1. 極點和極線

定義（極點pole和極線polar）：點x 與二次曲線C 共同決定一條直線 l = Cx 叫做 x 對 C 的極線，點 x 叫做極線 l 對C 的極點。

定理（極點與極線的關(guān)系, pole-polar relationship）：點x 對 C 的極線 l 與 C 相交于兩點，通過這兩點的 C 的兩條切線相交于點x.

如果點 x 位于C 上，則它的極線就是 C 在點 x 上的切線。

如果點 x 位于 C 內(nèi)部，會怎么樣？

定義（相關(guān)，correlation）：由極點和極線的定義可知，二次曲線引入了在空間P² 上從點 x 到直線 l 之間的一個映射，這個映射關(guān)系可以用1個3x3非奇異矩陣A 來表示，即 l = Ax. 這叫做相關(guān)，它代表在空間 P² 上從一個點到一條直線的一個可逆的映射。

映射矩陣 A 不一定是對稱的，但是二次曲線C 一定是對稱的。并且由于 C 的對稱性，使得這一映射具有共軛的特點。

定義（共軛點, conjugate points）：如果極點x 對二次曲線 C 的極線為 l = Cx，且點 y 位于極線 l 上，則有 y^T l = y^T Cx = 0。任意兩個滿足條件y^T Cx = 0的點 x 和y 稱為對 C 共軛。

定理（共軛定理）：如果點x 位于點 y 的極線上，那么 y 也位于 x 的極線上。

由二次曲線 C 的對稱性，很容易得到上述結(jié)論。

由對偶定理，可以得到具有共軛關(guān)系的兩條直線。

定義（共軛直線，conjugate lines）：兩條直線 l 和m 共軛，如果 l^T C*m = 0.

2. 固定點和固定線

前面已經(jīng)講到，無窮線在投影變換下是固定的，而虛圓點在相似性變換下是固定的。本節(jié)進(jìn)一步討論這個問題。

對3x3變換矩陣 H 進(jìn)行特征值分解，得到

He = λe

其中 e 是特征向量，λ 是特征值。如果把特征向量 e 看做 P² 空間中的一個齊次點，則顯然 e 和λe 代表同一個點。這說明點 e 在變換 H 中是個固定點。

3x3 矩陣 H 最多有3個特征值，則相應(yīng)的有3個固定點。

對于直線的變換l' = H^-Tl,  把它寫成 l = H^T l',  則可以看到，H^T 的特征向量對應(yīng)于3條固定線。

歐式矩陣：進(jìn)行特征值分解，得到

可見，歐式矩陣的兩個特征值{e^iθ,e^-iθ}代表旋轉(zhuǎn)角度，它們對應(yīng)的特征向量就是兩個虛圓點 I 和 J. 可見虛圓點在歐式變換下是固定的。

第三個特征向量 (a,b,c)^T，叫做極點 (pole) ，對應(yīng)于特征值1。

相似矩陣：進(jìn)行特征值分解，得到

可見，虛圓點在相似變換下仍然是固定的。特征值代表了旋轉(zhuǎn)角度和縮放比例。

仿射矩陣：對仿射矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣 H_A^T 進(jìn)行特征值分解，得到

可見，無窮線 l_∞ = (0, 0, 1)^T在仿射變換下是固定的。