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選自《解析幾何高觀點、新視野》 一、高觀點下的基本結(jié)論 解析幾何可以歸結(jié)為“代數(shù)化”(方法本質(zhì))、“幾何分析”(問題本身)、“結(jié)論”(作為幾何圖形的性質(zhì)),我們享受結(jié)論給我們帶來的美妙,同時也困惑:阿波羅尼奧斯早在公元前 200 多年著的《圓錐曲線論》就給出了 364 個關(guān)于圓錐曲線的定理,那些才是基本的,怎么背,背住了,但面對具體的問題情境常常忘記使用結(jié)論,考試增加探究性,就會增加情境的復(fù)雜性,把結(jié)論隱藏起來,從命題的過程來看:常常就是在結(jié)論的基礎(chǔ)上,再增加一些其它知識。我們習(xí)慣了程序化的運算,也尋思幾何分析來優(yōu)化,通過一些結(jié)論高效解題,但卻常常忘記模型,其實模型是結(jié)論的直觀化,幾何的模型(結(jié)構(gòu))往往比代數(shù)結(jié)構(gòu)更為簡單,所以從最基本的定義出發(fā),考慮曲線中最基本的量、特殊的量,比如:焦半徑、焦點弦等,從復(fù)雜的圖形中抽象出最簡單的圖形——三角形,得到很多基本模型,而這些涵蓋了全國卷的所有考查題目。如果我們把焦點位置一變,又會產(chǎn)生很多新的結(jié)論,所以我們不需要全部精準地背住下面的結(jié)論,我們需要有的是這個意識,還需要敏銳地感覺到在不同情境中可能出現(xiàn)的差異,比如過橢圓的下頂點 P,做兩條直線分別交橢圓與 A,B, 若 直線 AB 過定點 M; 若 直線 AB 也過定點 N,我們需要敏銳地感覺到 M 在 y 軸上,而 N 不一定在 y 軸上。因為在中取 和取 得到 AB 是關(guān)于 y 軸對稱的兩條直線,所以定點在 y軸上,但這卻不適合,故猜想 N 很可能不在直線上。運動中的不變性,即性質(zhì),亦是結(jié)論,所以解析幾何中的結(jié)論,更傾向于通過圖形的運動變化來整合、理解和記憶,比如切線可以視為切點弦的極限,相交弦定理、切割線定理視為同一個定理中交點從圓內(nèi)運動到圓外,所以它們代數(shù)的表達是一致的。對古希臘幾何法的質(zhì)疑產(chǎn)生了解析幾何,對前兩者的質(zhì)疑產(chǎn)生了射影幾何,一種幾何學(xué)可以用公理化的方法來構(gòu)建,也可以把變換群與幾何學(xué)聯(lián)系起來,給幾何學(xué)以新的定義(變換群)。我們把幾何問題放在不同的理論中思考,往往更加全面透徹,比如:過圓錐曲線上一點作兩條斜率互為相反數(shù)的直線與曲線分別交于另外兩點 P,Q,則 PQ 所在直線斜率為定值;過圓錐曲線上一點做兩條斜率和為定值(不為 0)的直線與圓錐曲線分別交于另外兩點 P,Q,則直線 PQ 過定點.從代數(shù)的角度來理解, 是的特殊情況,但它們卻得到了不同的結(jié)論,如果把中的 P 放在上頂點,我們讓斜率變化,我們會得到一系列平行的直線,如果借助射影幾何觀點:兩條平行線會交于無窮遠點,此時我們又可以把整合到中。圓錐曲線有統(tǒng)一的定義,那性質(zhì)常常也是相通的;數(shù)量積給出了的橫坐標(biāo)式子與縱坐標(biāo)式子的和為常數(shù),斜率之積給出了橫坐標(biāo)式子與縱坐標(biāo)式子的倍數(shù)關(guān)系,它們通過代數(shù)中最基本的運算給出了橫坐標(biāo)式子與縱坐標(biāo)式子等量關(guān)系,更傾向于通過聯(lián)系、對比和推廣來記憶。定點和定值相互“牽連”,過定點常常會產(chǎn)生定值,反之亦是。理解“定”的內(nèi)在聯(lián)系,就是深刻理解結(jié)論。比如拋物線中直線過焦點,會得到坐標(biāo)之積為定值,與某個點張角為定值等結(jié)論。三、結(jié)論的梳理
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