計(jì)算機(jī)科學(xué)家 Erik Demaine 和他的藝術(shù)家兼計(jì)算機(jī)科學(xué)家父親 Martin Demaine 多年來一直在挑戰(zhàn)折紙的極限。他們復(fù)雜的折紙雕塑被紐約現(xiàn)代藝術(shù)博物館永久收藏。十年前，PBS 還播出了一部以他們?yōu)橹鹘堑乃囆g(shù)紀(jì)錄片。 這對搭檔在 Erik 6 歲時(shí)開始合作，如今，Erik 已經(jīng)成為了麻省理工學(xué)院的教授。他說，「我們有一家名為 Erik and Dad Puzzle Company 的公司，這家公司制作并向加拿大的玩具店銷售拼圖。」 Erik 從他父親那里學(xué)到了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和視覺藝術(shù)，但 Martin 也從兒子那里學(xué)到了高等數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)。「現(xiàn)在我們都是藝術(shù)家和數(shù)學(xué)家 / 計(jì)算機(jī)科學(xué)家了，」 Erik 說，「我們合作了很多項(xiàng)目，尤其是那些跨越很多學(xué)科的項(xiàng)目?！?/span> 他們的最新成果是一項(xiàng)數(shù)學(xué)證明，去年 10 月份發(fā)表在《Computational Geometry》雜志上。 論文鏈接：https://www./science/article/abs/pii/S0925772121000298 在這篇題為《使用可數(shù)無限折痕對所有多面體流形進(jìn)行連續(xù)展平》的論文中，Erik 等人表示，他們證明了，如果擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)折疊模型以允許可數(shù)無限折痕出現(xiàn)，則可以將 3D 中的任何有限多面體流形連續(xù)平展為 2D，同時(shí)保留固有距離并避免交叉。 這一結(jié)果回答了 Demaine 父子和 Erik 博導(dǎo) Anna Lubiw 2001 年提出的一個(gè)問題。他們想知道是否有可能取任何有限多面體（或 flat-sided）形狀（比如立方體，而不是球體或無限大的平面)，然后用折痕將其折平。 當(dāng)然，你不能將形狀剪開或撕裂。此外，形狀的固有距離還要保持不變，「也就是說，『你不能拉伸或收縮這個(gè)材料』，」Erik 說。而且他指出，這種類型的折疊還必須避免交叉，這意味著「我們不希望紙張穿過自己」，因?yàn)檫@在現(xiàn)實(shí)世界中不會(huì)發(fā)生?！府?dāng)所有東西都在 3D 中連續(xù)移動(dòng)時(shí)，滿足這些限制將非常具有挑戰(zhàn)性」。綜上所述，這些約束意味著簡單地?cái)D壓形狀是行不通的。 Erik 父子等人的研究表明，你可以完成這種折疊，但前提是使用無限折疊策略。不過在此之前，幾位作者在 2015 年發(fā)表的一篇論文中也提出了另一項(xiàng)實(shí)用技術(shù)。 論文鏈接：https:///papers/FlatteningOrthogonal_JCDCGG2015full/paper.pdf 在這篇論文中，他們研究了一類更簡單的形狀的折疊問題：正交多面體，其面以直角相交，并且垂直于 x、y 和 z 坐標(biāo)軸中的至少一個(gè)。滿足這些條件會(huì)強(qiáng)制形狀的面為矩形，這使得折疊更簡單，就像折疊冰箱盒一樣。 「這種情況比較容易算出，因?yàn)槊總€(gè)角看起來都一樣。這只不過是兩個(gè)面垂直相交而已?！笶rik 說到。 2015 年取得成功后，研究人員開始使用這種展平技術(shù)來處理所有有限多面體。然而，非正交多面體的面可能是三角形或梯形，適用于冰箱盒子的折痕策略不適用于棱錐體。并且對于非正交多面體來說，任何有限數(shù)量的折痕總是產(chǎn)生一些在同一個(gè)頂點(diǎn)相交的折痕。 因此 Erik 等人考慮使用其他方法來規(guī)避這個(gè)問題。經(jīng)過一番探索，他們找到了一種解決非凸面物體展平問題的方法——立方體晶格（cube lattice），它是一種三維的無限網(wǎng)格。在立方體晶格的每個(gè)頂點(diǎn)處，有許多面相交并共享一條邊，這使得在任何一個(gè)頂點(diǎn)處實(shí)現(xiàn)展平都是非常困難的。 但研究人員最終還是找到了解決方案。首先，他們找到一個(gè)「遠(yuǎn)離頂點(diǎn)」且可以展平的點(diǎn)，然后再找到另一個(gè)可以展平的點(diǎn)，不斷重復(fù)這個(gè)過程，靠近有問題的頂點(diǎn)，并在移動(dòng)時(shí)將更多的位置展平。 這個(gè)過程需要一直持續(xù)下去，一旦間斷，就會(huì)有更多問題需要解決。本文作者之一、新加坡國立大學(xué)的 Jason Ku 表示：「在有問題的頂點(diǎn)附近，利用讓切片越來越小的方法將能夠展平每個(gè)切片?！?/span> 「在這種情況下，切片并不是實(shí)際的切割，而是用于想象將形狀分解成更小塊并將其展平的概念性切片。然后我們在概念上將這些小切片『粘合』在一起，以獲得原始表面?！笶rik Demaine 說道。 研究人員將同樣的方法應(yīng)用于所有非正交多面體。通過從有限的「概念」切片遷移到無限的「概念」切片，他們根據(jù)數(shù)學(xué)上極限的思想創(chuàng)建了一個(gè)程序，得到了展開的平面，解決了最初的問題。 美國史密斯學(xué)院的計(jì)算機(jī)科學(xué)家和數(shù)學(xué)家 Joseph O'Rourke 稱贊道：「我從來沒有想過要用無限的折痕，他們以非常聰明的方式改變了構(gòu)成解決方案的標(biāo)準(zhǔn)?！?/span> Erik Demaine 嘗試將這種無限折疊的方法應(yīng)用于更抽象的形狀。O'Rourke 最近建議使用該方法將四維對象扁平化成三維。同時(shí)，Erik Demaine 表示他們?nèi)匀幌胩剿魇欠窨梢杂糜邢薜恼酆蹃碚蛊蕉嗝骟w，并樂觀地相信這是可能的。 在計(jì)算機(jī)上玩折紙的神童 說 Erik Demiane 是神童一點(diǎn)也不為過。他 12 歲到加拿大讀書，14 歲拿到學(xué)士學(xué)位提前畢業(yè)。20 歲在 MIT 任教，21 歲就成為教授，23 歲在滑鐵盧大學(xué)發(fā)表博士論文，并獲得加拿大「總督金牌」和 NSERC 博士獎(jiǎng)學(xué)金，同年拿到麥克阿瑟獎(jiǎng)。 而 12 歲之前，Erik 是在家里由自己的父親 Martin Demaine 教學(xué)文化知識(shí)。盡管 Martin 只有高中學(xué)歷，但他卻是知名的藝術(shù)家和數(shù)學(xué)家。 Erik 的主要研究方向就是折紙算法和計(jì)算理論，現(xiàn)在和他的父親 Martin 一起在 MIT 任教。他們在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行大量的算法模擬，仿真折紙的過程，并基于此設(shè)計(jì)真實(shí)世界中的折紙藝術(shù)品。同時(shí)，通過創(chuàng)作折紙藝術(shù)品，Erik Demiane 能夠反推改進(jìn)算法，改進(jìn)的算法又進(jìn)一步激發(fā)折紙藝術(shù)創(chuàng)作，從而形成一個(gè)現(xiàn)實(shí) - 虛擬，算法 - 藝術(shù)的循環(huán)。 參考鏈接：https://www./father-son-team-solves-geometry-problem-with-infinite-folds-20220404/https://www./paper/1386871662666866688/thttp://www./mobile.php?m=index&a=appDetails&id=28655
