黎曼幾何基本知識(shí)本節(jié)我們要給出測(cè)地線的概念,有兩種途徑定義測(cè)地線.一種是將測(cè)地線視為歐氏空間中的直線按下述意義的推廣:歐氏空間中,直線的切向量是常向量,即切向量場(chǎng)沿直線的導(dǎo)數(shù)為零;另一種途徑是將測(cè)地線看做局部距離最短的曲線.
則沿曲線的向量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為 顯然, 此定義不依賴于基的選取. 如果曲線的切向量可延拓為定義在的鄰域內(nèi)的向量場(chǎng),則上述的定義和限制在上一致. 但是,這種延拓并不總是可能.
注意,測(cè)地線的切向量的長(zhǎng)度為常數(shù),即為常數(shù). 事實(shí)上,對(duì), 有 這里,我們用了Leibnitz法則和的事實(shí). 接下來(lái), 我們介紹熟知的局部坐標(biāo)系下的測(cè)地線方程. 令為的局部坐標(biāo)卡,使得為從到中區(qū)域的局部微分同胚. 令為中曲線,則 其中為中曲線的參數(shù)方程. 通常認(rèn)為在下的像與本身相同. 注意,, 局部坐標(biāo)系下的測(cè)地線方程實(shí)際上是關(guān)于的方程組. 令為光滑函數(shù), 根據(jù)切空間的定義, 因此, 接下來(lái)我們根據(jù)協(xié)變導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算 如果為測(cè)地線,則. 從而滿足微分方程組 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程理論,上述方程組有短時(shí)間局部解,也容易看出,測(cè)地線是弧長(zhǎng)第一變分的臨界點(diǎn). 后面, 我們將討論弧長(zhǎng)第一變分. 在多變量微積分中,適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,例如,直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系, 扮演重要角色,因?yàn)樗鼈兛蓪?fù)雜的計(jì)算和表達(dá)式簡(jiǎn)化. 對(duì)于微分幾何,由于人們處理的對(duì)象很復(fù)雜,找到合適的局部坐標(biāo)尤為重要. 首先, 讓我們利用測(cè)地線引進(jìn)稱做指數(shù)映射的自然局部坐標(biāo),上面給出的測(cè)地線方程是一個(gè)二階二次非線性常微分方程組. 由于流形是光滑的,方程的也是光滑的. 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程理論知,對(duì)于任何點(diǎn)和向量, 存在唯一的測(cè)地線, 使得且. 這里,可能依賴于和. 如果,則考慮曲線 顯然,且, 此外,曲線對(duì)于有確切的定義, 且 其中. 因此至少是在時(shí)間段上存在的測(cè)地線, 滿足. 注意, 是上的任意向量. 根據(jù)常微分方程的理論,不難證明, 存在滿足下述性質(zhì)的極大開(kāi)集: (i); (ii)對(duì)所有, 存在唯一的測(cè)地線, 使得 (iii) 至少在時(shí)間段上存在. 接下來(lái)我們要給出 定義3:(指數(shù)映射) 給定, 指數(shù)映射是由 給出的,從到映射, 其中是滿足且的測(cè)地線. 注: 是在零切向量的某個(gè)鄰域上的局部微分同胚. 根據(jù)反函數(shù)定理,只需證明在處的導(dǎo)數(shù)非奇異. 我們將證明在處實(shí)際上是恒同映射. 為證明這個(gè)事實(shí),我們回憶從一個(gè)光滑流形到另一光滑流形的光滑映射的導(dǎo)數(shù)的定義. 在處的導(dǎo)數(shù)是從到的線性映射,使得 這里, 是上任一滿足的光滑曲線,而是在下的像, 即. 注意,這個(gè)定義只不過(guò)在重新敘述鏈?zhǔn)椒▌t. 接下來(lái)我們?nèi)?span>以及定義域?yàn)?span>的. 選取任意,令, 則, 根據(jù)上面關(guān)于流形間光滑映射的導(dǎo)數(shù)定義,有 由指數(shù)映射的定義,對(duì)于, 其中為測(cè)地線,滿足和, 這里的導(dǎo)數(shù)是關(guān)于求導(dǎo). 由測(cè)地線方程局部解的唯一性,我們知 其中是滿足的測(cè)地線,因此, 即 不過(guò)是從出發(fā),初始切向量等于的測(cè)地線,從而 這表明, 由于是包含0的區(qū)域中的任意向量,因此為恒同映射. 指數(shù)映射是切空間到流形的自然局部微分同胚. 一般地, 我們當(dāng)然不能期望為整體微分同胚. 下面稱為單射半徑的概念度量了仍為微分同胚的程度.
對(duì)所有的下確界,稱為整個(gè)流形的單射半徑,記做. 與之密切相關(guān)的概念稱為共軛點(diǎn). 定義:(共軛點(diǎn))令, 為指數(shù)映射. 稱為點(diǎn)為的共軛點(diǎn), 如果是的奇異值. 即存在, 使得且線性映射奇異. 單射半徑和共軛點(diǎn)的知識(shí)對(duì)于理解流形的結(jié)構(gòu)和研究Ricci流是重要的. 我們將在下一節(jié)介紹有關(guān)單射半徑下界的一些結(jié)果. 在微分幾何中,許多對(duì)象,例如, 聯(lián)絡(luò),曲率等, 牽涉相當(dāng)復(fù)雜的表達(dá)式. 因此,利用有效的局部坐標(biāo)系以簡(jiǎn)化記號(hào)和運(yùn)算非常充要.下面,給出一個(gè)最有用的坐標(biāo)系. 定義5:(局部法坐標(biāo)系) 令為定義在上的指數(shù)映射. 令為的單位正交基,即, 給定定義 則映射為將映到的局部微分同胚. 局部坐標(biāo)卡稱為點(diǎn)附近的局部法坐標(biāo)系. 注: 在局部法坐標(biāo)系下, 在點(diǎn)(其坐標(biāo)為)處滿足: (i); (ii) (i)的證明盡管很短,但需要小心概念. 令為上的光滑函數(shù). 根據(jù)局部法坐標(biāo)系的定義. 因此, 在處, 有 這里只是用了曲線切向量的定義, 即. 因?yàn)?span>任意, 故為已選定的的單位正交基. 因此, 我們已證明 為證明斷言(ii), 取, 則在局部上為測(cè)地線,滿足且. 在局部法坐標(biāo)系下,的參數(shù)方程為 因此滿足測(cè)地線方程,而這蘊(yùn)含 注意到, 如果, 這個(gè)方程并不意味著. 這是因?yàn)閷?duì)的不同選取,點(diǎn)可以不同. 但是, 通過(guò)取和任意的,上述同一方程蘊(yùn)含. 這就證明了斷言(ii) 在介紹完有關(guān)測(cè)地線的這些方程和計(jì)算后,讓我們用更為直觀的觀點(diǎn)討論測(cè)地線,即把它看做局部距離最小的曲線. 下面我們先回想曲線長(zhǎng)度的概念. 定義6:(曲線的長(zhǎng)度(弧長(zhǎng))) 令為Riemann流形上的分段曲線, 則曲線的長(zhǎng)度(弧長(zhǎng))為 與之緊密相關(guān)的概念是曲線的能量. 定義7:(曲線的能量) 令()為Riemann流形上的分段曲線,則曲線的能量為 定義8:(曲線的變分)光滑曲線的變分是將映到的二元光滑函數(shù), 其中滿足. 曲線在處的切向量記為; 曲線在處的切向量記為;對(duì)任何固定的,曲線記作.
這里是曲線在上的長(zhǎng)度. 證明: 我們只給出第一個(gè)公式的證明. 我們從 出發(fā),在下面的計(jì)算中, 我們將用Riemann流形上的向量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)的性質(zhì). 但是, 和都不是上的向量場(chǎng), 它們通常只在低維子集內(nèi)有定義. 然而,Riemann幾何基本定理中的法則仍能適用, 因此 這里我們用了恒等式(Riemann幾何基本定理中的無(wú)撓條件) 由于, 從而命題得證. 從弧長(zhǎng)的第一變分公式知,連接兩點(diǎn)的距離最短的曲線一定是測(cè)地線. 如果位于足夠小的鄰域內(nèi),連接這兩點(diǎn)且位于此鄰域內(nèi)的測(cè)地線也是距離最短的. 然而,如果不靠近,情況就可能不一樣. 有趣的是在臨界的情形,即那些最遠(yuǎn)的點(diǎn),測(cè)地線越過(guò)它們之后就不再是距離最短的. 這些點(diǎn)形成所謂的割跡,描述如下: 定義10:(割跡) 令為完備流形,且, , 記為滿足的測(cè)地線,定義 則的割跡是集合. 割跡中的每個(gè)點(diǎn)都被稱為割點(diǎn). 接下來(lái),我們考慮第二變分公式. 命題11: 給定長(zhǎng)度為的以弧長(zhǎng)為參數(shù)的測(cè)地線, 令為雙參數(shù)光滑變分,即是從到的光滑映射,且, 則在處, 以及 證明: 由第一變分公式的證明知, 因此, 根據(jù)無(wú)撓條件和曲率張量的定義,上式化為 如果, 則, 且由為測(cè)地線知 因此, 于是, 積分上式,便得命題中的第一個(gè)公式. 第二個(gè)公式可類似地證明. 在能量和弧長(zhǎng)的第二變分公式中,主項(xiàng)是 記, , 則上式化為 如果將能量或弧長(zhǎng)看作是曲線的泛函, 則可看成是泛函的Hessian,它扮演著與函數(shù)的Hessian相類似的角色. 定義12:(指標(biāo)形式) 令是長(zhǎng)度為的以弧長(zhǎng)為參數(shù)的測(cè)地線,則如下定義的雙線性型 稱為的指標(biāo)形式. 這里,和是沿的向量場(chǎng),而分別是,沿的協(xié)變導(dǎo)數(shù). 注意到, 把上式代入的指標(biāo)形式,得 此公式引出了下面的定義.
注: 根據(jù)公式(1), 如果其中一個(gè)向量場(chǎng)為Jacobi場(chǎng),則指標(biāo)形式由端點(diǎn)處的信息決定. 即如果是Jacobi場(chǎng), 則 這個(gè)性質(zhì)使得利用Jacobi場(chǎng)可簡(jiǎn)化許多表達(dá)式,例如,體積形式,Laplace算子等.基本的體積比較定理就是按這種方式推導(dǎo)出的. Jacobi場(chǎng)的另一重要性質(zhì)是它們描述了指數(shù)映射的導(dǎo)數(shù). 更確切的說(shuō),我們有 命題14: 令, , 為測(cè)地線, 則 其中是沿的Jacobi場(chǎng),滿足以及. 注:回想: 將中的球映到, 因此是從到的映射. 由于是線性空間,故和同構(gòu),因此沒(méi)必要區(qū)分著兩個(gè)空間中的向量. 對(duì)于充分小的數(shù)和, 考慮變分 則由鏈?zhǔn)椒▌t可得 定義向量場(chǎng)為在處的值, 根據(jù)協(xié)變導(dǎo)數(shù)的定義 由于顯然滿足初值條件及, 因此我們只需證明是Jacobi場(chǎng). 事實(shí)上, 這里我們用到是測(cè)地線,因此. 下面的兩個(gè)命題是Jacobi場(chǎng)的兩個(gè)直接應(yīng)用. 命題15: 令為完備流形上由測(cè)地線連接的兩點(diǎn),滿足, , 且. 則是的共軛點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)存在沿的非平凡Jacobi場(chǎng), 使得. 證明: 必要性 假設(shè)滿足. 如果共軛, 則根據(jù)共軛點(diǎn)的定義,存在, 使得. 定義上的一族曲線 因向量場(chǎng) 是沿曲線的Jacobi場(chǎng), 根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t, 由假設(shè), 顯然我們有. 但, 因此非平凡. 這證明了命題的必要性. 充分性 假設(shè)存在沿的非平凡Jacobi場(chǎng),使得, 且, 則. 定義, 因?yàn)?span>且 這表明是的共軛點(diǎn). Jacobi場(chǎng)的另一個(gè)應(yīng)用是它們能刻畫(huà)局部法坐標(biāo)系及與之相關(guān)的測(cè)地球坐標(biāo)系,這簡(jiǎn)化了許多計(jì)算. 令是以為心, 為半徑的測(cè)地球,即 假設(shè)這個(gè)球和的割跡不相交. 則指數(shù)映射的逆映射存在且是上的局部坐標(biāo)映射. 令為的單位正交基,中的每個(gè)點(diǎn)在這個(gè)坐標(biāo)卡中都能表示為坐標(biāo), 即, 由局部法坐標(biāo)系的定義,知為的局部法坐標(biāo)系. 定義16:(測(cè)地球坐標(biāo)) 令為的局部法坐標(biāo),則在的球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)稱為的測(cè)地球坐標(biāo). 命題17: 令, 且和的割跡不相交. 這里是中的單位向量且. 令為的局部法坐標(biāo),則有 其中是沿曲線的Jacobi場(chǎng), 滿足及. 證明: 對(duì)任何固定的, 令. 因?yàn)榍?span>不包含的任何共軛點(diǎn),因此非奇異,從而 是的一組基. 事實(shí)上,它不是別的, 正是局部基. 根據(jù)定義,需要驗(yàn)證,對(duì)任何上的光滑函數(shù), 令為測(cè)地線, 則 其中是沿的Jacobi場(chǎng),滿足和, . 因此, 為的典范基. 在討論指數(shù)映射的一些局部性質(zhì)后,我們轉(zhuǎn)向完備流形的概念,它是基于指數(shù)映射的整體性質(zhì). 定義18: 如果Riemann流形上的任何測(cè)地線可延拓為定義在整個(gè)實(shí)軸上的測(cè)地線,則稱此流形是測(cè)地完備的. 下面的定理,稱為Hopf-Rinow定理,給出了測(cè)地完備流形的有用的描述: 定理19:(Hopf-Rinow定理) 下面有關(guān)Riemann流形的陳述等價(jià): (i)令為由定義的距離函數(shù),即對(duì)于, 是關(guān)于的完備度量空間. (ii)對(duì)某個(gè)點(diǎn), 指數(shù)映射定義在整個(gè)上. (iii)對(duì)任何點(diǎn), 指數(shù)映射定義在整個(gè)上 (iv)是測(cè)地完備的. (v)中的任何兩點(diǎn)都能用最短測(cè)地線連接,即長(zhǎng)度等于兩點(diǎn)間距離的測(cè)地線. 注: 根據(jù)這個(gè)定理,人們通常稱測(cè)地完備流形為完備流形. 在證明定理之前,我們敘述兩個(gè)和證明有關(guān)的引理. 其中之一是Gauss引理,這個(gè)引理至少有兩個(gè)證明,這里我們將采用利用Jacobi場(chǎng)的證明. 下面的記號(hào)將在引理的證明中用到. 令,對(duì), 定義$B_0(0,r)=\{v\in T_pM: ||v||<r\}$, 并且$b(p,r)$是$m$中的度量球,即$b(p,r)='\{x\in' m|='' d(x,p)<r\}$.<='' p=''></r\}$.<=''>
證明:由鏈?zhǔn)椒▌t,有. 而且 其中是沿的Jacobi場(chǎng), 滿足以及. 因此, 由于是Jacobi場(chǎng),而是測(cè)地線, 我們有 因此, 為常數(shù). 利用知,當(dāng)時(shí), 這表明,從而 得證. 最后,利用了和的等價(jià)性,對(duì)于與中以0為心,為半徑的球面相切的任何向量,就有. 由此根據(jù)剛證明的公式, 便知和測(cè)地球面正交.
證明: (1)取足夠小,使得為上的微分同胚. 設(shè)點(diǎn), 則存在中的單位向量, 使得. 我們將證明, 即, 且測(cè)地線為最短測(cè)地線. 令為連接和的光滑曲線. 首先我們假設(shè)對(duì)所有, 停留在內(nèi), 則存在函數(shù)以及單位向量, 使得 根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t,則有 這里, 由于被看作是歐氏空間中的向量,因此就是. 又由于是單位向量,根據(jù)Gauss引理,有 上式兩邊對(duì)求導(dǎo)得,. 再用Gauss引理,有 所以 這表明 注意到, 由于充分靠近的原點(diǎn), 因此非奇異, 從而上式中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng), 這意味著的長(zhǎng)度的下確界是, 且若的長(zhǎng)度是, 則有, 即是測(cè)地線. 令為這樣的測(cè)地線,由于是上的微分同胚,且, 故. 因此,就是證明開(kāi)始時(shí)的測(cè)地線. 如果跑出,則它在某點(diǎn)處穿過(guò)邊界. 由上面的論證,它的長(zhǎng)度大于. 無(wú)論如何, 我們證明了, 且距離最短. 我們也證明了. 當(dāng)被任何更小的正數(shù)取代時(shí),這一包含關(guān)系顯然也成立. 由此得結(jié)論 為完成證明, 我們只需要證明反向包含關(guān)系成立. 選取點(diǎn). 令為連接的光滑曲線,則存在數(shù), 使得點(diǎn). 在前面,我們已經(jīng)證明, 因此, 對(duì)所有連接的光滑曲線取極小,上述不等式化為 這里是上的某個(gè)點(diǎn), 的存在性由的緊性保證. 因此, 于是 由 以及結(jié)論可直接得到. 現(xiàn)在開(kāi)始Hopf-Rinow定理的證明,主要的工作是證明(i)——(iv)其中之一蘊(yùn)含(v). 一旦這點(diǎn)獲證,其余的證明就很常規(guī).顯然,(iii)等價(jià)于(iv), 而(iii)蘊(yùn)含(ii). 證明的順序是: (iii) (v), (iii)(ii) (i)(iii). 證明:(Hopf-Rinow定理的證明) 假設(shè)對(duì)任何, 定義在整個(gè)上, 選取兩點(diǎn), 令充分小. 根據(jù)上面的引理的第(2)部分, 存在使得 再根據(jù)上面引理的第(1)部分,存在單位向量, 使得. 根據(jù)假設(shè),對(duì)所有有定義. 令 如果我們能證明, 則 從而, , 且. 因此是連接和的最短測(cè)地線. 我們用反證法證明. 假設(shè), 再次應(yīng)用上面引理的第(1)部分于點(diǎn)和知,存在點(diǎn)和, 使得 由的定義知, , 所以 這蘊(yùn)含 從而, 這里的所有不等式均為等式. 特別地 令為連接和的最小測(cè)地線,則拼接起來(lái)的曲線至少是長(zhǎng)度為的分段光滑曲線. 由于這條曲線是距離最短的曲線,因此距離的第一變分公式蘊(yùn)含是光滑測(cè)地線. 注意到,和在以開(kāi)區(qū)間上重合,則測(cè)地線方程的唯一性說(shuō)明,是的延拓,即. 此外, 已證是連接和的最短測(cè)地線,因此,的任一段都是最短測(cè)地線. 顯然,當(dāng)被任何取代時(shí), 都有 這和的定義矛盾. 至此已證(iii)蘊(yùn)含(v). (iii) (ii) (i) 由于(ii)是(iii)的特殊情形, 我們只需證明(ii)蘊(yùn)含(i), 即如果對(duì)某個(gè), 定義在整個(gè)上, 則是完備度量空間. 令是Cauchy序列, 根據(jù)(v)(它是(iii)的推論), 存在單位向量列, 使得. 由于的單位球面為緊,故有一子序列收斂到單位向量. 又因?yàn)?span>, 我們知道, 為一實(shí)Cauchy列. 可看成從出發(fā), 初始速度為的測(cè)地線上的點(diǎn). 假設(shè)當(dāng)時(shí), , 則由測(cè)地線方程的有限時(shí)間解對(duì)初值的連續(xù)依賴性知,. 因此, 時(shí)完備度量空間. (i)(iii) 假設(shè)是完備度量空間. 取及. 令為使有定義的的上確界. 假定有限, 則選序列, 使得當(dāng)時(shí),. 于是序列為中的Cauchy列. 令為此序列的極限. 根據(jù)測(cè)地線方程,以為初始點(diǎn), 可將光滑地延拓到之外,這表明. 從而完成了Hopf-Rinow定理的證明. 在幾何分析中,常需要計(jì)算距離函數(shù)的Laplacian. 利用Jacobi場(chǎng),可將距離函數(shù)的二階微分轉(zhuǎn)換為指標(biāo)形式,而后者牽涉流形曲率的積分表達(dá)式, 這顯然有重要的含義. 例如,如果曲率有一定的界,則可得距離函數(shù)的Laplacian的界,這種結(jié)果被稱為L(zhǎng)aplacian比較定理. 還可以類似地推導(dǎo)出體積比較結(jié)果, 這將在下節(jié)中介紹. 命題22: 設(shè)為維完備Rieman流形,對(duì), 令為距離函數(shù), 是以弧長(zhǎng)為參數(shù)的連接和的測(cè)地線. 假設(shè)與的割跡不相交,令為的單位正交基, 而是沿的平行移動(dòng). 對(duì). 令為沿的Jacobi場(chǎng), 滿足, , 則下面的恒等式成立: 其中, 是指標(biāo)形式; 這里為矩陣, 為上述Jacobi場(chǎng),而, 并且為在法坐標(biāo)系的典范基下度量矩陣的行列式. 證明: 為簡(jiǎn)單起見(jiàn),記為. 根據(jù) 和函數(shù)梯度的定義知,在點(diǎn)處, 這里及以后,除非另外說(shuō)明, 所有項(xiàng)都從到求和. 注意,在點(diǎn)的鄰域內(nèi),可將延拓為向量場(chǎng), 使得. 因此, 根據(jù)Riemann幾何基本定理,我們有 由于, 因此,由是測(cè)地線知,, 所以 由于為Jacobi場(chǎng), 則有 最后兩個(gè)等式,便完成了命題中第一個(gè)恒等式的證明. 接下來(lái),我們證明第二個(gè)恒等式. 記矩陣 計(jì)算得 這里. 當(dāng)時(shí),根據(jù)的構(gòu)造知,矩陣是單位陣,從而 注意, 因而. 對(duì), 是Jacobi場(chǎng). 因此,. 再由證明的第一個(gè)恒等式, 這是關(guān)于的第二個(gè)恒等式. 最后我們證明涉及的最后一個(gè)等式. 令為同一曲線的使得的的Jacobi場(chǎng). 我們斷言:存在常數(shù)矩陣, 使得. 這是因?yàn)?和所滿足的Jacobi場(chǎng)和所是滿足的Jacobi場(chǎng)方程式二階線性, 如果有使得, 則兩Jacobi場(chǎng)和將有同樣的初值及同樣的初始導(dǎo)數(shù), 因而它們必定處處相同. 以記矩陣, 其中為上述Jacobi場(chǎng),而, 則存在常數(shù)矩陣, 使得 注意到, 當(dāng)時(shí), 我們有, 所以 從而 因?yàn)閷?duì), , 并且. 這里為法坐標(biāo)系下的典范基. 因而 這表明,對(duì), 注: Jacobi場(chǎng)存在且可由顯式表示, 其中 , 而滿足 下面的定理說(shuō)的是指標(biāo)形式在沿最短測(cè)地線的Jacobi場(chǎng)上取得最小值.
證明: 注意到,在的端點(diǎn)處為零,而的距離最短. 根據(jù)距離的第二變分公式,有 利用分部積分,容易驗(yàn)證, 而 所以, 且 下一個(gè)結(jié)果,常被稱為指標(biāo)基本定理,說(shuō)的是不包含共軛點(diǎn)的測(cè)地線也滿足上面定理的結(jié)論. 和上面定理不同的是,沒(méi)有假設(shè)測(cè)地線是最短的. 這個(gè)定理的直接推論是:不包含共軛點(diǎn)的測(cè)地線在所有和它充分接近的曲線中長(zhǎng)度最短.
證明: 取的一組基. 則存在沿的Jacobi場(chǎng), 使得以及. 由沿不存在共軛點(diǎn)的假設(shè)知,是唯一的. 這里我們用到Jacobi場(chǎng)是線性的這一事實(shí). 接下來(lái)取沿的Jacobi場(chǎng)和向量場(chǎng), 使得且, 則存在常數(shù)和函數(shù), 使得 由于是Jacobi場(chǎng), 則由表明 下面計(jì)算 這里我們用到等式. 它容易通過(guò)微分獲得驗(yàn)證. 上述計(jì)算的第2等號(hào)右邊的第一個(gè)積分滿足 其中又用到Jacobi場(chǎng)方程和. 將其代入, 我們看到除兩項(xiàng)外其余全部相互抵消,從而得 上式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng), 即, 或者說(shuō). |
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