該結(jié)果可以幫助研究人員回答一個(gè)更大的問題，即將物體從第四維展平到第三維?！?譯自Quanta Magazine量子雜志

作者：Rachel Crowell 2022-4-4 譯者：zzllrr小樂 2022-4-5

計(jì)算機(jī)科學(xué)家埃里克·德梅因（Erik Demaine）和他的藝術(shù)家及計(jì)算機(jī)科學(xué)家父親馬丁·德梅因（ Martin Demaine）多年來一直在推動(dòng)折紙的極限。他們錯(cuò)綜復(fù)雜的折紙雕塑是現(xiàn)代藝術(shù)博物館永久收藏的一部分。而十年前，他們在 PBS（美國公共電視網(wǎng)） 播出的一部關(guān)于這種藝術(shù)形式的紀(jì)錄片中，是主演藝術(shù)家。

父子倆在 Erik 6 歲時(shí)開始合作?！拔覀冇幸患颐麨?Erik and Dad Puzzle Company 的公司，為加拿大各地的玩具店制作和銷售拼圖，”現(xiàn)任麻省理工學(xué)院教授 Erik Demaine 說。

Erik Demaine 從父親那里學(xué)習(xí)了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和視覺藝術(shù)，但最終教給了 Martin 高等數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)?！艾F(xiàn)在我們既是藝術(shù)家又是數(shù)學(xué)家/計(jì)算機(jī)科學(xué)家，”Erik Demaine 說?！拔覀冊谠S多項(xiàng)目上進(jìn)行合作，尤其是那些跨越所有這些學(xué)科的項(xiàng)目?！?/p>

他們最新的工作，將合作推向了一個(gè)新的極限，是一個(gè)數(shù)學(xué)證明：一個(gè)形狀在被折出無窮多折痕后坍縮的領(lǐng)域。這是一個(gè)他們剛開始也很難接受的觀念。

“我們爭論了一會兒，比如，'這是合規(guī)的嗎？這是真實(shí)的東西嗎？’ ” Erik Demaine說。他與麻省理工學(xué)院的Martin Demaine和扎卡里·阿貝爾（Zachary Abel）、杉山女學(xué)園大學(xué)的伊藤仁一（Jin-ichi Itoh）、新加坡國立大學(xué)的賈森·古（Jason Ku）、明治大學(xué)的奈良智惠（Chie Nara）和滑鐵盧大學(xué)的杰森·林奇（Jayson Lynch）是合作者。

這項(xiàng)新成果于去年 5 月在線發(fā)表并于 10 月發(fā)表在《計(jì)算幾何》雜志上，回答了 Demaine父子倆在 2001 年與 Erik 的博士生導(dǎo)師、滑鐵盧大學(xué)的Anna Lubiw一起提出的問題。他們想知道是否有可能采用任何有限的多面體（或平面）形狀（如立方體，而不是球體或無限平面）并使用折痕將其折疊平整。

切割或撕裂形狀，是不允許的。此外，必須保留形狀的固有距離?！斑@只是一種奇特的說法，'你不能拉伸（或收縮）材料，' ”Erik Demaine說。他指出，這種類型的折疊還必須避免交叉，這意味著“我們不希望紙張通過自身”，因?yàn)檫@在現(xiàn)實(shí)世界中不會發(fā)生。他補(bǔ)充說，“當(dāng)一切都在 3維（空間）中連續(xù)移動(dòng)時(shí)，滿足這一限制尤其具有挑戰(zhàn)性”?？傊@些約束條件意味著簡單地?cái)D壓形狀是行不通的。

他們的證明表明，只要采用無限折痕策略，就可以完成這種折疊，但它始于同樣的四位作者在2015 年的一篇論文中介紹的更實(shí)際的技術(shù)（論文鏈接https:///papers/FlatteningOrthogonal_JCDCGG2015full/paper.pdf）。

在那篇論文中，他們研究了一類更簡單形狀的折疊問題：正交多面體，其面以直角相交并至少垂直于x、y和z坐標(biāo)軸中的一個(gè)。滿足這些條件會迫使形狀的面都成為矩形，這使得折疊更簡單，就像折疊冰箱盒一樣。

“這是一個(gè)相對容易理解的案例，因?yàn)槊總€(gè)角落看起來都一樣。這只是兩個(gè)垂直相交的平面，”Erik Demaine 說。

Martin（左二） 和 Erik Demaine（左三）的父子團(tuán)隊(duì)在拼圖、藝術(shù)和折紙項(xiàng)目上長期合作。十多年前，他們與莎拉·艾森斯塔特（Sarah Eisenstat，左一）和安德魯·溫斯洛（Andrew Winslow，右一）合作，尋找魔方上的方格數(shù)與解決該魔方所需的移動(dòng)次數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

多米尼克路透社/麻省理工學(xué)院

在 2015 年取得成功后，研究人員開始使用他們的展平技術(shù)來處理所有有限多面體。這種變化使問題變得更加復(fù)雜。這是因?yàn)閷τ诜钦欢嗝骟w，面可能具有三角形或梯形的形狀——適用于冰箱盒子的相同折痕策略不適用于棱錐體。

特別是，對于非正交多面體，任何有限數(shù)量的折痕總是會產(chǎn)生一些在同一頂點(diǎn)相交的折痕。

“這搞砸了我們的 [折疊] 小工具，”Erik Demaine 說。

他們考慮了不同的方法來規(guī)避這個(gè)問題。他們的探索使他們找到了一種技術(shù)，當(dāng)你嘗試將一個(gè)特別是非凸面的物體展平時(shí)，該技術(shù)就得到了說明：立方體晶格，它是一種三維的無限網(wǎng)格。在立方體晶格的每個(gè)頂點(diǎn)處，許多面相交并共享一條邊，這使得在這些點(diǎn)中的任何一處實(shí)現(xiàn)展平成為一項(xiàng)艱巨的任務(wù)。

“實(shí)際上，你不一定認(rèn)為你可以，”Ku 說。

但考慮到如何使這種著名的具有挑戰(zhàn)性的交叉點(diǎn)變平，研究人員找到了最終為證明提供動(dòng)力的技術(shù)。Ku說，首先，他們尋找了一個(gè)“遠(yuǎn)離頂點(diǎn)的任何可以展平”的地方。然后他們找到了另一個(gè)可以展平的點(diǎn)，并不斷重復(fù)這個(gè)過程，從而接近有問題的頂點(diǎn)，并在接近時(shí)將更多的形狀放平。

如果他們在任何時(shí)候停下來，他們會有更多的工作要做，但他們可以證明，如果這個(gè)程序永遠(yuǎn)持續(xù)下去，他們可以逃避這個(gè)問題。

“當(dāng)你到達(dá)這些有問題的頂點(diǎn)之一時(shí)，在采取越來越小的切片的限制下，我將能夠展平每個(gè)切片，”Ku 說。Erik Demaine 說，在這種情況下，切片并不是實(shí)際的切割，而是用于想象將形狀分解成更小塊并將其壓平的概念性切片?！叭缓笪覀冊诟拍钌蠈⑦@些解 '粘合’ 在一起，以獲得原始表面的解。”

研究人員將同樣的方法應(yīng)用于所有非正交多面體。通過從有限的“概念”切片移動(dòng)到無限的“概念”切片，他們創(chuàng)建了一個(gè)程序，達(dá)到數(shù)學(xué)極限化，產(chǎn)生了他們正在尋找的扁平對象。結(jié)果以一種令其他參與該問題的研究人員感到驚訝的方式解決了這個(gè)問題。

“我甚至從未想過要使用無限數(shù)量的折痕，”史密斯學(xué)院的計(jì)算機(jī)科學(xué)家和數(shù)學(xué)家約瑟夫·奧羅克 ( Joseph O'Rourke ) 說，他一直在研究這個(gè)問題?！八麄円苑浅Ｂ斆鞯姆绞礁淖兞藰?gòu)成解的標(biāo)準(zhǔn)?！?/p>

對于數(shù)學(xué)家來說，新證明提出的問題與它所回答的問題一樣多。一方面，他們?nèi)匀幌胫朗欠窨梢杂糜邢薜恼酆蹃韷浩蕉嗝骟w。Erik Demaine 是這么認(rèn)為的，但他的樂觀是基于一種預(yù)感。

“我一直覺得這應(yīng)該是可能的，”他說。

這項(xiàng)工作成果是一個(gè)有趣的令人好奇之物，但它可能對其他幾何問題產(chǎn)生更廣泛的影響。例如，Erik Demaine 有興趣嘗試將他團(tuán)隊(duì)的無限折疊方法應(yīng)用于更抽象的形狀。O'Rourke 最近建議該團(tuán)隊(duì)調(diào)查他們是否可以使用它來將四維對象扁平化為三維。這個(gè)想法在幾年前可能看起來有些牽強(qiáng)，但無限折疊已經(jīng)產(chǎn)生了一個(gè)令人驚訝的結(jié)果。也許它還可以產(chǎn)生另一個(gè)。

“同樣的方法可能會奏效，”Erik Demaine 說?！斑@絕對是一個(gè)有待探索的方向?！?/p>