一、教學(xué)背景分析

1. 教材的地位和作用

本節(jié)課選自人教B版選修2－1第二章《圓錐曲線與方程》的第五節(jié)《直線與圓錐曲線》．通過對圓錐曲線一章的學(xué)習(xí)，學(xué)生對解析幾何的基本思想方法有初步了解，但是對于解決以“直線和圓錐曲線的位置關(guān)系”為載體的具體問題的能力還有待提高．以“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”為背景的弦的中點(diǎn)及相關(guān)問題(如定值、定點(diǎn)問題)，在解決過程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，可以充分提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力, 抽象概括能力,理解能力，拓寬學(xué)生在解題方法上的選擇空間.

2.學(xué)情分析

我所任教學(xué)校是北京市示范校，學(xué)生基礎(chǔ)較好，思維活躍，通過校本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了幾何畫板的使用．

學(xué)習(xí)過程中，對于本單元中的“坐標(biāo)法”，學(xué)生只是一種模式的應(yīng)用，學(xué)習(xí)方式傾向于模仿接受；同時(shí)，僅有一些思維敏捷的學(xué)生能夠提出問題，可能是學(xué)生困惑的問題，也可能是他們自認(rèn)為有意思的問題，有一些問題甚至超出教師預(yù)料之外．

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

隨著新一輪基礎(chǔ)教育課程改革的實(shí)施，面對社會不斷提出的知識創(chuàng)新要求，我國學(xué)校教育也開始關(guān)注學(xué)生的創(chuàng)新意識與潛能的開發(fā)，提出問題也已成為我國數(shù)學(xué)課程的重要組成部分．提出問題可以充分體現(xiàn)出學(xué)生對知識的理解與反思，是其終生學(xué)習(xí)和發(fā)展的基礎(chǔ)．提出問題在我們的課堂上是如此的少，這些學(xué)生是如何提出問題的呢？我們?nèi)绾翁幚韺W(xué)生提出問題的機(jī)會與時(shí)間，讓學(xué)生能夠提出一些有價(jià)值的問題呢？

我國《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生能夠“初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度提出問題、了解問題，并能綜合運(yùn)用所學(xué)知識和技能解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識．”

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在高中數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)中明確地提出：“提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題（包括簡單的實(shí)際問題）的能力，數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識的能力．”

1．在領(lǐng)會“坐標(biāo)法”的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘知識間的內(nèi)在聯(lián)系，明確理解幾何對象的本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)代數(shù)化的基礎(chǔ)；幫助學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式（熟練掌握常見的“代數(shù)形式”），給出常見求定值、定點(diǎn)問題的方法，拓寬學(xué)生在解題方法上的選擇空間.

2．通過熟練、合理和簡捷的解決定值、定點(diǎn)問題，提高學(xué)生的運(yùn)算求解能力；通過問題的提出與探究，提高學(xué)生的抽象概括能力，培養(yǎng)思維的深刻性、靈活性．

3．引導(dǎo)學(xué)生自已發(fā)現(xiàn)和提出問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，提高提出問題的能力，培養(yǎng)鍥而不舍的求實(shí)精神.

教學(xué)重點(diǎn)：

1．“直線和圓錐曲線的位置關(guān)系”問題中，依據(jù)幾何條件，選擇適當(dāng)?shù)膮⒆兞浚_立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式，提高學(xué)生運(yùn)算的合理性與簡捷性；

2．通過簡單圓錐曲線中有關(guān)動弦的定值及過定點(diǎn)問題，及對代數(shù)推理結(jié)果的幾何含義的分析，加深學(xué)生對解析幾何的基本思想方法的理解。

3．引導(dǎo)學(xué)生自已發(fā)現(xiàn)和提出問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，提高提出問題的能力．

教學(xué)難點(diǎn)：

1．運(yùn)算的合理性與簡捷性的培養(yǎng)．

2．引導(dǎo)學(xué)生自已發(fā)現(xiàn)和提出問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，提高提出問題的能力．

課    型：習(xí)題課

教學(xué)方法及手段：講授式與啟發(fā)式相結(jié)合，多媒體輔助教學(xué)平臺．

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

為了達(dá)到以上教學(xué)目標(biāo)，在具體教學(xué)中，根據(jù)“循序漸進(jìn)原則”，我計(jì)劃把本節(jié)課分為以下五個(gè)階段．下面我將對每一階段教學(xué)中計(jì)劃解決的主要問題和教學(xué)步驟作出說明．

（一） 問題回顧，回歸基礎(chǔ)

1．本階段主要任務(wù)

⑴學(xué)生利用“坐標(biāo)法”解決典型的中點(diǎn)弦問題，加深理解解析幾何的基本思想方法；

⑵注意學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)．基于培養(yǎng)理解能力之上的數(shù)學(xué)閱讀，必須持之以恒的集中注意力，關(guān)注題目中的每一句話．

2．具體教學(xué)安排

引言：平面解析幾何是一門用代數(shù)方法研究幾何問題的學(xué)科，它主要有兩大任務(wù)：

（1）根據(jù)曲線的幾何條件，寫出它的代數(shù)形式；（2）通過曲線的方程討論它的幾何性質(zhì).

曲線的幾何性質(zhì)是解析幾何研究的核心問題．我們已通過定義、曲線方程的結(jié)構(gòu)及特征、某些特殊的條件、直線與曲線的位置關(guān)系進(jìn)行了部分討論，解決了如范圍、對稱性、切線、弦長等性質(zhì)，今天我們繼續(xù)來研究一些性質(zhì)．

引例：定值問題（改編自人教版）

例1   如圖1，不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，且弦不與對稱軸垂直．

⑴ 若點(diǎn)，則的值為　　　　，　　　??；

⑵ 若點(diǎn)，則的值為　　　　，　　　??；

（二） 歸納、概括，類比，揭示本質(zhì)

1．本階段主要任務(wù)

⑴ 由學(xué)生歸納出解決定值問題的數(shù)學(xué)方法，形成新的知識結(jié)構(gòu)，加深學(xué)生對已學(xué)知識結(jié)構(gòu)“直線與曲線的位置關(guān)系”的認(rèn)識．解決定值問題的數(shù)學(xué)方法，即選取適當(dāng)參數(shù)（坐標(biāo)、斜率等基本量），分別表示題目之中的各量，進(jìn)行一般計(jì)算推理，消去參數(shù)，求出其結(jié)果；或是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，然后再進(jìn)行一般性證明或計(jì)算，證明該式是恒定的.

⑵使學(xué)生充分感悟數(shù)學(xué)是歸納的，也是演繹的．歸納是演繹的基礎(chǔ)，演繹是歸納的升華．

2．具體教學(xué)安排

問題⑴ 通過上題兩問的處理，你有何想法呢？（感覺呢？）

對于任意地、兩點(diǎn)，為定值．

問題⑵請把本題概括表示為橢圓的一個(gè)命題．

命題1 在橢圓內(nèi)，弦不與對稱軸垂直，且不通過原點(diǎn)，則弦所在直線斜率與橢圓中心與弦中點(diǎn)連線的斜率之積為定值．（即：，其中點(diǎn)不在對稱軸上，為弦中點(diǎn)．）

問題⑶  該命題是否為真命題呢，我們?nèi)绾谓鉀Q．

問題⑷　在前面的學(xué)習(xí)中是否學(xué)習(xí)過類似的結(jié)論？如圖3．

如何把前面的結(jié)論從幾何與解析的角度重新表述，使其更易揭示其本質(zhì)？   

（三）變式練習(xí)，建立聯(lián)系，闡明內(nèi)涵，審?fù)娈?/span>

1．本階段主要任務(wù)

學(xué)生通過坐標(biāo)法或性質(zhì)解決變式練習(xí)，從不同的圖示增強(qiáng)自身的直觀感受，揭示“中點(diǎn)弦”的本質(zhì)，充分感受到數(shù)學(xué)中不同的形式，而其本質(zhì)是相同的．

通過對問題的不斷引申，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，提高學(xué)生的抽象概括能力，提出問題的能力．

2．具體教學(xué)安排

練習(xí)1（改編自人教版）

已知是直線被橢圓所截得的線段、中點(diǎn)，則直線的方程為　　　　　．

練習(xí)2 已知是直線被橢圓所截得的線段、中點(diǎn)，則直線的方程為　　　　　．

練習(xí)3（改編自人教版）

已知為橢圓長軸的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，則的值為　　　．

問題⑸　對于練習(xí)3，把上面的結(jié)論從解析的角度重新表述，使其更易揭示其本質(zhì)？（圖4）

命題2 已知為橢圓長軸的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，則．

問題⑹　本題與橢圓定義的區(qū)別是什么？ 你想到了哪些內(nèi)容？

（選自人教版）已知點(diǎn)和，過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為．如果，求點(diǎn)的軌跡方程．

問題⑺　與前面引例的聯(lián)系是什么？

（選自人教版）已知點(diǎn)和，過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為．

⑴如果，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明此軌跡是何種曲線．

⑵如果，其中，求點(diǎn)的軌跡方程，并根據(jù)的取值討論此軌跡方程是何種曲線．

問題⑻　在前面的學(xué)習(xí)中是否學(xué)習(xí)過類似的結(jié)論？如圖5．

把該結(jié)論從解析的角度重新表述，使其更易揭示其本質(zhì)？

（四）類比推理，平臺拓展

1．本階段主要任務(wù)

學(xué)生深刻感悟前面兩組習(xí)題，體會圓與橢圓（圓錐曲線）之間的相似性，提出圓錐曲線中的定點(diǎn)問題。學(xué)生通過坐標(biāo)法解決定點(diǎn)問題，理解定點(diǎn)問題，歸納解決定點(diǎn)問題的方法：合理選取參數(shù)，求出相應(yīng)的直線（或曲線），把兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)的直線方程，化歸為單參數(shù)的真線方程，利用點(diǎn)斜式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而找出定點(diǎn)；或是通過特殊值法，找到定點(diǎn)，再加以證明，轉(zhuǎn)化為定值問題．其難點(diǎn)在于選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)及代數(shù)形式，準(zhǔn)確的將原問題轉(zhuǎn)化，避免因選擇的盲目性，造成計(jì)算過于復(fù)雜.

由學(xué)生感悟全稱命題的處理方法，體會提出問題的方法及感受提出有效問題的成功感．

2．具體教學(xué)安排

問題⑼　通過前面2組習(xí)題，圓與橢圓具有這么多的相似性，你們可以從圓出發(fā)，類比得出一些關(guān)于橢圓命題？試著寫出你的猜想．

問題⑽　“圓周角所對的弦為直徑”．在橢圓中是否也成立呢？在其余圓錐曲線中，類似的結(jié)論是否也成立呢？

例2（選自人教版）

過拋物線（）的頂點(diǎn)作兩條相互垂直的弦，．

求證：弦與拋物線的對稱軸交于定點(diǎn)．

問題⑾　對于題目中的“兩條相互垂直的弦，”是否還有更一般的表述方式呢？

（五）鞏固應(yīng)用，反思提高，形成系統(tǒng)知識結(jié)構(gòu)

1．本階段主要任務(wù)

通過學(xué)生對本節(jié)的回顧，鼓勵(lì)學(xué)生反思，促使個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善．

2．具體教學(xué)安排

⑴  板書設(shè)計(jì)

⑵  課堂小結(jié)

①利用直線與曲線相交為載體，明確了三個(gè)性質(zhì)，構(gòu)建了一個(gè)有效的平臺；

②解題過程中，坐標(biāo)法的應(yīng)用；

③思維能力上，回顧提出問題的能力的方法．

⑶  作業(yè)布置

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，在本節(jié)課的基礎(chǔ)之上，試提出兩個(gè)問題，并嘗試解決．

四、教學(xué)設(shè)計(jì)的說明

⑴ 課堂教學(xué)中明確的表示把引導(dǎo)學(xué)生自已發(fā)現(xiàn)和提出問題作為課堂教學(xué)重要而相對獨(dú)立的環(huán)節(jié)，把培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，提出問題的能力作為課堂教學(xué)目標(biāo)．

本節(jié)課在解決解析幾何中兩個(gè)基本計(jì)算問題之上，先后生成了10個(gè)問題．本節(jié)課中問題的切入點(diǎn)：橢圓中心與弦中點(diǎn)連線的斜率與弦所在直線的斜率之積相等，通過試驗(yàn)、特殊化、逆向、分類、類比或歸納等多種思維方法提出了新問題．本節(jié)課學(xué)生提出問題的數(shù)量和種類以及問題的新穎性、原創(chuàng)性，可解性等都方面都是非常和諧的，提出的問題合乎要求，具有開放性、并有一定的深度或相當(dāng)?shù)膬r(jià)值．其中對于提出問題的文字表達(dá)簡潔和流暢，符號表達(dá)準(zhǔn)確無誤，圖形表示規(guī)范可以作為學(xué)生提出問題能力的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)．可以看到，基于提出問題的教學(xué)設(shè)計(jì)中，學(xué)生對于上述習(xí)題的認(rèn)知、思考方式發(fā)生了變化，即認(rèn)知空間發(fā)生了變化，學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，解決問題選擇空間也隨之得到拓寬，形成了良好的知識結(jié)構(gòu)．學(xué)生由開始習(xí)慣于教師命題，到最后的獨(dú)立提出問題，學(xué)習(xí)觀上也得到了改變．

⑵基于提出問題的教學(xué)，并不是常規(guī)教學(xué)之中的變式教學(xué)．反映在教學(xué)中，通過提出問題，為學(xué)生增加盡可能多的數(shù)學(xué)場景，讓學(xué)生以類似數(shù)學(xué)家的活動方式進(jìn)行數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造，以便在積極參與中掌握探究技能、養(yǎng)成科學(xué)態(tài)度、形成創(chuàng)新意識．通過這種教學(xué)活動，使學(xué)生的數(shù)學(xué)活動回到了人類數(shù)學(xué)活動的本來面目，也成為培養(yǎng)學(xué)生問題意識和創(chuàng)新意識的一種有效途徑．

⑶在數(shù)學(xué)教學(xué)中,提出問題有助于教師相關(guān)教學(xué)觀念和行為的改變，提高了教師有關(guān)提出問題的教學(xué)知識和技能．不僅研究數(shù)學(xué)問題，教學(xué)生怎樣解決問題, 而且還學(xué)怎么教學(xué)生提出問題的知識，促進(jìn)了教師的反思．如在前面關(guān)于圓的教學(xué)之中，初中、高中階段的教學(xué)應(yīng)從哪些點(diǎn)去考慮呢？如何整體思考，才能最大化的給予學(xué)生思維提升的空間．

正是：奇思妙計(jì)，課堂起新意，提問有法驥可索，巨匠凡夫無異．有意聊勝無意，誘發(fā)哪抵自發(fā)．梅香苦寒常度，枝枝歲歲難重．