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“手拉手”問題，我記得我們?cè)?jīng)談過，今天我們主要探討如何構(gòu)造“手拉手”解決問題，首先我們從課本開始認(rèn)識(shí)一下什么是“手拉手”？ 
上面的三幅圖均取自蘇科版教材，第一幅是八年級(jí)上冊(cè)第21頁的討論，后面兩幅是第36頁的習(xí)題。這三幅圖都有一個(gè)共同點(diǎn)：就是在某個(gè)頂點(diǎn)處存在兩組角相等，我們抽象下來就是如下圖所示。也就是∠BAC、∠B’AC’和∠BAB’、∠CAC’兩組角當(dāng)中有一組角相等，另一組角也相等，這就是很多人總結(jié)的“手拉手”模型，課本上出現(xiàn)多次，說明圖形的確很重要。
 “手拉手”模型在幾何證明中經(jīng)常碰到，初二的全等、初三的相似都與手拉手有千絲萬縷的聯(lián)系。（尋找構(gòu)造? 理解運(yùn)用——從相似基本圖形談起（4）、讓你生無可戀的中考?jí)狠S大題——知識(shí)遷移破解創(chuàng)新題 | 以2020中考試題分析為例2）我們今天主要來談一下構(gòu)造手拉手的問題。在構(gòu)造之前我們先看一個(gè)不需要構(gòu)造的題目。  例題1 如圖，AB=AC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∠CDB＝30°．求證：
分析： 從條件和圖形入手，我們看到“手拉手”模型，得到△ABD≌△CBE，從結(jié)論入手，我們需要構(gòu)造直角三角形。結(jié)合題目中給出的30°、60°，我想很多同學(xué)就應(yīng)該清楚如何構(gòu)造直角三角形了，只需要將30°、60°放入一個(gè)三角形中就行了。
解答：
我們來看一個(gè)變式： 如圖，四邊形ABCD中，連接AC，BD，△ABC是等邊三角形，∠ADC=30°，并且AD=3,BD=5,求CD的長(zhǎng)。
分析： 這個(gè)題從圖形的角度是看不出什么解決方案，根本原因在于圖形隱藏了手拉手的另一半，結(jié)合上一道題，你能發(fā)現(xiàn)它的解決方案嗎？ BC＝AC可以作為全等三角形的一組對(duì)應(yīng)邊出現(xiàn)，所以我們應(yīng)該在頂點(diǎn)C處構(gòu)造一個(gè)三角形和△BCD全等。
解答：
反思： 綜合看前面兩個(gè)例題，第二題很明顯是第一題的一個(gè)變式，第一題有明顯的兩個(gè)等邊三角形，而第二題圖形上只有一個(gè)等邊三角形，隱藏了另一個(gè)等邊三角形。我們?cè)谧鲱}的過程中如果能發(fā)現(xiàn)出題者刻意隱藏的圖形，就能快速地解決問題。 我們還可以做如下變式： 如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，BD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°，試求CD的長(zhǎng).
分析： 上一題的構(gòu)造利用了等邊三角形一組相等的邊為對(duì)應(yīng)邊，這個(gè)圖形中有AC=AB也可以作為一組對(duì)應(yīng)邊出現(xiàn)，所以我們應(yīng)該在直角頂點(diǎn)A處構(gòu)造一個(gè)手拉手，得到△ACD≌△BAE，從而在圖中構(gòu)造出一個(gè)直角三角形BDE求解就行了。
解答：
 上述兩題是通過“手拉手”構(gòu)造三角形全等進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化，然后利用直角三角形勾股定理求線段的長(zhǎng)。有時(shí)候我們也可以通過構(gòu)造“手拉手”來求線段的最值。 例題： 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為２，E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以DE為邊作等邊△DEF，連接AF，求AF的最小值．
分析： 這道題在班級(jí)講解的時(shí)候，很多學(xué)生說：“老師，這就是上次你講的定斜邊求最值啊，很簡(jiǎn)單的。”仔細(xì)分析我們可以發(fā)現(xiàn)這道題根本不是定斜邊的直角三角形，因?yàn)镈E的長(zhǎng)此時(shí)不是一個(gè)定值。排除了這種做法后還可以朝什么角度去思考呢？我們知道最小值除了構(gòu)造三角形兩邊之差大于第三邊（兩點(diǎn)之間線段最短）之外，其實(shí)還有一種情況，垂線段最短。我們可以試著尋找當(dāng)點(diǎn)E在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F是否在一條直線上，或者將定點(diǎn)A到動(dòng)點(diǎn)F的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為另一個(gè)定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)E的長(zhǎng)度來思考。這樣考慮我們就有可能想到構(gòu)造“手拉手”利用全等將線段AF進(jìn)行轉(zhuǎn)化了。
解答：
反思： （1）為什么要連接AG？其實(shí)可以不連接AG。連接AG的目的是方便大家看出等邊△ADG，這樣我們可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)的“手拉手”就是在點(diǎn)D處共點(diǎn)的兩個(gè)等邊三角形； （2）為什么在點(diǎn)D處構(gòu)造“手拉手”，而不在點(diǎn)E、點(diǎn)F處構(gòu)造？其實(shí)在點(diǎn)E、點(diǎn)F處構(gòu)造也能做，如下面三幅圖所示。但因?yàn)辄c(diǎn)E、F是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是一個(gè)固定點(diǎn)，構(gòu)造應(yīng)該盡量在固定點(diǎn)構(gòu)造，不要在動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造，這樣圖形容易確定。（下面的三種做法怎樣解釋大家自己思考一下）
通過對(duì)上面這道題的思考，我們發(fā)現(xiàn)構(gòu)造仍然是利用等邊三角形進(jìn)行的，不過就算是求最值也少不了利用等腰直角三角形構(gòu)造。 例題： 如圖，點(diǎn) C 為線段 AB 的中點(diǎn)，E 為直線 AB 上方的一點(diǎn)，且滿足 CE=CB，連接 AE，以 AE 為腰，A 為頂角頂點(diǎn)作等腰 Rt△ADE，連接 CD，當(dāng) CD 最大時(shí)，求∠DEC 的度數(shù)。
分析： 我們首先要找到CD最大的位置，才能去考慮求∠DEC的度數(shù)。那么CD什么時(shí)候最大呢？假設(shè)AC＝CE＝BC＝１，我們首先試著求出CD的最大值。如下圖所示，考慮△ADE是等腰直角三角形，我們可以構(gòu)造△ADF≌△ACE，這樣可以發(fā)現(xiàn)CD的最大值為
解答：
通過上面的幾個(gè)例題，大家有沒有發(fā)現(xiàn)什么時(shí)候可能構(gòu)造“手拉手”來解決問題呢？私以為在現(xiàn)階段必須是在有60°、90°的角的位置才可以構(gòu)造，因?yàn)?0°的等邊三角形、90°的等腰直角三角形都可利用線段相等構(gòu)造全等來進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化。當(dāng)然等我們學(xué)習(xí)了相似之后就會(huì)出現(xiàn)利用其他角構(gòu)造的例子，等到初三我們?cè)僖黄饋韺W(xué)習(xí)。 |
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