謝賢祖

(華南師大附中汕尾學(xué)校 516600)

摘 要：復(fù)數(shù)一直是高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽和自主招生數(shù)學(xué)考試中的命題熱點(diǎn)，其中模長(zhǎng)問(wèn)題又是歷年考查的重點(diǎn).而復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)與共軛復(fù)數(shù)聯(lián)系緊密，經(jīng)常聯(lián)袂出演，利用共軛復(fù)數(shù)解題可以起到四兩撥千斤的效果.復(fù)數(shù)的三角形式也進(jìn)入了新教材，用三角形式解題可以減少計(jì)算量，洞悉題目本質(zhì).

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)；共軛；模長(zhǎng)；三角形式

一、源于教材，高于教材

在原來(lái)的舊教材人教A版選修2-2中，對(duì)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)與共軛提及甚少，只是簡(jiǎn)單的介紹，不太重視.而在2019年人教A版第二冊(cè)中，復(fù)數(shù)的地位得到提升，不僅給出了求復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的訓(xùn)練題，還給出了與數(shù)形結(jié)合有關(guān)的思考題；在2019年全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)試卷中，選擇題第2題復(fù)數(shù)也改變了以往的常規(guī)考法，創(chuàng)新了命題方式，2020年的全國(guó)Ⅰ卷理科15題也是.具體題目展示如下，由于題目簡(jiǎn)單，詳細(xì)解答略.

例1 (2017人教A版第二冊(cè)72頁(yè))在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？(1)|z|=1;(2)1<|z|<2.

例2 (2019全國(guó)Ⅰ卷第2題)z滿(mǎn)足|z-i|=1，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y)，則( ).

A．(x+1)2+y2=1 B．(x-1)2+y2=1

C．x2+(y-1)2=1 D．x2+(y+1)2=1

在新教材2019年人教A版第二冊(cè)中則增加了復(fù)數(shù)的三角表示，而且內(nèi)容詳實(shí)，“三角表示”本是競(jìng)賽數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如今也漸漸走入教材，無(wú)不凸顯復(fù)數(shù)地位的提升. 復(fù)數(shù)本身就是溝通向量與三角函數(shù)的重要載體，所以對(duì)其進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，無(wú)論是對(duì)自招與競(jìng)賽考試而言，還是對(duì)有志參加強(qiáng)基計(jì)劃的學(xué)生來(lái)說(shuō)，都是大有裨益. 如果只是應(yīng)對(duì)高考，課本知識(shí)足矣.但要應(yīng)對(duì)更難的題目還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.下面補(bǔ)充一些課本未曾提及的復(fù)數(shù)模長(zhǎng)與共軛的性質(zhì).

二、共軛復(fù)數(shù)的重要性質(zhì)

是實(shí)數(shù)是純虛數(shù)

三、自主招生與競(jìng)賽真題解析

例3 (2019中科大)是純虛數(shù)，則|z2+z+3|的最小值是____.

點(diǎn)評(píng) 主動(dòng)借助共軛復(fù)數(shù)去做題，看到純虛數(shù)要想到利用看到模長(zhǎng)想到借助性質(zhì)這樣可以巧妙化簡(jiǎn)，簡(jiǎn)化計(jì)算.用同樣的方法可以解決下面的例4，詳細(xì)解答略.

例4 (2020江蘇預(yù)賽)是純虛數(shù)，則|z2-z+2|的最小值是____.

答案：

例5 (2017北大)是實(shí)數(shù)，則|z+i|的最小值是____.

解析或|z|2=2，若則z∈R，且z≠0，所以若|z|2=2，則在復(fù)平面內(nèi)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上.而|z+i|=|z-(-i)|則表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(0，-1)的距離，畫(huà)圖分析易知該距離的最小值為綜上所述 ，|z+i|的最小值是

總結(jié) 看到一個(gè)“復(fù)數(shù)式”為實(shí)數(shù)，就利用去化簡(jiǎn)分析.此題要特別注意分類(lèi)討論避免考慮不周.最后借助數(shù)形結(jié)合思想求最值是圓的最值問(wèn)題中的常規(guī)題型，屬于高考范圍內(nèi)的要求.

例6 (2020浙江高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|=1，則當(dāng)|1+z+3z2+z3+z4|取得最小值時(shí)，復(fù)數(shù)z=____.

解析 若使用對(duì)此題而言，計(jì)算量極大，下面轉(zhuǎn)化思路.借助|z|=1可得繼續(xù)變形，易知同理設(shè)z=cosθ+isinθ，則所以所以原式=|2cosθ+2cos2θ+3|=|4cos2θ+2cosθ+1|，當(dāng)時(shí)，原式取最小值，此時(shí)復(fù)數(shù)

總結(jié) 看到復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1，想到設(shè)復(fù)數(shù)的三角形式，想到該復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)互為倒數(shù)，即筆者發(fā)現(xiàn)這些解題經(jīng)驗(yàn)，屢試不爽.此題還用到下列結(jié)論，也是要重點(diǎn)總結(jié)的.那就是本題是屬于逆用公式.最后將原式化簡(jiǎn)成了結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)的從而實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化，極大的簡(jiǎn)化計(jì)算.下面再看運(yùn)用復(fù)數(shù)三角形式解題的例子.

例7 (2020新疆高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|=1，則|1+iz+z|的最小值為_(kāi)___.

解析 設(shè)z=cosθ+isinθ，則所以

例8 (2016北大博雅計(jì)劃)設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，a,c≠0，方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為x1，x2，若為實(shí)數(shù)，則____.

解析 虛根總是成對(duì)存在的，而且互為共軛，即看到為實(shí)數(shù)，從而想到令x1=|x1|·(cosθ+isinθ)，則|x1|3·(cos3θ+isin3θ)=0.

因此所以令發(fā)現(xiàn)ω3=1.所以原式

總結(jié) 本題綜合性強(qiáng)，用到了很多豐富的結(jié)論，現(xiàn)總結(jié)如下.

(1)實(shí)系數(shù)一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的“虛根成對(duì)”，這是舊版教材和新教材都有介紹的知識(shí)，值得重視.

(2)形如的分式型復(fù)數(shù)可以采取上下同乘共軛來(lái)實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)的目的.

(3)本題還用到了常見(jiàn)結(jié)論：1-ωn=(1-ω)(1+ω+…+ωn-1)

(4)看到為單位復(fù)數(shù)，先思考它是幾次單位根，再用之解題可以“四兩撥千斤”.

(5)棣莫佛定理[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)也是重點(diǎn)公式.

復(fù)數(shù)的三角形式已經(jīng)進(jìn)入新教材，高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查難度也發(fā)生變化，未來(lái)復(fù)數(shù)在高考、自主招生、各類(lèi)競(jìng)賽中的地位會(huì)越來(lái)越高，值得我們重視.本文主要展示共軛與模長(zhǎng)的“聯(lián)袂”解題以及復(fù)數(shù)三角形式的應(yīng)用，而復(fù)數(shù)是溝通三角函數(shù)和向量的重要載體，它所包含的知識(shí)和性質(zhì)數(shù)不勝數(shù)，筆者的研究只是冰山一角，還需砥礪前行繼續(xù)研究，希望對(duì)讀者有所幫助，文中若有不正之處，還望同行批評(píng)指正.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉詩(shī)雄.奧數(shù)教程高中第二分冊(cè)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2018.

[2]章建躍.普通高中標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)人教A版第二冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，2017.

作者簡(jiǎn)介：謝賢祖(1992.1-)，男，廣東省汕頭人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.