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有趣的是，ω + 1不一定比ω大，它只是排在后面。這有點(diǎn)難以接受，以下是我們應(yīng)該知道的：
阿列夫零只是眾多“阿列夫”中的第一個。 無窮∞ 這更像是一個想法或概念，而不是一個數(shù)字。這個符號通常被稱為無窮∞。在討論無窮大的特性和有趣的事實(shí)之前，有一件重要的事情是，數(shù)字π被認(rèn)為是無窮大的一種形式。這里我們指的是點(diǎn)3.14159之后的數(shù)字范圍……這就是為什么無窮大是一個概念，而不是我們能夠量化的東西。另一個例子來自于美麗的分形領(lǐng)域。以簡單的科赫雪花為例，它可以細(xì)分為無窮小的相同形狀的雪花。
有趣的是，當(dāng)我們想到無窮大時，我們想象的是一個不斷增長的度量，但它并沒有膨脹變大。 讓我們來討論兩個與無限相關(guān)的簡單話題。 0.99999 = 1嗎？ 很自然地，0.99999有無窮多個9，我們知道它等于1。用代數(shù)方法證明它也是可能的： 如果X = 0.9999，那么 10 x = 9.9999 如果兩邊同時減去X，就得到 9x = 9.9999 -0.9999 9 x = 9 兩邊除以9 得到，X = 1 奇怪，是吧？ ∞-∞= 0嗎？ 任何數(shù)字減去自身都是零。但無窮大不是一個數(shù)字。因此，讓我們嘗試一個測試： 假設(shè)，∞-∞= 0 ∞-∞+ 1= 0 + 1 #兩邊同時加1 ∞-∞= 1 #知道∞+ 1 =∞，我們可以化簡方程 剩下的是另一個結(jié)果。通過這個方法，我們可以得到∞-∞等于我們想要的任何數(shù)。因此，∞-∞的答案是沒有定義的。 最后，我們還被告誡任何數(shù)都不能除以0。老師告訴我們1 / 0 = Undefined。直觀地考慮一下，如果0個人除以1個蘋果，需要多少人來覆蓋整個蘋果？自然地，它是一種永不崩潰的無限形式。 原來，1 / 0 =∞。為什么我們被教導(dǎo)結(jié)果是沒有定義的呢？很簡單，當(dāng)1 除以一個無限小的正數(shù)趨于無窮時，很容易假設(shè)1 / 0 =∞。這里，無窮是正無窮。如果我們?nèi)≮吔?的小負(fù)數(shù)，我們也可以假設(shè)1 / 0 = -∞。那么，到底是哪一個呢？是1 / 0 =∞還是1 / 0 = -∞？答案是沒有定義的。 下面是無窮的運(yùn)算：
i i指的是虛數(shù)。虛數(shù)的定義是它的平方是一個負(fù)數(shù)。我們知道兩個相同符號的數(shù)字相乘總是會得到正的結(jié)果。但這并不能阻止我們創(chuàng)造一個公理，來阻止這些數(shù)字的存在。我們稱它們?yōu)樘摰?，因?yàn)樗鼈儾粦?yīng)該存在。-6的平方根是多少？我們不知道。但數(shù)學(xué)的美妙之處在于，與其他科學(xué)工具不同，你可以假設(shè)事物存在。 虛數(shù)的概念很簡單。我們可以假定它們存在。它們有什么作用？我們可以解一些需要負(fù)數(shù)平方根的方程。這里有一個例子：
我們加上i表示虛數(shù)，使2的2次方等于-4。讓我們來看看一個通常沒有解的簡單方程，看看它是如何用虛數(shù)解出來的:
顯然，x的2次方永遠(yuǎn)不會得到負(fù)數(shù)（在我們的例子中是-1），所以我們假設(shè)答案乘以i。
就像數(shù)字1代表實(shí)數(shù)。虛數(shù)的其他用途是把它們和自然數(shù)結(jié)合成復(fù)數(shù)（例如7i + 12）。 古戈爾（Googol） 古戈爾等于1后面跟100個0，即： 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。 或者是：
大約是70!，即70 x 69 x 68 x 67 x 66 x 65 x 64 x 63 x 62 x 61 x 60 x 59 ....x1。 更復(fù)雜的是，有一個數(shù)字叫做“Googol plex”，它只是“Googol”的10次方，寫法為：
有趣的是，谷歌公司是Googol名字的誤拼。這個數(shù)字主要用于天文研究，如宇宙的大凍結(jié)。 數(shù)字9 這是我最喜歡的數(shù)字，我發(fā)現(xiàn)它在視覺和數(shù)學(xué)上都很漂亮。在幾何學(xué)中，我們往往會發(fā)現(xiàn)它隱藏在很多地方，比如：
下面是圖形和它們的角度。
從左上到下：五邊形，八邊形，十邊形。
同樣，如果我們把9前面的數(shù)相加（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36）。然后，3 + 6 = 9。 把9和它前面的數(shù)字相乘，然后把它們的元素相加，結(jié)果總是9，例如：
這些數(shù)字除以9總是得到相同的數(shù)字，一直重復(fù)到無窮，例如：
數(shù)字73 如果你是《生活大爆炸》的粉絲，那么你一定聽過謝爾頓·庫珀博士說過為什么73是完美的數(shù)字，下面是他的原話： 最好的數(shù)字是73。為什么？73是第21個質(zhì)數(shù)。它的鏡像，37，是第12個質(zhì)數(shù)，是21的的鏡像。而21，是7和3的乘積。 在二進(jìn)制中，73是回文“1001001”，倒著也是是1001001。 這些話出自《生活大爆炸》第四季第十集，而這一集恰好是該劇的第73集（也是飾演謝耳朵的男演員吉姆·帕森斯出生的那一年）。 歐拉數(shù) e以萊昂哈德·歐拉的名字命名，是一個無理數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)。已知?dú)W拉數(shù)的精度約為1萬億位?？捎梢韵鹿降贸觯?/p>
當(dāng)n趨于無窮時，我們對e的值有了更清晰的認(rèn)識，當(dāng)n = 100,000時，e = 2.71827。e有一個有趣的性質(zhì)，它的斜率值就是它本身。它也被用于金融計算復(fù)利。 斐波那契序列 列奧納多·斐波那契在觀察兔子種群的同時，用簡單的加法技術(shù)創(chuàng)造了我們宇宙中最迷人的數(shù)列之一。現(xiàn)在，一些證據(jù)表明，印度數(shù)學(xué)家事先就知道這個數(shù)列，我們堅持被廣泛接受的事實(shí)，即斐波那契提出了這個數(shù)列。 斐波納契數(shù)列可以用下面簡單的公式得到（n＞2）：
得到了下面的無窮數(shù)列： 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，.... 這個數(shù)列的美妙之處在于它與自然有關(guān)。例如，出現(xiàn)在了開花的朝鮮薊、一些花瓣如雛菊中。它甚至發(fā)生在星系螺旋中。
甚至有一個非常有趣的觀察，基于事實(shí)表明，地球和月球的尺寸是?的關(guān)系，比值是1.618。那么這個1.618是什么呢? 如果我們?nèi)⌒蛄兄械娜我鈨蓚€連續(xù)數(shù)，它們的比值（Xn / Xn-1）接近于1.618，這就是我們所說的黃金比例：
……
在無窮大時，比值接近1.618，也稱為Phi （?）。我們將在下面更詳細(xì)地討論?。
23 很多人都看過電影《數(shù)字23》，金·凱瑞飾演的沃爾特·斯派洛是一個在一本書中讀到數(shù)字23后對它著迷的人。人們認(rèn)為這個數(shù)字神秘地與世界上許多事件吻合，雖然這可能是一個幻想性錯覺的完美例子，但列出一些包含23的事件仍然很有趣：
π (π)和Tau (τ) π是著名的無理數(shù)，表示圓的周長與半徑之比。 如果我們畫一個直徑為1的圓，那么周長就等于3.14159……，用π來表示。它就是周長除以直徑?，F(xiàn)在，我們不需要回顧幾何概念，所以，我給出π的一個性質(zhì)：
我為什么要把τ包括進(jìn)來？一些數(shù)學(xué)家一直在爭論π的用處，并提出τ，即τ = 2π。許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為τ更適合計算圓。當(dāng)我們想要深入研究細(xì)節(jié)時，他們的直覺是正確的，但誰不喜歡π呢？ 歐拉恒等式 把數(shù)學(xué)中一些最美麗的概念結(jié)合起來，就能得到如此簡單的結(jié)果。讓我們首先回顧一下我們討論的是什么概念，以及我們?nèi)绾螌⑺鼈兘Y(jié)合起來：
令人著迷的是，這三者共同組成一個方程式，如下面的方程式，給我們帶來了簡單的結(jié)果-1。
我們怎么從這三個數(shù)中得到-1的？ 正如我們已經(jīng)知道，i的平方為-1。歐拉運(yùn)用泰勒級數(shù)與i的關(guān)系，得到了以下方程：
把上面的歐拉公式放在一個復(fù)平面上（有實(shí)數(shù)和虛數(shù)），我們得到一個圓。引入半徑r，我們可以將這些點(diǎn)轉(zhuǎn)變成另一種形式。如果我們假設(shè)x = π，那么我們會得到:
知道cos π = -1 sin π = 0，那么右邊的i就會消失：
所以，我們也可以重新排列這個方程，使它更漂亮，加上另一個簡單的數(shù)字：
數(shù)字6174 也被稱為卡普雷卡的常數(shù)，如果你遵循以下步驟，這個數(shù)字有一個特殊的性質(zhì)：
如果你重復(fù)多次，你總是會得到6174，這就是神奇的地方。為什么我們總是以這個數(shù)結(jié)束。以2714為例：
再以3687為例：
如果選擇6174，那么會一直保持在6174，因?yàn)?641 -1467 = 6174。 它也是一個哈沙德數(shù)（ Harshad number），意味著它能被它的組成部分的和整除：6174 /(6 + 1 + 7 + 4)= 6174 / 18 = 343。 黃金比例 我們已經(jīng)討論過這個比例，但它可能是世界上最重要的比例。以下是它的特點(diǎn)：
人們認(rèn)為它代表著美，盡管這種觀點(diǎn)尚未得到證實(shí)，但了解我們的頭腦如何定義美仍然是一件有趣的事情。例如，臉。下面這段可能不是最準(zhǔn)確的研究，但施密德博士把人的臉分為10個等級，10是最高的（最美的人），大多數(shù)人的得分在4到6之間。美的標(biāo)準(zhǔn)是，首先用臉部的長度除以寬度，最優(yōu)結(jié)果為1.618。之后，還會計算出其他的比例，比如鼻底到下巴的比例。最后，進(jìn)行對稱測試以檢查更多的美的指標(biāo)。施密德博士說，除了其他特征外，在完美的臉上，耳朵的長度應(yīng)該與鼻子的長度相等。 它出現(xiàn)在幾何學(xué)中。許多建筑和藝術(shù)品都有黃金比例，希臘的帕臺農(nóng)神廟就是一個例子。這個方塊里嵌著黃金比例。 |
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