基礎矩陣估計綜合算法的幾何意義及分析* 沈沛意 王 偉 吳成柯 Long Quan Roger Mohr 摘要 研究了基礎矩陣參數(shù)的幾何意義，提出了新的估計基礎矩陣的約束條件. 首先用給出的約束求出F陣的4個參數(shù)，而這2個參數(shù)正好是2個對極點的仿射坐標. 然后通過解線性方程組獲得其余4個參數(shù)，而這4個參數(shù)表示了對極線束間的對應關系. 最后，經過對真實圖像和合成數(shù)據的測試表明本方法有明顯的幾何意義，可獲得幾何特性穩(wěn)定的F陣.
關鍵詞 基礎矩陣 雙對極點約束 綜合算法
利用對極幾何研究圖像間的約束關系，是近年來利用幾何不變量解決透視投影問題的比較突出的研究成果之一［1］. 由于對極幾何的關鍵技術是對基礎矩陣（F陣）的精確估計，所以精確估計基礎矩陣成為人們研究的一個重要方向［2～4］. 對Hartley提出的改進八點算法而言，雖然在基礎矩陣的穩(wěn)定性方面做了較大的改進［4］，但所獲得的對極點的位置均不穩(wěn)定，甚至偏差較大. Luong的研究表明，基礎矩陣的不穩(wěn)定性主要由對極點的偏差決定［5］. 因此，我們利用一個對極點的約束，結合線性算法和非線性算法，提出過一種估計基礎矩陣的方法［6］. 該算法利用單對極點約束來估計基礎矩陣，雖然可使利用約束的對極點的穩(wěn)定性得到提高，但未用約束的對極點的穩(wěn)定性并未得到較大改善. 為進一步提高對極點的穩(wěn)定性及改善F陣的性能和精度，本文提出了利用雙對極點約束的方法來估計基礎矩陣，并詳細分析了在雙對極點約束下基礎矩陣參數(shù)的幾何意義，從而為基礎矩陣的求解提出了另一種途徑. 1 F陣的估計
1.1 引出新約束
由對極幾何原理知F陣滿足 | m′TF12m=0, mTF21m′=0, | (1) | | Rank(F12)=2, Rank(F21)=2, | (2) | | Det(F12)=0, Det(F21)=0, | (3) | | F12e=F21e′=0, | (4) | F12= , | (5) |
其中m和m′是三維點M的投影，其齊次坐標分別為(x y 1)T和(x′ y′ 1)\+T，而e(α,β)和e′( )是圖像1和圖像2的對極點，基礎矩陣F12是一個3×3 矩陣，其作用是將圖像1中的點m映射到圖像2中的對極線F12m. 基礎矩陣F12可由對極點e(α,β)表示為［6］
 (6) 由對極幾何的對稱性，將F21也用另1個對極點表示. 由(2)和(3)式知F21陣的3個列向量b1, b2，和b3是線性相關的. 也就是說其中1個可以由另外2個向量線性表出，不失一般性，假設
b3=-α′b1-β′b2, (7)
成立，其中α′, β′是待定常量，而負號的引用是為了方便以后的推導. 則F21可用參數(shù)表示為
 (8)
將上式代入(4)式得到以下方程：
 (9) 簡化后為
(e′1 -α′)b1+(e′2-β′)b2=0. (10)
由于向量b1和b2線性無關，從而有
 (11)
所以當基礎矩陣F21用參數(shù)α′, β′表示為(8)式時，這2個參數(shù)是對極點e′的仿射坐標. 即(8)式是基礎矩陣關于對極點e′的一個約束條件. 在以上2個單對極點約束條件的基礎上，下面引入一個新的雙對極點的約束條件.
根據(5)式可得
 (12) 將F21的列向量代入(8)式，則得
 (13) 因此基礎矩陣可由2個對極點的4個參數(shù)表示.
1.2 基礎矩陣參數(shù)的幾何意義
由上節(jié)可知，基礎矩陣可由4個參數(shù)α, β, α′, β′表示，這4個參數(shù)具有明顯的幾何意義，它們就是2個對極點的仿射坐標. 下面用仿射幾何中無窮遠線的特性來推導基礎矩陣中參數(shù)f1,f2, f4,f5的幾何意義.
令m和m′是圖像1和圖像2中的匹配點，其齊次坐標分別為(x y 1)T和(x′ y′ 1)T，而e(α,β)和e′(e′1, e′2)是圖像1和圖像2的對極點，則過點m和e(α,β)的直線方向為τ1，過點m′和e′(e′1, e′2)的直線方向為τ2［5］，其中
 (14)
則這2條直線和無窮遠線的2個交點為
y∞=(1,τ1,0)T, y′∞=(1,τ2,0)T. (15) 由于y∞,y′∞同在無窮遠線上，則其坐標分量τ1，τ２可表示為［5］
 (16)
其中參數(shù)a，b，c，d反映了無窮遠線上匹配點之間的一一對應關系.
由于y∞和y′∞為一對匹配點，所以將其代入(2)式可得
 (17)
展開得
f1c(y-e２)+d(x-e1)(x-e1)+f２a(y-e２)+b(x-e1)(x-e1)+
f４c(y-e２)+d(x-e1)(y-e２)+f５a(y-e２)+b(x-e1)(y-e２)=0. (18)
求此不定方程的解集，可得其中一組解為
f1=b, f２=-d, f４＝a, f５=-c. (19)
由此得出，基礎矩陣中剩余的4個參數(shù)f1，f２，f４，f５有非常明確的幾何意義，它就是過對極點e和e′的2個對極線束間的映射關系
(20)
將(18)式寫成矩陣形式，則得
Ef=0, (21)
其中 E=[ee1 ee2 ee3 ee4],
ee1=[c(y-e2)+d(x-e1)](x-e1)
ee3=[c(y-e2)+d(x-e1)](y-e2) | f=[f1 f2 f4f5]T
ee2=[a(y-e2)+b(x-e1)](x-e1)
ee4=[a(y-e2)+b(x-e1)](y-e2), |
鑒于對極點的多解性，就可以利用推導出的2個對極線束間映射關系參數(shù)的約束關系(21)式作為基礎矩陣求解的一個約束條件.
1.3 雙對極點約束
對基礎矩陣估計的單對極點約束而言［6］，雖然在基礎矩陣估計的穩(wěn)定性方面有所提高，但在實際應用中，由基礎矩陣求出的對極點仍然存在不穩(wěn)定現(xiàn)象. 因此，在此推導出一個新的雙對極點約束.
將(13)式代入(1)式，可得一組線性方程
Bf=0 (22)
其中 f=［f1 f2 f4 f5］,
(23) 這里N是匹配點數(shù)，N應不小于4，這里不妨先取N=4，則B為4×4的矩陣，由(2)式知f1 f2 f4 f5不全為零，因此，要使方程 (22) 有非零解，則其系數(shù)矩陣的行列式必為零，即
Det(B)=0. (24) 將（24）式展開，即有一個關于α,β,α′,β′的函數(shù)，并有形式
=1Ki(a1iα2+a2iα+a3i)(b1iβ2+b2iβ+b3i)(c1iα′2+c2iα′+c3i).
(d1iβ′2+d2iβ′+d3i)=0,(25) 其中Ki, aji, bji, cji, dji, j=1,2,3,是一些與點坐標有關的標量.
由此得到了一個關于參數(shù)α,β,α′,β′的約束(25)式，即為基礎矩陣的雙對極點約束.
1.4 估計對極點
上面已給出了關于雙對極點的坐標的幾何約束，現(xiàn)在就利用它來估計對極點e, e′的位置，即利用它先求出F陣的4個參數(shù)α, β, α′, β′. 首先將(23)式中B矩陣的行向量定義為 Bi(α,β,α′,β′)=
［(xi-α)(x′i -α′)(xi-α)(y′i-β′)(yi-β)(x′i-α′)(yi-β)(y′i-β′)］，
i=1,2,...,N, (26)
B=［B1 B2...BN]T.
由(22)式，上式中的參數(shù)α,β,α′,β′應滿足下列方程組：
Bijkl=Det（[Bi Bj Bk Bl]T=0 (27) 其中［ijkl］是整數(shù)序列的［1 2...N］的一個線性組合，并且共有個組合數(shù). 因此，可以通過求解如下的一個非線性最小化問題來估計對極點：
(28)1.5 F陣的估計的全局最優(yōu)解
由于對應于對極點的參數(shù)(α,β)，(α′,β′)在上節(jié)已獲得，現(xiàn)在只需求出F陣的其余4個參數(shù)f1,f2,f4,f5就完成了F陣的估計.
由(21)和(22)式，要求這2個線性方程組的最小二乘解，即
(29)
需對其(N+i)×4的系數(shù)矩陣作奇異值分解，即令
(30) 則方程組(29)的解就是矩陣D中對應于矩陣V的最小奇異值的那個列向量. 其中i為E陣的行數(shù)，即實際計算中采用的約束方程的個數(shù)，i=1,...,N. 至此得到了F陣的估計，由于非線性問題（25）式的多解性，導致了F陣的解不唯一，因此我們定義一個余差rest為最優(yōu)準則，并認為對應于最小的rest值的F陣即為全局最優(yōu)解［6］. 2 實驗結果
在第1部分的基礎上，我們用雙對極點約束完成了對基礎矩陣的估計，并與改進的8點算法、6點綜合算法做了比較. 在上述算法中對二維圖像點坐標均做了規(guī)一化處理（normalization），但都未采用分層策略（outlier strategy）. 在實驗中利用了許多真實圖像對本方法進行了測試和比較，下面給出實驗結果.
實驗中采用真實圖像的38個原始匹配點對的坐標［6］、人工合成數(shù)據、以及噪聲數(shù)據為幅度為［-5，5］之間的均勻分布的加噪合成數(shù)據. 圖1為改進8點算法用真實圖像數(shù)據的計算結果. 圖2為6點綜合算法用真實圖像數(shù)據的計算結果. 圖3為雙對極點約束法用真實圖像數(shù) |
