成了原函數(shù)的邊界值。因此，換個說法，我們也可以如此來敘述公式（3）：“一個變量在一段期間中無窮小變化之和，等于變量從始到終的凈變化”。也許有人會聳聳肩膀，認(rèn)為剛才說的都是廢話，我們是學(xué)科學(xué)的，學(xué)物理的，不喜歡咬文嚼字，你干脆說說這“微積分的基本定理”有什么用處吧！

在本篇的第一節(jié)最開始介紹微積分時，談到“微分”更符合動態(tài)和變量的觀念，“積分”更是靜態(tài)的。當(dāng)微積分理論被建立起來之后，人們發(fā)現(xiàn)這個“工具”的最大優(yōu)勢是求積分。大家從學(xué)習(xí)經(jīng)驗中也能體會到：絕大多數(shù)函數(shù)的微分都不難得到，絕大多數(shù)函數(shù)的積分計算卻都不容易！而在很多時候，“基本定理”便能夠幫助我們計算這些困難的積分。

還要再一次將“基本定理”換一個說法。也可以這么說：公式（3）是將一個1維的積分轉(zhuǎn)換成了邊界上0維的積分。所以說，“基本定理”的精神也可以理解為將積分的維數(shù)降低了1階，或許這就是用它能簡化積分計算的關(guān)鍵所在！既然如此，我們經(jīng)常會碰到多變量（例如2維）的困難積分，那么，有沒有什么定理，能把平面上2維的積分轉(zhuǎn)換成1維邊界上的積分呢？答案是肯定的，這就是格林定理，見上面的公式（4）。因此，可以說格林定理的實質(zhì)就是微積分基本定理在2維的推廣。

圖2：格林定理是二維的斯托克斯定理

實際上，格林定理在物理中有多種表述方式：斯托克斯定理，散度定理，高斯定理……，其實這些都可以說是同一個概念的不同名稱而已。也許應(yīng)用的環(huán)境和空間維數(shù)稍有不同，但它們表達(dá)的內(nèi)在精神是一致的。

理解數(shù)學(xué)公式的“精神”所在很重要?，F(xiàn)在，我們該輪到研究公式（4）及圖2的精神了，首先看看公式（4）：它的左邊是一個在面積D上的二重積分，而右邊則是一個沿著D的邊界C進行的線積分。也就是說，這個式子將一個2重積分與比之低1維的線積分聯(lián)系起來。一個對面積的積分怎么就變成了一個邊界上的線積分？這兒如果結(jié)合一點兒物理，可以更容易理解。事實上，格林是在研究靜電場和靜磁場等物理問題時得到格林定理的，這個定理也能很方便地被用于流體力學(xué)的研究中。在電磁場或流體力學(xué)的具體物理情況下，函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)可以看作是某個力的分量，而格林定理也就可以用力場的性質(zhì)來描述。比如說，在力場的矢量分析中，我們可以定義矢量場的旋度和散度等等概念。如此一來，我們便可以把這些符號寫進格林定理中而使它改頭換面成另一種更符合某種物理內(nèi)容的模樣，比如散度定理。如圖2右圖所示，力場對面積的積分可以看作是許多無限小的圓圈線積分之和。當(dāng)這些小圈線積分相加時，區(qū)域內(nèi)部各個小圈積分的鄰近部分因為積分方向相反而互相抵消了，最后便只剩下了邊緣部分的積分（左圖）。

格林定理在物理中有廣泛的應(yīng)用。不過，我們這兒要使用格林定理的目的，不是為了解決電磁場或流體力學(xué)的問題，而只是用它求曲線的面積而已。這只需要令公式（4）中的函數(shù)Q=x/2，P=-y/2就可以得到了。

如此而得到等周問題面積表達(dá)式（1）中的被積函數(shù)f(x,y)= (1/2)(xy’-yx’)。

另外，周長表達(dá)式（2）中的的被積函數(shù)g(x,y)= sqrt((x’)²+(y’)²)。

b）拉格朗日乘子法

歷史地看，拉格朗日當(dāng)年用“拉格朗日乘子法”是為了解決更為困難的變分問題。但這個方法后來在解決帶約束條件的一般函數(shù)極值問題中發(fā)揮了很大的作用。為了更好地理解拉格朗日乘子法，我們逆反著這個方法的歷史過程，從更簡單的函數(shù)極值問題開始敘述。

圖3：帶約束條件函數(shù)極值問題的例子

首先舉兩個帶約束條件函數(shù)極值問題的例子。圖3a所示的小狗，就面對著爬到高處的極值問題：爬得越高，才能吃到越多的食物。如果小狗是自由的，它當(dāng)然希望爬到山頂上的最高點。這是無約束條件的極值問題，“自由”便意味著小狗沒有約束。但是，如果小狗被主人拴在了大柱子上，它的行動便受到了繩子長度的約束，它因此可能爬不到山坡頂，而只能爬到一定的高度。在圖3a中，綠色曲線表示山坡不同高度的等高線，紅色圓圈則對應(yīng)于繩子給小狗的約束方程。與紅線相切的那條綠線的高度，就是小狗能爬到的最大高度。

圖3b所示的是一個在企業(yè)中常常會碰到的最小花費問題。比如，某公司某月要用兩家不同的工廠A和B來生產(chǎn)90臺平板電腦。這兩家工廠生產(chǎn)不同數(shù)目（n臺）電腦所給出的價格J(n)不是那么簡單的線性關(guān)系。比如說，A廠給出生產(chǎn)n臺電腦的價格J_A(n)=6n²，而B廠生產(chǎn)n臺電腦的價格J_B(n)=12n²。

問題是，如何將這90臺平板電腦的任務(wù)分配給兩個工廠，才能達(dá)到花費最少的目的？

現(xiàn)在，我們將上面的任務(wù)分配抽象成數(shù)學(xué)問題。我們?nèi)匀挥锰幚碜兎謺r所用的f(x,y)和g(x,y)來表示極值函數(shù)和約束條件。但是，需要注意的一點是：在變分問題中（公式1和2），它們不直接是欲求極值的函數(shù)和約束條件本身，而是積分號內(nèi)的被積函數(shù)，積分之后的面積A及周長L才是目標(biāo)函數(shù)和約束條件。而在上述這個更為簡單的函數(shù)最優(yōu)化問題中，f(x,y)和g(x,y)本身就是目標(biāo)函數(shù)和約束條件。

如圖3b所示的例子，如果該公司請A廠和B廠生產(chǎn)的電腦數(shù)目分別是x和y，那么，所需要的總費用則可以表示成x、y的函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)f(x,y)=6x²+12y²。所需電腦的總數(shù)目是固定的90臺，因而約束條件為：g(x,y)=x+y-90=0。這樣，問題可以重新被敘述為：在滿足g(x,y)=0（90臺）的條件下，求花費f(x,y)的最小值。

如何用拉格朗日乘子法解決這個問題呢？拉格朗日的妙招是引進一個“乘子l”，然后將約束條件和目標(biāo)函數(shù)兩個方程并成一個方程。也就是說，產(chǎn)生一個沒有約束條件的新的目標(biāo)函數(shù)F：

F(x,y,l) = f(x,y)-lg(x,y) = 6x²+12y²-l(x+y-90)

因為F(x,y,l)沒有任何條件，便可以用一般函數(shù)求極值的方法，即分別令F對三個變量的偏微分為零。這樣，就可以得到3個方程，然后則能解出：當(dāng)x=60，y=30，l=720時，F(xiàn)(x,y,l)有極小值32400。換句話說，生產(chǎn)90個平板電腦最小的花費是32400元，分配方案是A廠生產(chǎn)60臺，B廠生產(chǎn)30臺。

從圖3b可以更好地理解這個例子。圖中的紅色直線代表約束條件，它與目標(biāo)函數(shù)的某一條等位線相切的那個點，便是問題的解。

拉氏乘子l在不同的具體問題中有其不同的物理意義。我們稍微解釋一下這個例子中拉氏乘子l的意義：它是約束條件改變時，目標(biāo)函數(shù)變化的最大增長率。換言之，當(dāng)問題中需要生產(chǎn)的電腦數(shù)目不是90臺而是91臺（或89臺）的時候，花費的最大變化是從32400元增加720元或者減少720元。

這個例子中的約束條件只有一個，但一般應(yīng)用拉格朗日乘子法時，約束條件的數(shù)目可以擴展到更多。總之，拉氏乘子法的實質(zhì)就是對n個約束條件引進n個乘子，產(chǎn)生新的不帶任何約束條件的目標(biāo)函數(shù)，將帶約束的極值問題轉(zhuǎn)換成了不附加任何條件的極值問題。

c）等周問題^【3】

 對變分法中的等周問題，也是引入同樣的拉格朗日乘子l，將問題轉(zhuǎn)換成不帶約束條件的F的變分問題：

最后得到無條件的泛函F的歐拉-拉格朗日方程，再解出x(t)和y(t)后可知，它們所滿足的方程是一個圓。這個問題中的拉氏乘子l，則是所得圓的曲率半徑。另外，在從微分方程求解x(t)、y(t)時所得到的2個任意常數(shù)，則確定了圓心所在的位置。

參考資料：

【1】J.Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Haupts?tze, J. reine angewMath. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer,Berlin, (1882).

【2】錢偉長，論拉氏乘子法及其唯一性問題，力學(xué)學(xué)報，第20卷，第4期，1988。

【3】CraigG. Fraser, “Isoperimetric Problems in the Variational Calculus of Euler andLagrange” (Historia Mathematica, February 1992, pp. 4–23).