驗(yàn)除法:2848÷16=178

1+7+8=16橫加1+6=7，7×7=49橫加4+9=13

13–9=4

被除數(shù)2848橫加2+8+4+8=22橫加2+2=4，最后結(jié)果都為4。商數(shù)橫加去九乘除數(shù)橫加去九=被除數(shù)橫加去九。

驗(yàn)乘法:橫加棄九，以等號(hào)為界限，把數(shù)字橫加起來(lái)，加到一位數(shù)為止，有九就去掉。

25×25=625

25橫加(2+5）=7     25橫加(2+5)=7

7×7=49

49去9還剩4

625橫加(6+2+5)=13

13去9=4    或13橫加(1+3）=4都余4，兩邊相等。

驗(yàn)加法:方法同于乘法，只是加法相加

75+69=144

①7+5=1+2=3   ②69去9剩6

①+②:3+6=9等號(hào)前面為9

等號(hào)后面為9

驗(yàn)減法

減法同于乘法，不同的是，有時(shí)被減數(shù)連加去九后不夠減，不夠時(shí)可加一個(gè)九再減

98–86=12

①98去9剩8    ②86橫加為14橫加為5

①–②:8–5=3等號(hào)前面為3    ③12橫加為3等號(hào)后面為3

立方和簡(jiǎn)易方程

求十幾的立方:先用1000加上個(gè)位數(shù)的立方，再用這個(gè)和加上十幾乘以它的個(gè)位數(shù)的30倍。

133=1000+27+13×3×30=4096

求幾十一的立方:先用十位數(shù)的立方的1000倍加1，再用這個(gè)和加幾十一乘它的十位數(shù)的積的30倍。

 213=8000+1+21×2×30=9261

求十位和個(gè)位相同的兩位數(shù)的立方

用這個(gè)數(shù)的十位數(shù)的立方與1331相乘

223=1331×8=10648

任意兩數(shù)立方

⑴可先將這個(gè)數(shù)化成靠近它的整十?dāng)?shù)

原數(shù)小于整十?dāng)?shù)，將整十?dāng)?shù)作被乘數(shù)，以原數(shù)的平方減去原數(shù)與差數(shù)的積加上差數(shù)的平方作乘數(shù)，再在所得積上減差數(shù)的立方，即是得數(shù)。

283=(28+2）×(28–28×2+22）–23=21952

原數(shù)大于整十?dāng)?shù):將整十?dāng)?shù)作被乘數(shù)以原數(shù)的平方加上它與差數(shù)的積，再加上差數(shù)的平方加上它與差數(shù)的積，再加上差數(shù)的平方所得的和數(shù)作乘數(shù)，最后加上差數(shù)的立方。

433=(43–3）×(432+43×3+32）+32=79507

方程:含有未知數(shù)的等式。只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是一次的整式方程叫一元一次方程，也稱(chēng)簡(jiǎn)易方程。方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

如:X =3，是8–X =5的解。

同解方程，兩個(gè)方程的解完全相同，這兩個(gè)方程就叫做同解方程。8–X =5。7+X =10，這兩個(gè)方程就是同解方程，它們的解都是3。

方程的基本性質(zhì):

⑴在方程左右兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程。

⑵在方程的左右兩邊同時(shí)乘除同一個(gè)不為0的數(shù)，所得方程與原方程是同解方程。

解方程就是根據(jù)方程的基本性質(zhì)和四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系將比較復(fù)雜的的方程簡(jiǎn)化變形，使較為復(fù)雜的方程逐步變成原方程的簡(jiǎn)單同解方程，最后得到原方程中未知數(shù)的值。

⑴根據(jù)加減乘除四則運(yùn)算的各部分關(guān)系解方程:8X –2=70的解根據(jù)減法算式各部分的關(guān)系   被減數(shù)=減數(shù)+差。則有:8X =70+2；再根據(jù)乘法    因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù)。則有=72÷8所以，X =9代入方程:左邊=8X –2=72–2=70，右邊70。兩邊相等，X =9是原方程的解。

求方程3X =28–13的解

3X =28–13，X =5

檢驗(yàn):將X =5代入原方程，左邊3×5=15，右邊=28–13=15

左右兩邊相等，所以X =5是原方程的解。

⑵根據(jù)方程的基本性質(zhì)求方程的解。

7X +8=50的解

根據(jù)其性質(zhì)，在這個(gè)方程的兩邊同時(shí)減去8，即得到一個(gè)比原方程簡(jiǎn)單的同解方程:7X =42

再根據(jù)其性質(zhì)，在方程7X =42的左右兩邊同時(shí)除以7，就又得到一個(gè)更簡(jiǎn)單的同解方程:X =6

⑶解多步運(yùn)算的方程。先將多步運(yùn)算方程轉(zhuǎn)為一步運(yùn)算的方程，再求出其方程的解。

⑷分式方程的解法。

分母中含未知數(shù)的方程是分式方程。解分式方程的一般方法就是方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程。然后解這個(gè)整式方程，最后把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是不是0，使最簡(jiǎn)公分母為0的根是原方程的增根，必須舍去。

要領(lǐng)之妙

題型:兩數(shù)和與它們的差相乘(a+b )×(a –b ）=

a 2–b 2

題型:幾十幾乘幾十幾，兩首之積添兩0，首尾、尾首交互乘，所得之和添一個(gè)0，再加兩數(shù)尾相乘。

62×54=6×5×100+(6×4+5×2）×10+2×4=3348

幾十幾乘十幾首數(shù)首乘尾數(shù)尾，加上首數(shù)再10倍，再加兩尾相乘積，欲求之?dāng)?shù)無(wú)不對(duì)。

23×14=(2×4+23）×10+3×4=322

一般算法 ， 兩首之積添兩0，兩首之和與尾乘，所得之積擴(kuò)10倍，再加兩數(shù)尾相乘。

24×64=2×6×100+(2+6）×4×10+4×4=1536

個(gè)位是5，十位相同，兩數(shù)相同個(gè)5，末尾定是25，數(shù)首加1乘數(shù)首，緊挨再寫(xiě)25。

35×35=(3+1）×3×100+5×5=1225

個(gè)位是9，幾十九乘幾十九，湊成整10再動(dòng)手，湊整積減湊整數(shù)和，最后加1積便有。29×39=30×40–(30+40）+1=1131

十位互補(bǔ)，首數(shù)首乘尾數(shù)首，加上數(shù)尾再100倍，再加數(shù)尾自乘積，欲求之?dāng)?shù)無(wú)不對(duì)。

67×47=(6×4+7）×100+7×7=3149

一般算法，首數(shù)加上尾數(shù)尾，得數(shù)再乘整十倍，再加兩尾相乘積，欲求之?dāng)?shù)無(wú)不對(duì)。

57×59=(57+9）×50+7×9=3363(首數(shù)是幾，就乘幾十倍）

十位是1，頭乘頭，尾相加，尾乘尾。

十位是5，個(gè)位相同。數(shù)首自乘加數(shù)尾，數(shù)尾自乘緊相挨。53×53=(5×5+3）×100+3×3=2809

個(gè)位互補(bǔ)。首加1與首乘，再乘100要當(dāng)心，加上兩個(gè)數(shù)尾積，所求之?dāng)?shù)便分明。

72×78=(7+1）×7×100+2×8=5616

比100多幾的兩數(shù)相乘。首數(shù)加尾數(shù)尾，得數(shù)擴(kuò)大100倍，再加兩尾相乘積。

103×105=(103+5）×100+3×5=10815

十一至十九的妙方法，頭乘頭，尾相加，尾乘尾。該進(jìn)位的進(jìn)位，也適用于十幾的平方。

12×14=168，①1×1=1，②2+4=6，③2×4=8。

本方法還適合用于1200×13000……0.12×0.14等小數(shù)點(diǎn)后加幾個(gè)0和數(shù)字后加幾個(gè)0的題型，都可以計(jì)算。

首加1的好方法，頭加1后，頭乘頭，尾乘尾。本方法必須是頭相同尾互補(bǔ)的題型，22×28、34×36、63×67、81×89，也就是兩個(gè)十位數(shù)相同，兩個(gè)個(gè)位數(shù)相加得10的題型；若頭不同尾不補(bǔ)用51頁(yè)的方法。

兩位乘兩位:個(gè)位相乘，不夠兩位用0充位。21×29、31×39……都要用0充位。

本算法適合用于頭相同，尾互補(bǔ)的題。

23×27=621，①(2+1）×2=6，②3×7=21

被乘數(shù)互補(bǔ)，乘數(shù)相同類(lèi)型題快捷。必須是被乘數(shù)互補(bǔ)，乘數(shù)相同的題型，在互補(bǔ)數(shù)(被乘數(shù))上頭加1后，頭乘頭，尾乘尾。

 頭乘頭為前積，尾乘尾為后積，該進(jìn)位進(jìn)位。

頭加1后，頭乘頭，尾乘尾。

37×44=1628，①4×4=16，7×4=28

幾十一乘幾十一的快方法，頭乘頭，頭相加，尾乘尾。夠進(jìn)位的進(jìn)位21×41=861

十一乘任意數(shù)，首數(shù)不動(dòng)下落，中間之和下拉。該進(jìn)位的進(jìn)位。

十幾乘多位數(shù)，乘數(shù)首數(shù)不動(dòng)下落，本位加倍加下位。被乘數(shù)是十幾，就加幾倍，15加5倍，18加8倍，該進(jìn)位進(jìn)位。

⑴12×231=2772，①2×2+3=7，②3×2+1=7，③1×3=3。2+①+②+③=2772。

以12為基準(zhǔn)，首數(shù)不動(dòng)，上位乘倍加下位，滿(mǎn)十要進(jìn)位。

以11、12、13……為基準(zhǔn)，上位乘倍加下位，滿(mǎn)十進(jìn)位，以此類(lèi)推。

補(bǔ)數(shù)之妙，兩數(shù)之和等10、20、30、……100、300等整數(shù)的，將兩個(gè)數(shù)稱(chēng)為指示數(shù)。

正指示數(shù):當(dāng)原數(shù)是小數(shù)碼時(shí)，為減少加補(bǔ)數(shù)的次數(shù)，直接用小數(shù)碼作為正指示數(shù)。當(dāng)被乘數(shù)為小數(shù)碼時(shí)，加補(bǔ)數(shù)的次數(shù)增多，計(jì)算起來(lái)比較麻煩，為解決這個(gè)問(wèn)題，我們按數(shù)碼的大、中、小分為三數(shù)進(jìn)行計(jì)算。大數(shù)碼:7、8、9，中數(shù)碼:4、5、6，小數(shù)碼:1、2、3

98×75=7350補(bǔ)數(shù)為25，指示數(shù)為2。大數(shù)碼指示數(shù)小，直接用加減補(bǔ)數(shù)

98×75=98×100–25=7350

45×78=45×100–22×50+22×5=4500–45×100–1100–50×22+110–5×22=3510因?yàn)槭侵袛?shù)碼，就以每步計(jì)算都有用1、2、5倍數(shù)法進(jìn)行計(jì)算。45指示數(shù)為5，78補(bǔ)數(shù)為22，半數(shù)11。

12×64=12×100–12×36=1200–(10×36+2×36）=768，實(shí)際就是用整數(shù)的乘積減12個(gè)補(bǔ)數(shù)。要用這個(gè)小數(shù)碼作為正指示數(shù)，指示數(shù)為正指示數(shù)12，補(bǔ)數(shù)36。

幾個(gè)九乘任意同位數(shù)的妙法，乘數(shù)減1連補(bǔ)數(shù)。99、999、9999、99999乘任意不同位有方法。

9999×8756=87551244，①8756–1=8755，②9999–8755的連補(bǔ)數(shù)是1244

1.98×7=13.86，198是9的倍數(shù)，都可用補(bǔ)數(shù)的方法一加一減求得數(shù)。6是3的倍數(shù)，3是7的補(bǔ)數(shù)。①1.98+0.02=2，10–7=3，2×3=6；②1.98–6+6=13.86，

九的倍數(shù)乘連續(xù)數(shù)的好方法，頭加1后頭乘頭為前積，中間之?dāng)?shù)變成頭加1那個(gè)數(shù)，(尾補(bǔ)相乘之積是一位數(shù)加0頂位)，尾補(bǔ)乘尾補(bǔ)為后積。

27×4567=123309，①頭加1后乘頭:3×4=12

②中間有多少位都不用管，都是頭加1那個(gè)數(shù):33

③尾數(shù)補(bǔ)乘尾補(bǔ)3×3=9

尾補(bǔ)相乘之積是1位時(shí)(加0頂位)

首數(shù)是5，頭乘頭加尾之和的一半為前積，尾乘尾為后積。

53×54=2862，①5×5=25，②25+(3+4）÷2=28.5，③3×4=12，②③兩積連起來(lái)得數(shù)2862，小數(shù)點(diǎn)為虛設(shè)，個(gè)位排在個(gè)位后。

尾數(shù)是5，求出兩首之積再加上兩首之和的一半為前積，再把尾5的自乘數(shù)作后積，就是應(yīng)求得數(shù)。65×85=5525，①6×8=48，頭乘頭；②(6+8)÷2=7，兩首之和的一半；③28+5.5=33.5，頭乘頭加兩首之和的一半為前積；④5×5=25，尾自乘為后積。前積有小數(shù)時(shí)，將其加在后積十位，其和滿(mǎn)10進(jìn)位。

尾同首互補(bǔ)，頭乘頭加尾為前積，尾乘尾為后積。42×62=2604，①4×6+2=26；②2×2=4；①和②連起來(lái)，尾乘尾是1位時(shí)，前面加0頂位。

尾同首排互補(bǔ)的乘法，頭乘頭加尾為前積。尾自乘為后積。兩積連起來(lái)后，再看兩個(gè)頭之和比10大幾或小幾，比10大幾就加幾個(gè)尾數(shù)，小幾就減幾個(gè)尾數(shù)。加減位置:一位數(shù)十位數(shù)加減，兩位數(shù)百位加減。

73×53=3869，①7×5=35，頭乘頭；②35+3=38，頭乘頭后加尾；③3×3=09，尾乘尾之積是一位數(shù)時(shí)前加0頂位；④7+5=12比10大2，2×3=6，一位數(shù)在十位加。②+③+④=3869

36×56=2016，①3×5+6=21，頭乘頭加尾；②6×6=36，尾乘尾；③3+5=8比10小2，減2×6=12，兩位數(shù)在百位減；①+②–③=2016

首位同是九，一數(shù)減另一補(bǔ)數(shù)為前積，兩補(bǔ)數(shù)積為后積。兩補(bǔ)相乘是個(gè)位時(shí)，前加零頂位。

93×98=9114，①93–98的補(bǔ)數(shù)2=91為前積；②93的補(bǔ)數(shù)7與98的補(bǔ)數(shù)2相乘之積，為后積，7×2=14。

9的倍數(shù)乘法，凡是九的倍數(shù)，都可用補(bǔ)數(shù)計(jì)算。用一位補(bǔ)數(shù)去乘任何數(shù)都好算，得出積來(lái)，錯(cuò)位相減即得到乘積。36×625=(36+4）×625–4×625=22500

一數(shù)都是九乘任意數(shù)的乘法，減一加補(bǔ)(在不是九的因數(shù)的位置減1，后位加補(bǔ))當(dāng)一個(gè)因數(shù)都是9的時(shí)候其算法是:在不是9的因數(shù)的末尾減1，后位加補(bǔ)。

99×82=82–1+18=8118

兩個(gè)因數(shù)位數(shù)不同，當(dāng)較小的因數(shù)完全由數(shù)字9組成時(shí)，在較大因數(shù)的位置減1，在減1的下位加補(bǔ)，減1的位置由兩因數(shù)的位數(shù)差決定，差一位，減數(shù)就向左移一位，差兩位就向左移兩位去減。

8276×999九的因數(shù)比另一因數(shù)差一位，向左移一位減1，8276，十位減一1=8266+1724=8267724，在減1的下位加補(bǔ)。

兩因數(shù)位數(shù)不同，當(dāng)較大的因數(shù)完全由9組成時(shí)，可先將較小的因數(shù)后加0，將位數(shù)補(bǔ)齊，然后按減1加補(bǔ)計(jì)算。

786×9999

將786后補(bǔ)一個(gè)0，7860，而786的補(bǔ)數(shù)為214，則有7860–1+214=7859214

十幾乘幾十幾的方法，大數(shù)頭乘小數(shù)尾加大數(shù)為前積，尾乘尾為后積。17×38=646，①7×3+38=59，②7×8=56，排積序，個(gè)位排在個(gè)位后。

平方快算，任意兩位數(shù)平方。頭乘頭為前積，頭尾積加倍為二積，尾乘尾為三積。

232=529，23×23，2×2=4，2×3×2=12，3×3=9。排積序個(gè)位排在個(gè)位后，429，百位加1=529

任意兩位妙法，頭乘頭為前積，頭尾交互乘之和為中積，尾乘尾為后積。個(gè)位相乘數(shù)不夠十位時(shí)，前面用0代替十位。該進(jìn)位的進(jìn)位。①3×4=12，頭乘頭；②2×6=12，尾乘尾；③3×6+2×4=26，頭尾交互乘積之和為中積。排積:1212=1472，個(gè)位排在個(gè)位后。

一百零幾乘一百零幾，首數(shù)不動(dòng)，尾數(shù)相加，尾相乘，連起來(lái)。

104×108=11232

①首數(shù)不動(dòng)，1；②4+8=12，尾相加；③4×8=32，尾相乘。

兩個(gè)任意三位數(shù)相乘，頭乘頭為一積，頭中交互乘之和為二積，頭尾交互乘之和加中位之積為三積，中尾交互乘之和為四積，尾乘尾為五積。385×356=137060

①3×3=9，頭乘頭為一積；②3×5+3×8=39，頭中交互乘之和為二積；③3×6+3×5+8×5=73，頭尾交互乘之積加中位之積為三積；④8×6+5×5=73，中尾交互乘之和為四積；⑤5×6=30，尾乘尾為五積。排積，個(gè)位排在個(gè)位后，   

   3     7    7     3

     9     9    3   3    0

三位乘兩位的乘法，485×37變?yōu)?85×037

①頭乘頭為第一積，4×0=0；②4×3+0×8=12，頭中交互乘之和為二積；③4×7+0×5+8×3=52，頭尾交互乘之和加中位之積為三積；④8×7+3×5=71，中尾交互乘之和為四積；⑤5×7=35，尾乘尾為五積，個(gè)位排在個(gè)位后，      1   5    7    3

                      0   2   2 1    5=17945

我國(guó)古代有一市斤等于16兩的斤兩換算法，叫作袖里吞金法、速算法，也就是以?xún)汕蠼锏膿Q算。

1÷16=0.0625，2÷16=0.125，3÷16=0.1875，4÷16=0.25，5÷16=0.3125，6÷16=0.375，7÷16=0.4375，8÷16=0.5，9÷16=0.5625，10÷16=0.625，11÷16=0.6875，12÷16=0.75，13÷16=0.8125，14÷16=0.875，15÷16=0.9375。

口訣:一零六二五    二一二五     三一八七五

四二五      五三一二五     六三七五   七四三七五

八五     九五六二五     十六二五    十一六八七五

十二七五    十三八一二五  十四八七五   十五九三七五

八卦的二進(jìn)制原理設(shè)計(jì)，按此程序填入卡內(nèi)。經(jīng)確認(rèn)，其編碼將反映在卡的左上角，再經(jīng)連加計(jì)算，即可報(bào)出。如某人確定4、5、6號(hào)卡中有年齡，編碼反映為4、2、1，將其連加起來(lái)4+2+1=7，7就是此人的年齡。

32  33   34  35  36   37  38  39

40  41   42   43  44   45   46  47

48   49   50   51   52   53   54  55

56   57   58   59   60   61   62   63

16    17   18   19   20    21   22  23

24    25    26    27   28   29  30    31

48    49    50   51   52  53   54    55

56    57   58    59    60   61   62   63

8        9   10    11    12   13   14    15

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4         5          6     7     12    13    14    15

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2      3    6     7    10    11    14    15

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1    3     5   7   9    11   13    15

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