培優(yōu)課21 圓錐曲線中的最值、范圍問題

圓錐曲線中的范圍與最值問題，體現(xiàn)了圓錐曲線與三角函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識之間的聯(lián)系．解此類問題與解代數(shù)中的最值問題方法類似．由于圓錐曲線的最值問題與曲線有關(guān)，所以利用曲線性質(zhì)求解是其特有的方法．

1．幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決．

2．函數(shù)取值法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值(或值域)、常用方法有：(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)單調(diào)性法；(4)三角換元法；(5)導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍．

【高考案例】設(shè)拋物線C：y²＝2px(p＞0)的焦點為F，點D(p，0)，過F的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，|MF|＝3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線MD，ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β.當(dāng)α－β取得最大值時，求直線AB的方程．

[思維導(dǎo)引]　

【培優(yōu)總結(jié)】常見解法有兩種：幾何法與代數(shù)法．

(1)若題目中的條件或結(jié)論能明顯體現(xiàn)某種幾何特征及意義，或反映出了某種圓錐曲線的定義，則直接利用圖形的性質(zhì)或圓錐曲線的定義來求解，這就是幾何法．

(2)將圓錐曲線中的最值問題通過建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，再充分利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等相關(guān)知識去求解，這就是代數(shù)法．

培優(yōu)點1 基本不等式法求最值

【培優(yōu)總結(jié)】圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解．

【培優(yōu)專練】(2024·濟南聯(lián)考節(jié)選)已知拋物線C：y²＝4x，F為焦點，點Q在直線x＝－1上，點P是拋物線上一點，且P點在第一象限，滿足FP⊥FQ，記直線OP，OQ，PQ的斜率分別為k₁，k₂，k₃，求k₁·k₂·k₃的最小值．

【培優(yōu)總結(jié)】解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．

【培優(yōu)總結(jié)】幾何方法求解圓錐曲線中的最值問題，即通過圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)將最值轉(zhuǎn)化，利用平面幾何中的定理、性質(zhì)，結(jié)合圖形的直觀性求解最值問題．常用的結(jié)論有：

(1)兩點間線段最短；

(2)點到直線的垂線段最短．

培優(yōu)點6　借助不等式求最值(范圍)

【培優(yōu)總結(jié)】1.解決本題第(2)問時，通過已知條件2|AM|＝|AN|得到參數(shù)k與參數(shù)t之間的關(guān)系，往往會忽視題目中的已知條件t>3，不能建立關(guān)于k的不等式，從而導(dǎo)致問題無法求解。

2.利用題目中隱藏的已知參數(shù)的范圍求新參數(shù)的范圍問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系，將新參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為已知參數(shù)的范圍問題。

培優(yōu)點8　利用已知條件中的幾何關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式

【培優(yōu)總結(jié)】1.不能將條件中的幾何信息∠MOA≤∠MAO準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式x_M≥1，并將其用直線l的斜率表示出來，得到目標(biāo)不等式，是不能正確求解此題的常見原因

2.利用已知條件中的幾何關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，從而構(gòu)建出目標(biāo)不等式[題后悟通]

培優(yōu)點9　利用點在曲線內(nèi)(外)的充要條件或判別式構(gòu)建目標(biāo)不等式

【培優(yōu)總結(jié)】1.解決本例(2)的關(guān)鍵是建立△F₂MN的面積S關(guān)于斜率k的關(guān)系式，然后通過換元構(gòu)造一元二次函數(shù)求解，而很多同學(xué)因不會構(gòu)造函數(shù)造成思路受阻無法繼續(xù)求解。

2.求圓錐曲線中范圍、最值的2種方法：

幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來求解；

代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值、范圍．常用的方法有基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、判別式法等。