小時(shí)候喜歡坐過(guò)山車(chē)，每次坐的時(shí)候總想著能不能再快一點(diǎn)， 要是更快從最高處滑下來(lái)就更爽了。后來(lái)發(fā)現(xiàn)早在17世紀(jì)，約翰·伯努利（雅各比·伯努利的弟弟，歐拉的老師）就曾研究過(guò)類(lèi)似問(wèn)題。他在1696年6月號(hào)的《教師學(xué)報(bào)》上提出向全歐洲數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)的題目：設(shè)不在同一鉛垂線上的兩點(diǎn)A與B，使一質(zhì)點(diǎn)只在重力的影響下從A滑向B，不計(jì)摩擦和空氣阻力，哪條途徑所需時(shí)間最短呢？直覺(jué)上或許會(huì)認(rèn)為直線段AB是耗時(shí)最短的路徑，但實(shí)際上距離確實(shí)是最短耗時(shí)卻不一定；而且似乎讓曲線前半段更陡一點(diǎn)，積攢一點(diǎn)“沖勁”會(huì)有利于更快滑落，那如何在“更短”和“更陡”之間尋找平衡呢？
我們以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)曲線為y = y(x)，則在機(jī)械能守恒下速度可表示為
其中g(shù)是重力加速度，這里我們?cè)僭O(shè)s 表示曲線弧長(zhǎng)，則由 知：
結(jié)合邊界條件 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求y(x) 的具體形式使上式取最小值，是個(gè)泛函的極值問(wèn)題。
這里不直接代入歐拉-拉格朗日方程，而是用變分法重新推導(dǎo)出來(lái)，記
其中，積分第二項(xiàng)由變分的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合分部積分：
由于變分的任意性，則要求：
伽利略在《論兩種新科學(xué)》給出的答案是圓弧，而現(xiàn)在利用我們小大學(xué)二年級(jí)學(xué)過(guò)的變分法很容易就知道圓弧是錯(cuò)誤的，正確答案是擺線（旋輪線），曲線參數(shù)方程可寫(xiě)為：
其中r 是滾輪的半徑，θ 是滾輪滾過(guò)的角度。而約翰·伯努利本人的解法更驚艷，他基于費(fèi)馬原理：一束光從A點(diǎn)傳播到B點(diǎn)總是沿著盡可能快的路徑（唯一一條）。因此原問(wèn)題可以想象為一束光在不同折射率的介質(zhì)中傳播，介質(zhì)再連續(xù)的變化，即光以不同的速度連續(xù)地沿著滑道向下走，每個(gè)瞬間都遵循可由費(fèi)馬原理導(dǎo)出的斯涅耳定律（光的折射定律）：
約翰·伯努利一眼看出上式就是擺線，但是對(duì)于我們普通人來(lái)說(shuō)卻并不顯然，這里我們利用速度瞬心C得到CP總是垂直于速度方向，即軌跡切線垂直于CP，又結(jié)合圖中的角度關(guān)系可以獲得幾何關(guān)系
其中D是滾輪的直徑，便可以輕易看出導(dǎo)出的方程對(duì)應(yīng)的軌跡是擺線，對(duì)應(yīng)的常數(shù)即為。擺線在生活中其實(shí)也非常常見(jiàn)，除了過(guò)山車(chē)的設(shè)計(jì)采用外，我國(guó)古代建筑的屋頂形狀，從側(cè)面看也近似于擺線，除了線條柔和更加優(yōu)雅外，在遇到大暴雨時(shí)也能更快排水減輕屋頂負(fù)擔(dān)，在清理時(shí)也更便于沖刷。此外擺線還具有等時(shí)性，從不同高度下落至最低點(diǎn)所需的時(shí)間是一樣，即無(wú)論物體在曲線的哪個(gè)位置上，它們都會(huì)經(jīng)過(guò)相同的時(shí)間滑落到水平位置，利用這個(gè)性質(zhì)我們可以制作出不受擺幅影響的擺鐘。以后開(kāi)擺的時(shí)候別躺平不動(dòng)了，還是多想想擺線的性質(zhì)吧。1、梁昆淼, 俞超, 馬光群修訂. 力學(xué).下冊(cè),理論力學(xué)[M]. 高等教育出版社, 1995. 2、 https://www.bilibili.com/video/BV18s411t7mD？spm_id_from=333.880&vd_source=6fd5e3c1d8f12a06c697365e8e7b8aae 3、 https://baijiahao.baidu.com/s?id=1664497478826195131&wfr=spider&for=pc 4、https://baike.baidu.com/item/%E6%91%86%E7%BA%BF?fromtitle=%E6%9C%80%E9%80%9F%E9%99%8D%E7%BA%BF&fromid=8064682
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