引言

本書是一部代數(shù)的歷史，寫給好奇的非數(shù)學(xué)專業(yè)人士。作為這樣一本書的作者，我似乎應(yīng)該在開頭告訴讀者什么是代數(shù)。那么，什么是代數(shù)呢？

我最近逛了一家機(jī)場書店，發(fā)現(xiàn)那里擺放著高中生和大學(xué)生常用的公式表小折子，在折疊成三聯(lián)的塑封紙上印有某個數(shù)學(xué)主題的所有基礎(chǔ)知識，其中有兩部分是關(guān)于代數(shù)的，標(biāo)題分別是“代數(shù)——第1 部分”和“代數(shù)——第2 部分”，副標(biāo)題說明這兩部分“涵蓋了小學(xué)、中學(xué)和大學(xué)課程中的數(shù)學(xué)原理”。1

12002 年由位于美國佛羅里達(dá)州博卡拉頓市的 BarCharts 公司出版，作者是 S. B. 基茲利克。

我瀏覽了這些內(nèi)容。有些主題在數(shù)學(xué)專業(yè)人士看來并不屬于代數(shù)。比如，“函數(shù)”“數(shù)列和級數(shù)”應(yīng)該屬于數(shù)學(xué)家們所說的“分析”。不過，總的來說，這兩部分概括了基礎(chǔ)代數(shù)的主要內(nèi)容，還明確地給出了現(xiàn)行美國高中和大學(xué)基礎(chǔ)課程中“代數(shù)”一詞的常見定義：代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中有別于微積分的一部分。

然而，在高等數(shù)學(xué)中，代數(shù)作為一門獨(dú)立的學(xué)科有其鮮明的特點(diǎn)。20 世紀(jì)偉大的德國數(shù)學(xué)家赫爾曼·外爾（1885—1955）曾在 1939 年發(fā)表的一篇文章中留下一句名言：

最近，拓?fù)鋵W(xué)天使和抽象代數(shù)惡魔正在為爭取各個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家的靈魂而決斗。2

2引自《杜克數(shù)學(xué)雜志》第5 期第489~502 頁的《不變量》。

讀者或許知道拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個分支，它有時也被稱為“橡皮幾何學(xué)”，研究的是圖形在拉伸、擠壓但不撕裂的情況下保持不變的性質(zhì)。（對此不了解的讀者可以先閱讀第14 章中關(guān)于拓?fù)鋵W(xué)的詳盡介紹。關(guān)于外爾的更多評論也可參考第14 章。）拓?fù)鋵W(xué)告訴我們平環(huán)與紐結(jié)之間的差異、球面與甜甜圈表面之間的差異。為什么外爾要把無害的幾何研究與代數(shù)嚴(yán)格對立起來呢？

或者，你可以看看第15 章開頭給出的那份獲獎名單，其中列出了近年來科爾代數(shù)獎（Frank Nelson Cole Prize in Algebra）的獲獎情況。非分歧類域論、雅可比簇、函數(shù)域、原相上同調(diào) 3……顯然，我們已經(jīng)遠(yuǎn)離二次方程和繪圖了。它們的共同點(diǎn)是什么呢？最簡潔的答案就隱含在外爾的名言中：抽象。

3本書遵循黎景輝教授在《代數(shù)  理論》一書中的建議，將英文“motivic cohomology”譯為原相上同調(diào)，“motive”譯為原相?！g者注

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當(dāng)然，所有數(shù)學(xué)都是抽象的。最早的數(shù)學(xué)抽象發(fā)生在幾千年前，當(dāng)時人類發(fā)現(xiàn)了數(shù)，完成了從 3 根手指、3 頭牛、3 個兄弟、3 顆星星等可觀察的 3 的實(shí)例向本身就可以被單獨(dú)考慮的心智對象“3”的充滿想象的飛躍，這里的“3”不再表示 3 根手指之類的特殊實(shí)例。

將抽象層次提升到第二層的第二次數(shù)學(xué)抽象發(fā)生在公元 1600 年前后的幾十年里，人們采用字母符號體系（使用字母符號）來表示任意數(shù)或未知數(shù)：“data”（給定的量）或者“quaesita”（要求的量）。艾薩克·牛頓爵士（1642—1727）稱之為“普遍算術(shù)”。這段漫長而充滿羈絆的旅程主要是為了求解方程，或者說是確定某些數(shù)學(xué)情形中的未知量。這是一次在我們的集體意識中播下“代數(shù)”種子的旅程，也是我在本書第一部分要講述的內(nèi)容。

如果在 1800 年問一位受過良好教育的人什么是代數(shù)，他也許會說，代數(shù)就是在做算術(shù)和求解方程的過程中使用字母符號來“放飛想象力”（萊布尼茨）。當(dāng)時，掌握或者至少熟悉數(shù)學(xué)中的字母符號體系的用法是歐洲通識教育的一部分。

然而，在 19 世紀(jì) 4，這些字母符號開始從數(shù)的領(lǐng)域中分離出來。各種奇怪的新數(shù)學(xué)對象 5 被發(fā)現(xiàn) 6：群、矩陣、流形以及很多其他對象。數(shù)學(xué)開始飛向新的抽象層次。一旦字母符號體系徹底深入人心，這個過程就是字母符號體系的自然發(fā)展。因此，把它看作代數(shù)學(xué)歷史的延續(xù)不無道理。

4有時，我會像歷史學(xué)家約翰·盧卡奇（1924—2019）那樣使用“19 世紀(jì)”來指代 1815 年到 1914 年這段時期。不過這里按照的是通常的歷法。

5“數(shù)學(xué)對象”指的是數(shù)學(xué)家感興趣的東西，他們努力理解和發(fā)展與之有關(guān)的定理。非數(shù)學(xué)專業(yè)人士最熟悉的數(shù)學(xué)對象包括數(shù)和點(diǎn)、線、三角形、圓、立方體等歐幾里得幾何中二維平面和三維空間中的圖形。

6發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明？我傾向于采用“柏拉圖式”的觀點(diǎn)，認(rèn)為這些對象存在于世界的某個地方，等待人類的智慧去發(fā)現(xiàn)它們。這就是大多數(shù)數(shù)學(xué)家在大部分時間里做大多數(shù)數(shù)學(xué)研究時的心態(tài)。這一點(diǎn)非常了不起，但是它與代數(shù)學(xué)歷史的關(guān)系不大，因此我不再贅述?！碴P(guān)于這個問題可以參考《最后的數(shù)學(xué)問題》（人民郵電出版社，2019 年）。——譯者注〕

因此，我把本書分成以下三個部分。

第一部分：從遠(yuǎn)古時期到大約公元 1600 年，字母符號體系（即用字母表示數(shù)）被廣泛使用。

第二部分：字母符號體系在數(shù)學(xué)上取得的首次輝煌成果，以及符號從傳統(tǒng)算術(shù)和幾何概念中緩慢分離最終導(dǎo)致新數(shù)學(xué)對象的發(fā)現(xiàn)。

第三部分：近世代數(shù)——把新的數(shù)學(xué)對象置于堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)之上，抽象層次更高。

因?yàn)榇鷶?shù)學(xué)的發(fā)展與所有人類活動一樣，是隨機(jī)且無規(guī)律可言的，我很難嚴(yán)格按照年代順序敘述，特別是 19 世紀(jì)的代數(shù)。盡管如此，我希望我的敘述方式是合理的，希望讀者對代數(shù)學(xué)發(fā)展的主要線索有清晰的認(rèn)識。

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我的目的不是向讀者講授高等代數(shù)。這方面的優(yōu)秀教材有很多，我會在敘述過程中推薦一些教材。這本書不是教材。我只希望能夠展示一些代數(shù)學(xué)概念的模樣，以及后來的代數(shù)學(xué)概念是如何從先前的概念中發(fā)展而來的，哪些人扮演了重要的角色，歷史背景又是怎樣的。

然而，我發(fā)現(xiàn)如果不對這些代數(shù)學(xué)家所做的工作做一些簡單的解釋，就不可能說清楚這門學(xué)科的歷史。因此，本書中有大量的數(shù)學(xué)知識。對于那些高中課程中通常不會講到的內(nèi)容，我把它們簡單地整理了一下，放在貫穿整本書的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識”部分中，而這些基礎(chǔ)知識穿插安排在你需要通讀以便跟得上歷史敘述的地方。每一部分的數(shù)學(xué)知識都介紹了若干基礎(chǔ)概念。在某些情況下，我會擴(kuò)展正文中的概念。介紹這些基礎(chǔ)知識的目的在于喚起那些已經(jīng)學(xué)過某些大學(xué)數(shù)學(xué)課程的讀者的回憶，或者為那些沒有這樣的經(jīng)歷的讀者提供最基本的知識。

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當(dāng)然，這本書是參考了很多其他人的書編著而成的。我將在正文和注解里注明引用的著作。不過我會經(jīng)常提到三份資源，因此我有必要在一開始就提醒自己不能忘了致謝。第一份資源是極其有用的《科學(xué)傳記大辭典》（Dictionary of Scientific Biography），它不僅提供了數(shù)學(xué)家的詳細(xì)生平，而且還給出了數(shù)學(xué)思想起源和傳播的重要線索。

另外兩本主要參考的著作是數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)家們寫的代數(shù)學(xué)歷史：范德瓦爾登（1903—1996）的《代數(shù)學(xué)的歷史》（1985 年出版）；伊莎貝拉·巴什馬科娃和加林娜·斯米爾諾娃合著的《代數(shù)學(xué)的起源與演變》（2000 年由阿貝·舍尼策譯成英文）。在后文中，我在引用這些書中的內(nèi)容時將直接引用其作者的名字（如“范德瓦爾登說……”）。

我在這里還要感謝另一位為本書做出重要貢獻(xiàn)的人——美國芝加哥大學(xué)的理查德·斯旺（1933— ）教授。他審閱了本書的手稿，能得到他的指點(diǎn)，我感到萬分榮幸。斯旺教授提出了很多意見、批評、修正和建議，大大提升了本書的水準(zhǔn)。我衷心感謝他的幫助和鼓勵。盡管我力爭做得更好，但是“更好”不是“完美”，書中仍然會存在一些錯誤或者遺漏，對此我負(fù)全部責(zé)任。

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這本書講述代數(shù)學(xué)的故事。這一切開始于遙遠(yuǎn)的過去，伴隨著從陳述句“這個加這個等于這個”到疑問句“這個加什么等于這個”的簡單的思維轉(zhuǎn)變，這是未知量，即現(xiàn)在每個人都會把它與代數(shù)聯(lián)系在一起的 ，第一次進(jìn)入人類的思想，實(shí)際上是經(jīng)過了較漫長的時間后，才出現(xiàn)了用符號來表示未知量或任意數(shù)的需求。一旦建立起這樣的字母符號體系，對方程的研究就進(jìn)入了更高的抽象層次。于是，新的數(shù)學(xué)對象出現(xiàn)了，它推動數(shù)學(xué)向更高的抽象層次飛躍。

如今，代數(shù)學(xué)已經(jīng)成為所有智力學(xué)科中最純粹、最嚴(yán)格的學(xué)科，它的研究對象是對抽象的抽象的再抽象，非數(shù)學(xué)專業(yè)人士幾乎無法領(lǐng)會到其成果的巨大威力和非凡魅力。最令人驚訝也最神秘的是，在這些縹緲的心智對象的層層嵌套的抽象之中，似乎包含著物質(zhì)世界的最深刻、最本質(zhì)的秘密。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識：數(shù)和多項(xiàng)式（NP）

在書中某些章節(jié)之間的連接處，我將打斷對代數(shù)學(xué)歷史的敘述，插入一些簡要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，幫助你了解或回顧一些必要的數(shù)學(xué)內(nèi)容，以便你能夠順利理解后面要講述的故事。

第一組數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識設(shè)在開篇之前。為了讓你能理解接下來所講述的內(nèi)容，這部分包含了兩個你必須掌握的數(shù)學(xué)概念：數(shù)和多項(xiàng)式。

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數(shù)的現(xiàn)代概念在 19 世紀(jì)后期開始形成，并在 20 世紀(jì)二三十年代在數(shù)學(xué)界廣泛傳播。數(shù)的現(xiàn)代概念好似層層嵌套的“俄羅斯套娃”模型，其中共有五個“俄羅斯套娃”，分別用鏤空字母 、、、 和  表示。

最里層的“套娃”是自然數(shù)，自然數(shù)全體記為 。這些數(shù)是通常 1 用于計(jì)數(shù)的數(shù)，如 1、2、3 等。它們可以被形象地排成一行向右無限延長的點(diǎn)（圖 NP-1）。

1在現(xiàn)代用法中，自然數(shù)通常包括 0。從哲學(xué)意義上講，我贊同這一點(diǎn)。如果你讓我到隔壁房間數(shù)一數(shù)房間里的人數(shù)，然后向你匯報(bào)結(jié)果，那么“0”是一個可能的結(jié)果。因此，0 應(yīng)該包含在這些用于計(jì)數(shù)的數(shù)字中。但是，由于本書是從歷史的角度進(jìn)行敘述的，所以我從自然數(shù)中去掉了 0。

圖 NP-1　自然數(shù)集 

自然數(shù)非常有用，但是它們有一些不足之處。主要的不足之處在于，從一個自然數(shù)中減去另一個自然數(shù)不總是可行的，用一個自然數(shù)除以另一個自然數(shù)也不總是可行的。你可以用 7 減去 5，但是不能用 7 減去 12——我的意思是說，這樣做想得到一個自然數(shù)結(jié)果是不可能的。用專業(yè)術(shù)語講就是， 在減法運(yùn)算下不是封閉的。 在除法運(yùn)算下也不是封閉的：你可以用 12 除以 4，但不能用 12 除以 5，因?yàn)槠浣Y(jié)果就不再是自然數(shù)了。

減法的問題因?yàn)榱愫拓?fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)而得到解決。大約在 600 年，古印度數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了零。負(fù)數(shù)是歐洲文藝復(fù)興時期的成果。將自然數(shù)系擴(kuò)張，使其包含這些新的數(shù)字，就得到了第二個“俄羅斯套娃”，它包含第一個“俄羅斯套娃”。這個數(shù)系就是整數(shù)系，整數(shù)全體用符號 （來自德文單詞“Zahl”，意為“數(shù)”）表示。整數(shù)可以形象地用向左右兩端無限延長的一行點(diǎn)來表示（圖 NP-2）。

圖 NP-2　整數(shù)集 

現(xiàn)在，我們可以隨意進(jìn)行加法、減法和乘法運(yùn)算，當(dāng)然，做乘法運(yùn)算需要了解符號法則：

正正得正，正負(fù)得負(fù)，負(fù)正得負(fù)，負(fù)負(fù)得正。

或者更簡潔地說：同號相乘得正，異號相乘得負(fù)。當(dāng)可以進(jìn)行除法運(yùn)算時，符號法則同樣適用，如 -12 除以 -3 得 4。

然而，除法在  中不總是可行的， 在除法運(yùn)算下不是封閉的。為了得到一個在除法運(yùn)算下封閉的數(shù)系，我們還要再次擴(kuò)張，引入分?jǐn)?shù)（包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)）。這就是第三個“俄羅斯套娃”，它包含了前兩個“套娃”。這個“套娃”被稱為有理數(shù)，有理數(shù)全體記為 （來自英文單詞“quotient”，意為“商”）。

有理數(shù)是“稠密的”。這意味著在任意兩個有理數(shù)之間，你總可以找到另外一個有理數(shù)。 和  都不具有這樣的性質(zhì)。11 和 12 之間沒有自然數(shù)，-107 與 -106 之間也沒有整數(shù)。然而，在有理數(shù)和  之間總可以找到一個有理數(shù)，雖然這兩個有理數(shù)相差不到 16 萬億分之一。例如，有理數(shù)比前面出現(xiàn)的第一個有理數(shù)大，但是比第二個有理數(shù)小。因?yàn)槿我鈨蓚€有理數(shù)之間都存在一個有理數(shù)，所以你可以在任意兩個有理數(shù)之間找到無窮多個有理數(shù)。這就是“稠密”的真正含義。

因?yàn)?nbsp; 具有稠密性，所以它可以用一條向左右兩端無限延伸的連續(xù)直線來表示（圖 NP-3）。每一個有理數(shù)在這條直線上都有一個位置。

圖 NP-3　有理數(shù)集 （注：我們可以用同樣的圖形來表示實(shí)數(shù)集 ）

你看到整數(shù)之間的空隙是如何被填充的了嗎？任意兩個整數(shù)，比如 27 和 28，其間的有理數(shù)都是稠密的。

你看到整數(shù)之間的空隙是如何被填充的了嗎？任意兩個整數(shù)，比如 27 和 28，其間的有理數(shù)都是稠密的。

要注意，這些“俄羅斯套娃”是嵌套的， 套著 ， 套著 。還有另一種看待它們的方法：自然數(shù)是“名譽(yù)整數(shù)”，整數(shù)和自然數(shù)是“名譽(yù)有理數(shù)”。為了強(qiáng)調(diào)，名譽(yù)數(shù)可以被“裝扮”成適當(dāng)?shù)哪?。自然?shù) 12 可以被“裝扮”成整數(shù) +12，或者有理數(shù) 。

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還有另外一些數(shù)，它們既不是整數(shù)也不是有理數(shù)。公元前 500 年左右，古希臘人發(fā)現(xiàn)了這類數(shù)。這個發(fā)現(xiàn)給古希臘人的思維帶來了深刻的影響，而且還提出了一些問題，這些問題至今也沒有令所有數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家都滿意的答案。

這類數(shù)的最簡單的例子是 2 的平方根，如果你把它與自身相乘，就得到 2。（在幾何中，邊長是單位 1 的正方形的對角線的長度就是 2 的平方根。）很容易證明，沒有一個有理數(shù)可以表示成邊長為單位 1 的正方形的對角線的長度 2。用很類似的方法可以證明：如果  不是完全  次冪，那么  的  次方根一定不是有理數(shù)。

2歐幾里得首次給出了一般的證明，他使用了反證法。假設(shè)這件事不成立，即假設(shè)存在某個有理數(shù) （其中  和  都是整數(shù)）滿足 。假設(shè)  是最簡分?jǐn)?shù)（將分子和分母中的公因子約去，這總能做到），那么  和  中必定有一個是奇數(shù)。用  乘上式兩邊得到 ，而且只有偶數(shù)的平方是偶數(shù)，所以  一定是偶數(shù)， 一定是奇數(shù)。因此 ， 是某個整數(shù)。于是 ，所以 ，，因此  也一定是偶數(shù)。那么  和  就都是偶數(shù)，出現(xiàn)矛盾。因此假設(shè)不成立，所以不存在平方等于 2 的有理數(shù)。（另一個證明可以在我的書《素?cái)?shù)之戀》的注釋 11 中找到。）

顯然，我們需要另外一個“俄羅斯套娃”，它要能夠包含所有這些無理數(shù)。這個新“套娃”就是實(shí)數(shù)系，用  表示。2 的平方根是一個實(shí)數(shù)，但它不是有理數(shù)：它屬于  但不屬于 （當(dāng)然它也不屬于  或 ）。

實(shí)數(shù)同有理數(shù)一樣，也是稠密的。我們在任意兩個實(shí)數(shù)之間總能找到另外一個實(shí)數(shù)。因?yàn)橛欣頂?shù)是稠密的，已經(jīng)“填滿”了圖示中的直線（圖 NP-3），你也許會提出這樣的疑問：如何把實(shí)數(shù)擠進(jìn)有理數(shù)之間？更怪異的是， 和  是“可數(shù)”的，但  是不可數(shù)的?？蓴?shù)集合的意思是，其中的元素可以與用來計(jì)數(shù)的數(shù)集  中的元素 1, 2, 3,…相匹配，一直到無窮。然而，對于實(shí)數(shù) ，你做不到這一點(diǎn)。從某種意義上講， 非常大，比 、 和  都大，以至于  無法數(shù)出來。那么，超級無窮多的實(shí)數(shù)可以安插在有理數(shù)之間嗎？

這是一個非常有趣的問題，數(shù)學(xué)家們也因此傷透了腦筋。不過，這不屬于代數(shù)學(xué)的歷史，我在這里提到它只是因?yàn)榈?4 章要提到可數(shù)性的問題。你記住以下這點(diǎn)就夠了：表示  的圖和表示  的圖看起來是一樣的，都是一條向左右兩端無限延伸的連續(xù)直線（圖 NP-3）。當(dāng)這條直線表示  時，它被稱為“實(shí)數(shù)軸”。更抽象地說，“實(shí)數(shù)軸”可以作為  的同義詞。

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在  中，加法和乘法總是可行的，減法和除法有時可行。在  中，加法、減法和乘法總是可行的，除法有時可行。在  中，加法、減法、乘法和除法（在數(shù)學(xué)中不允許除以 0）都是可行的，但是開方卻出現(xiàn)了問題。

 可以解決這些問題，但只限于非負(fù)數(shù)。根據(jù)符號法則，任何數(shù)與自身相乘都得到一個非負(fù)數(shù)?；蛘邠Q一種說法：在  中，負(fù)數(shù)沒有平方根。

從 16 世紀(jì)起，這個限制開始成為數(shù)學(xué)家們前進(jìn)的障礙，所以必須加入新的“俄羅斯套娃”。這個“套娃”就是復(fù)數(shù)系，記為 。在  中，每一個數(shù)都有平方根。事實(shí)證明，只用普通的實(shí)數(shù)和一個新數(shù) （通常記為 i）就可以構(gòu)建整個新數(shù)系。例如 -25 的平方根是 5i，因?yàn)?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/05/2511/222822915_28_2021052511395984.gif' alt="5{\rm i}\times5{\rm i}=25\times(-1)=-25" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" style="max-width: 570px; margin: auto; display: block;">。那么 i 的平方根是什么？這不難回答，我們熟悉的乘法去括號法則是，所以

由于 ，并且 ，所以上面等式的右邊正好等于 i。因此，等式左邊括號中的數(shù)就是 i 的平方根。

和之前一樣，新的“俄羅斯套娃”也是嵌套的。實(shí)數(shù)  是“名譽(yù)復(fù)數(shù)”（形如  或簡寫為  的復(fù)數(shù)稱為虛數(shù)，其中的  為實(shí)數(shù)）。

根據(jù) ，很容易推出復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法和除法的運(yùn)算法則，如下所示：

加法：

減法：

乘法：

除法：

因?yàn)閺?fù)數(shù)有兩個獨(dú)立的部分，所以不能用直線來表示 。我們需要一個向各個方向無限延伸的平面來表示 ，這個平面被稱為復(fù)平面（圖 NP-4）。復(fù)數(shù)  可以用通常的直角坐標(biāo)表示成這個平面上的一個點(diǎn)。

圖 NP-4　復(fù)數(shù)集 

注意，每一個復(fù)數(shù)  都對應(yīng)一個非常重要的非負(fù)實(shí)數(shù)，這個實(shí)數(shù)被稱為該復(fù)數(shù)的模，定義為 。我希望圖 NP - 4 可以清楚地說明這一點(diǎn)，根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理 3，復(fù)數(shù)的模就是在復(fù)平面內(nèi)它到零點(diǎn)的距離，零點(diǎn)通常被稱為原點(diǎn)。

3畢達(dá)哥拉斯定理（即我們常說的勾股定理?！g者注）考慮的是一個平面直角三角形的邊長。通過簡單的觀察可以發(fā)現(xiàn)，直角所對的斜邊一定比其他兩個直角邊長。這個定理說的是斜邊長的平方等于兩個直角邊長的平方之和：，其中  和  分別是兩個直角邊的長度， 是斜邊的長度。這個公式的另外一種表示法如圖 NP-4 所示。

我們以后還會遇到其他數(shù)系，但是一切都是從這五個依次嵌套的基本數(shù)系開始的：、、、 和 。

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關(guān)于數(shù)的內(nèi)容就介紹到這里。本書經(jīng)常提到的另一個關(guān)鍵概念是多項(xiàng)式。這個詞的詞源是希臘文和拉丁文的混合，意思是“有很多名稱”，“名稱”指的是“有名稱的部分”。似乎是法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達(dá)（1540—1603）在 16 世紀(jì)晚期首先開始使用這個詞的，在此一百年后這個詞才出現(xiàn)在英文中。

多項(xiàng)式是從數(shù)和“未知量”開始，僅通過加法、減法和乘法運(yùn)算得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式（不是方程，因?yàn)檫@里沒有等號），這些運(yùn)算可以出現(xiàn)任意有限多次，但不能出現(xiàn)無限次。以下是一些多項(xiàng)式的例子：

注意以下幾點(diǎn)。

第一部分　未知量

第1章　四千年前

按照我在引言中給出的廣義定義，在有記載的歷史中，代數(shù)很早就開始了從陳述式算術(shù)到疑問式算術(shù)的思維轉(zhuǎn)變。我們已知的最古老的包含數(shù)學(xué)內(nèi)容的書面文字記載，實(shí)際上包含了一些可被稱為代數(shù)的內(nèi)容。這些文字記載可以追溯到公元前二千年的上半葉，距今約 37 或 38 個世紀(jì) 1，它們是由生活在美索不達(dá)米亞和古埃及的人們書寫的。

1美索不達(dá)米亞早期歷史的年代測定還沒有定論。在撰寫本書時，我經(jīng)常參考“中間年表”，這也是我用的年表。此外，還有低年表、超低年表和高年表?！爸虚g年表”中標(biāo)注于公元前 2000 年的事件在高年表中的時間可能是公元前 2056 年，在低年表中的時間可能是公元前 1936 年，在超低年表中的時間可能是公元前 1911 年。專業(yè)的亞述學(xué)家因爭論這些問題甚至產(chǎn)生了友誼或婚姻的破裂。我對此沒有強(qiáng)烈的意見，這個時期的確切年代對我的敘述并不重要。出現(xiàn)在 1950 年之前的大部分資料中的更早的日期在今天看來都是不可確信的。

對現(xiàn)代人來說，那個世界似乎遙不可及。公元前 1800 年距愷撒大帝時代的時間跨度與愷撒大帝距我們現(xiàn)在這個時代的時間跨度一樣久遠(yuǎn)。除了少數(shù)專家之外，關(guān)于那個時代、那些地域的廣泛傳播的知識只有《圣經(jīng)·創(chuàng)世紀(jì)》中支離破碎且有爭議的記載，所有受過良好訓(xùn)導(dǎo)的西方一神論宗教信徒們都非常清楚這些內(nèi)容。這是亞伯拉罕和以撒、雅各和約瑟、吾珥和哈蘭、所多瑪和蛾摩拉的世界。彼時的西方文明包括整個新月沃地，這片連綿不斷的肥沃土地從波斯灣向西北延伸至底格里斯河和幼發(fā)拉底河平原，橫跨敘利亞高原，然后向下穿過巴勒斯坦到達(dá)尼羅河三角洲和埃及（圖 1-1）。這片地區(qū)的人們曾彼此相知。新月沃地周邊常年有交通往來，從位于幼發(fā)拉底河下游的吾珥到位于尼羅河中游的底比斯之間都有交通往來。亞伯拉罕也許正是沿著這些很多人走過的路，從吾珥到巴勒斯坦，最后長途跋涉到埃及。

圖 1-1　新月沃地

從政治角度講，新月沃地的三個主要區(qū)域看起來差異非常大。巴勒斯坦是一處偏僻的地方，但是它是通往別處的交通要道。當(dāng)時的人們認(rèn)為它屬于古埃及的勢力范圍。古埃及是一個種族統(tǒng)一的國家，而且在其邊界沒有能對它形成嚴(yán)重威脅的族群。這個國家在遭受我后面要講述的第一次外來侵略之前已有一千五百年的歷史，比如今的英國的歷史還要悠久。在自認(rèn)為安全的環(huán)境下，古埃及人很早就形成了一種類似于中國古代封建統(tǒng)治的思維方式，建立了中央集權(quán)的君主專制，由通過層層選拔的人才建立起來的龐大官僚系統(tǒng)統(tǒng)治著。早在大約公元前 2500 年到公元前 2350 年的第五王朝，就有近 2000 個官銜。正如羅伯特·維森在《帝國秩序》（The Imperial Order）一書中所說的那樣：“在這種奇妙的等級制度下，人與人都是不平等的?！?/p>

美索不達(dá)米亞卻呈現(xiàn)出完全不同的景象。這里的種族關(guān)系更加復(fù)雜，最初是蘇美爾人，隨后依次是阿卡德人、埃蘭人、亞摩利人、赫梯人、喀西特人、亞述人以及阿拉米人占據(jù)優(yōu)勢。古埃及式的官僚專制也曾在美索不達(dá)米亞占據(jù)一時的主導(dǎo)地位，當(dāng)時一個強(qiáng)大的統(tǒng)治者可以掌控足夠大的領(lǐng)土，但這些帝國都難以持續(xù)很長時間。其中最早也最重要的是薩爾貢大帝的阿卡德王朝，這個王朝從公元前 2340 年到公元前 2180 年統(tǒng)治了整個美索不達(dá)米亞 160 年，最后因高加索部落的襲擊而瓦解。我在這里講述的是公元前 18 世紀(jì)和公元前 17 世紀(jì)，那時薩爾貢的榮耀已經(jīng)成為逐漸消退的記憶。然而，它卻給這片地區(qū)留下了一種相對通用的語言：閃米特語族中的阿卡德語。蘇美爾語一直存在于該地區(qū)的南方，顯然它被認(rèn)為是受教育的人熟知的一種高貴語言，頗像羅馬人使用的希臘語或中世紀(jì)和近代歐洲早期使用的拉丁語。

然而，美索不達(dá)米亞通常處于一種百家爭鳴的狀態(tài)，這里的語言和文化有很多共同點(diǎn)，但沒有統(tǒng)一。在這種環(huán)境下，美索不達(dá)米亞的創(chuàng)造力最為繁榮，可與黃金時代的希臘城邦、文藝復(fù)興時期的意大利或 19 世紀(jì)的歐洲相媲美。統(tǒng)一是偶然而短暫的。這個時代無疑是“令人向往”的，也許，這就是創(chuàng)造力的價(jià)值。

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在不同帝國統(tǒng)治美索不達(dá)米亞的各個時期中，最令人印象深刻的一個時期是公元前 1790 年到公元前 1600 年。那時的統(tǒng)一者是漢謨拉比，他于這個時期之初在幼發(fā)拉底河中游的巴比倫城邦掌權(quán)。漢謨拉比 2 是亞摩利人，說阿卡德方言。他統(tǒng)治了整個美索不達(dá)米亞，把巴比倫變成當(dāng)時最偉大的城市。這就是第一巴比倫帝國（古巴比倫王國）。3

2漢謨拉比（Hammurabi）的另一個常見拼寫是“Hammurapi”。古英文文獻(xiàn)使用的是“Khammurabi”“Ammurapi”和“Khammuram”。然而，認(rèn)為漢謨拉比就是《圣經(jīng)·創(chuàng)世記》14:1 中的暗拉非（Amraphel）的觀點(diǎn)今天已不被認(rèn)同。亞伯拉罕的時代是人們推測的，但是人們似乎認(rèn)為他生活的年代早于漢謨拉比統(tǒng)治的時代。

3西方傳統(tǒng)更熟悉的是第二巴比倫帝國。第二巴比倫帝國（新巴比倫王國）指的是尼布甲尼撒二世的帝國，當(dāng)時猶太人被監(jiān)禁，但以理也侍奉過這位君主，在伯沙撒王的盛宴期間，墻上出現(xiàn)的文字預(yù)示了第二巴比倫帝國將被波斯人攻陷。這一切發(fā)生在漢謨拉比時代的一千年后，不屬于我們講述的這部分故事。

古巴比倫王國是一個有文字記載的偉大文明。他們的著作都是用楔形文字寫成的。也就是說，寫出的文字是用楔形筆壓在濕黏土上形成的圖案。這些被刻上字的泥板和圓柱桶經(jīng)過燒制而得以長久保存。蘇美爾人在很久之前就發(fā)明了楔形文字，在薩爾貢時代引入阿卡德。到了漢謨拉比時代，這種書寫方法已經(jīng)演變成包含 600 多個符號的書寫體系，每一個符號代表一個阿卡德語音節(jié)。

《漢謨拉比法典》是漢謨拉比在他的帝國強(qiáng)制執(zhí)行的偉大法律體系。下面是取自《漢謨拉比法典》序言中的用阿卡德楔形文字書寫的語句（圖 1-2）。

圖 1-2　楔形文字

這句話的發(fā)音類似于“En-lil be-el sa-me-e u er-sce-tim”，意思是“恩利爾，宇宙和地球之主”。從單詞“be-el”可以看出，這是一種閃米特語，它與英文“Beelzebub”（別西卜，神話中引起疾病的惡魔）的前綴有關(guān)，這讓我們想起了希伯來文“Ba'al Zebhubh”，意思是“蠅王”。

實(shí)際上，楔形文字在古巴比倫王國消亡之后仍然沿用了很長時間，一直到公元前 2 世紀(jì)。古代世界的很多語言使用的都是楔形文字。伊朗的某些遺跡上有楔形文字銘文，屬于公元前 500 年左右居魯士大帝的王朝。早在 15 世紀(jì)，這些銘文就被當(dāng)時的歐洲旅行家注意到了。自 18 世紀(jì)晚期開始，歐洲學(xué)者開始嘗試破譯這些銘文 4。到 19 世紀(jì) 40 年代，人們對楔形文字的理解已經(jīng)有了良好的基礎(chǔ)。

4這里出現(xiàn)的幾個關(guān)鍵人物是丹麥人卡斯滕·尼布爾（1733—1815）、德國人格奧爾格·弗里德里希·格羅特芬德（1775—1853）和英國人亨利·羅林森（1810—1895）。順便說一下，格羅特芬德來自德國漢諾威，后來被漢諾威王室的哥廷根大學(xué)聘請，從事破譯楔形文字的工作。哥廷根大學(xué)后來成為聞名世界的數(shù)學(xué)研究中心。

大約就在同一時期，很多考古學(xué)家開始發(fā)掘美索不達(dá)米亞的古代遺跡，例如法國人保羅·埃米爾·博塔（1802—1870）和英國人奧斯丁·亨利·萊亞德（1817—1894）等。他們發(fā)現(xiàn)了大量經(jīng)過燒制的刻有楔形文字的泥板。這類考古工作一直持續(xù)到今天，現(xiàn)在全世界各地的私人或公共收藏總計(jì)有超過 50 萬塊這樣的泥板，它們所屬的時代大約在公元前 3350 年到公元前 1 世紀(jì)。這些泥板大都屬于漢謨拉比時代，因此形容詞“巴比倫的”經(jīng)常用在與楔形文字有關(guān)的任何事情上，盡管古巴比倫王國的統(tǒng)治時期還不足兩個世紀(jì)，而使用楔形文字的歷史卻長達(dá) 30 個世紀(jì)。

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至少從 19 世紀(jì) 60 年代起，人們就已經(jīng)知道一些楔形文字泥板中記錄了數(shù)字信息。首先，被破譯的這類信息都出自人們很容易想到的具有活躍商業(yè)傳統(tǒng)的組織有序的行政部門，如庫存、賬目等資料，此外還有大量的歷法資料。古巴比倫人掌握了深奧的歷法和廣博的天文學(xué)知識。

然而，到了 20 世紀(jì)初，出現(xiàn)了很多明顯與數(shù)學(xué)有關(guān)的泥板，但這些內(nèi)容既與計(jì)時無關(guān)，也與記賬無關(guān)。直到 1929 年，奧托·諾伊格鮑爾（1899—1990）才開始注意它們并進(jìn)行相關(guān)研究。

諾伊格鮑爾是奧地利人，出生于 1899 年。他參加過第一次世界大戰(zhàn)，結(jié)果與同胞路德維?！ぞS特根斯坦（1889—1951）一同被抓入意大利戰(zhàn)俘營。第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束后，他首先成為一名物理學(xué)家，后來又轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)研究，進(jìn)入哥廷根大學(xué)，跟隨 20 世紀(jì)初最偉大的一些數(shù)學(xué)家理查德·柯朗（1888—1972）、埃德蒙·蘭道（1877—1938）和埃米·諾特（1882—1935）學(xué)習(xí)。到了 20 世紀(jì) 20 年代中期，諾伊格鮑爾的興趣開始轉(zhuǎn)向古代數(shù)學(xué)。他對古埃及進(jìn)行了研究，并發(fā)表了一篇關(guān)于萊茵德紙草書的論文。稍后我將詳細(xì)介紹萊茵德紙草書。隨后，他又將關(guān)注點(diǎn)轉(zhuǎn)向古巴比倫，學(xué)習(xí)阿卡德語，著手研究漢謨拉比時代的泥板。研究成果就是他在 1935 年到 1937 年出版的三卷巨著《楔形文字?jǐn)?shù)學(xué)文本》（Mathematische Keilschrift - Texte，德文“keilschrift”的意思是“楔形文字”），古巴比倫數(shù)學(xué)的巨大財(cái)富首次在這部著作中得到展示。

諾伊格鮑爾是奧地利人，出生于 1899 年。他參加過第一次世界大戰(zhàn)，結(jié)果與同胞路德維?！ぞS特根斯坦（1889—1951）一同被抓入意大利戰(zhàn)俘營。第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束后，他首先成為一名物理學(xué)家，后來又轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)研究，進(jìn)入哥廷根大學(xué)，跟隨 20 世紀(jì)初最偉大的一些數(shù)學(xué)家理查德·柯朗（1888—1972）、埃德蒙·蘭道（1877—1938）和埃米·諾特（1882—1935）學(xué)習(xí)。到了 20 世紀(jì) 20 年代中期，諾伊格鮑爾的興趣開始轉(zhuǎn)向古代數(shù)學(xué)。他對古埃及進(jìn)行了研究，并發(fā)表了一篇關(guān)于萊茵德紙草書的論文。稍后我將詳細(xì)介紹萊茵德紙草書。隨后，他又將關(guān)注點(diǎn)轉(zhuǎn)向古巴比倫，學(xué)習(xí)阿卡德語，著手研究漢謨拉比時代的泥板。研究成果就是他在 1935 年到 1937 年出版的三卷巨著《楔形文字?jǐn)?shù)學(xué)文本》（Mathematische Keilschrift - Texte，德文“keilschrift”的意思是“楔形文字”），古巴比倫數(shù)學(xué)的巨大財(cái)富首次在這部著作中得到展示。

納粹上臺后，諾伊格鮑爾離開了德國。雖然他不是猶太人，但他在政治上是一名自由主義者。在哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)研究所清除猶太人后，諾伊格鮑爾被任命為該研究所的所長?？邓固菇z·里德（1918—2010）在《希爾伯特》一書中稱諾伊格鮑爾“擔(dān)任此要職只有一天，因?yàn)樗谛ｉL辦公室中激烈爭辯，拒絕在所謂的忠誠宣言上簽字”。諾伊格鮑爾首先去了丹麥，然后到了美國，他在美國接觸到了新的楔形文字泥板藏品。1945 年，他和美國亞述學(xué)家亞伯拉罕·薩克斯（1915—1983）合作，出版了《楔形文字?jǐn)?shù)學(xué)文獻(xiàn)》（Mathematical Cuneiform Texts）。這本著作現(xiàn)在仍是關(guān)于古巴比倫數(shù)學(xué)的英文權(quán)威著作。當(dāng)然，這方面的研究仍在繼續(xù)，古巴比倫人的輝煌成就現(xiàn)在已經(jīng)眾所周知。特別是，我們現(xiàn)在知道他們掌握了一些可以被稱為代數(shù)的技巧。

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諾伊格鮑爾發(fā)現(xiàn)，漢謨拉比時代的數(shù)學(xué)文本有兩種：“表格文本”和“問題文本”。表格文本就是乘法表、平方表和立方表等表格，以及一些更高級的列表，比如現(xiàn)存于美國哥倫比亞大學(xué)的“普林頓 322”泥板就列出了畢達(dá)哥拉斯三元組，即滿足的三元組 ，根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，這三個數(shù)對應(yīng)于直角三角形的三條邊。

古巴比倫人迫切需要這樣的表格，因?yàn)殡m然他們書寫數(shù)字的系統(tǒng)在當(dāng)時很先進(jìn)，卻不能像我們熟悉的 10 個數(shù)字那樣方便地進(jìn)行計(jì)算。他們的數(shù)字體系是六十進(jìn)制而不是十進(jìn)制。例如，十進(jìn)制數(shù) 37 表示 3 個 10 加上 7 個 1，而古巴比倫人的 37 表示 3 個 60 加上 7 個 1，相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù) 187。因?yàn)槿鄙儆脕怼罢嘉弧钡?0，事情變得更加困難。因?yàn)榻裉斓挠浄ㄖ杏?0，所以我們可以區(qū)分 284、2804 和 208 004 等。

分?jǐn)?shù)的書寫方式就像我們表示小時、分鐘和秒那樣，這種方式其實(shí)是古巴比倫人的原創(chuàng)。例如 2.5 用這種表示就寫成 2:30。古巴比倫人知道，在他們的體系下，2 的平方根大約是 1:24:51:10。這個數(shù)是 1-[24-(51-10÷60)÷60]÷60，它與 2 的平方根的精確值相差約一千萬分之六。與整數(shù)一樣，缺少占位數(shù)字 0 會產(chǎn)生歧義。

即使在表格文本中，代數(shù)計(jì)算的思維也很明顯。比如，我們知道平方表可輔助進(jìn)行乘法計(jì)算，公式

把乘法簡化為減法（和一個簡單的除法）。古巴比倫人知道這個公式，或者說他們知道其本質(zhì)，只是不知道怎么用上面的辦法表示成抽象的公式。他們把這個公式看成一個可以運(yùn)用于特定數(shù)字的步驟，即我們今天所說的算法。

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這些表格文本非常有趣，但是，只有在問題文本中我們才能看到代數(shù)的真正開端。比如，其中有二次方程的解法，甚至還有一些特殊的三次方程的解法。當(dāng)然，這些文本都不是用類似現(xiàn)代代數(shù)記號寫成的，所有這些都寫成涉及實(shí)際數(shù)字的文字問題。

為了讓讀者充分感受古巴比倫數(shù)學(xué)，我將用三種形式給出《楔形文字?jǐn)?shù)學(xué)文獻(xiàn)》中的一個問題，分別是楔形文字、文字翻譯以及這個問題的現(xiàn)代表述。

圖 1-3 展示的是這個問題的楔形文字。它書寫在一塊泥板的兩面，圖中是該泥板的正反面，這兩面并排擺放。5

5事實(shí)上，楔形文字不都那么難理解。了解用楔形文字記數(shù)的最佳簡短指南是約翰·康威（1937—2020）和理查德·蓋伊（1916—2020）合著的《數(shù)之書》。

圖 1-3　楔形文字的問題描述

諾伊格鮑爾和薩克斯將這塊泥板的內(nèi)容翻譯如下：文字是阿卡德語，字母和數(shù)字是蘇美爾語，括號里面的內(nèi)容是原文不清楚的或根據(jù)理解補(bǔ)充的。

（左圖的譯文）

[igib]um 比 igum 大 7。6

問 [igum 和 ]igibum 是多少？

對你來說，平分 7，這是 igibum 超過 igum 的值，（其結(jié)果）為 3;30。

把 3;30 與 3;30 相乘，（得到的結(jié)果是）12;15。

對于得到的結(jié)果 12;15，

加上 [ 乘積 1,0]，（結(jié)果是）1,12;15。

1,12;15[ 的平方根 ] 是什么？（答案：）8;30。

記下 [8;30 和 ]8;30，這兩個數(shù)相等，然后

6“igum”和“igibum”是古巴比倫數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中表示互為倒數(shù)的兩個數(shù)的專有術(shù)語?！g者注

（右圖的譯文）

從一個 8;30 中減去 3;30，

把這個數(shù)加到另一個（8;30）。

一個數(shù)是 12，另一個數(shù)是 5。

igibum 等于 12，igum 等于 5。

（注意：諾伊格鮑爾和薩克斯使用逗號把數(shù)的數(shù)位分隔開，使用分號分隔整數(shù)部分和小數(shù)部分。所以“1,12;15”表示。）

下面是用現(xiàn)代方法求解該問題的過程。

一個數(shù)比它的倒數(shù)大 7。注意，因?yàn)楣虐捅葌惖臄?shù)的進(jìn)位制存在歧義，所以  的“倒數(shù)”可能是 、、 等。事實(shí)上， 的“倒數(shù)”可能是 60 的任何次冪除以 。但從原作者的求解過程可以看出，這里取的“倒數(shù)”應(yīng)該是 。于是

 和它的“倒數(shù)”是多少？因?yàn)樯厦孢@個方程可以化簡成

我們可以運(yùn)用熟知的公式 7 得到

7給不熟悉二次方程求根公式的讀者介紹一下：二次方程有兩個解。

這給出了答案  或 。古巴比倫人不知道負(fù)數(shù)，直到 3000 年后，負(fù)數(shù)才開始被普遍使用。所以他們關(guān)心的解只有 12，它的“倒數(shù)”（即 ）是 5。古巴比倫人的算法實(shí)際上并不能得出上面的二次方程 8 的兩個解，而是等價(jià)于求  和它的“倒數(shù)”的一個略微不同的公式

8本書中的“二次方程”“三次方程”“四次方程”“五次方程”等一般指一元方程?！g者注

如果想對此吹毛求疵，你可以說，這表明嚴(yán)格來說他們沒有解出二次方程。盡管如此，你也不得不承認(rèn)這是青銅時代早期的數(shù)學(xué)中令人印象非常深刻的成果。

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我再強(qiáng)調(diào)一次，漢謨拉比時代的古巴比倫人并沒有真正的代數(shù)字母符號體系。這些都是文字問題，量用原始的編號系統(tǒng)來表示。對于使用“未知量”進(jìn)行思考這個方向，他們僅僅向前邁了一兩步，即在阿卡德語文獻(xiàn)中用蘇美爾語單詞表示未知量，例如上面問題中的“igum”和“igibum”。（諾伊格鮑爾和薩克斯把“igum”和“igibum”都翻譯成“倒數(shù)”。在其他地方，泥板上使用蘇美爾語來表示矩形的“長”和“寬”。）這些算法不具有普適性，不同的文字問題使用了不同的算法。

由此產(chǎn)生了兩個問題。第一，他們?yōu)槭裁匆岢鲞@些文字問題？第二，是誰首先解決了這些問題？

對于第一個問題，古巴比倫人并不打算告訴后人他們?yōu)槭裁匆岢鲞@些文字問題。比較可靠的猜測是，這些文字問題可能是一種檢查計(jì)算的方式，計(jì)算可能涉及測量土地面積，而問題可能是求建造某種尺寸的溝渠時需要挖出的泥土量。當(dāng)人們?nèi)Τ鲆粔K長方形土地計(jì)算它的面積時，他們可以“反過來”通過某個二次方程的算法求出它的面積和周長來確認(rèn)得到的結(jié)果是正確的。

對于第二個問題，漢謨拉比時代的泥板中出現(xiàn)的原始代數(shù)是非常成熟的。根據(jù)我們對遠(yuǎn)古時代知識進(jìn)步速度的了解來看，這些技術(shù)一定醞釀了好幾個世紀(jì)。是誰最先想出來的呢？我們無法知道這個問題的答案，但是這些問題泥板使用了蘇美爾語，暗示了蘇美爾人可能是其創(chuàng)始者（同現(xiàn)代數(shù)學(xué)使用希臘字母一樣）。我們有漢謨拉比時代之前的文獻(xiàn)，也就是三千年以前的資料，但它們都是算術(shù)文獻(xiàn)。直到公元前 18 世紀(jì)和公元前 17 世紀(jì)，代數(shù)思想才開始出現(xiàn)。如果存在可以說明這些代數(shù)思想發(fā)展更早的“過渡”文獻(xiàn)，那么，它們或者沒有被保存下來，或者至今尚未被發(fā)現(xiàn)。

漢謨拉比時代的泥板也沒有告訴我們?nèi)魏侮P(guān)于作者的信息。我們知道大量古巴比倫人的數(shù)學(xué)成果，卻不知道任何一位古巴比倫數(shù)學(xué)家。我們知道其名字的第一位可能是數(shù)學(xué)家的人生活在新月沃地的另一端。

※※※

正當(dāng)漢謨拉比王朝在美索不達(dá)米亞的統(tǒng)治日益鞏固的時候，古埃及正在遭受第一次外來入侵。這些侵略者在希臘語中被稱為?？怂魉梗℉yksos），這個單詞是埃及語“外來統(tǒng)治者”一詞的訛誤。這些外來者從巴勒斯坦開始入侵，他們沒有采取突襲的方式，而是對它緩慢地進(jìn)行吞并和殖民，大約在公元前 1720 年，?？怂魉乖谀崃_河三角洲東部的阿瓦里斯建都。

在?？怂魉雇醭幸晃幻邪⒛肥浚s公元前 1680—前 1620）的人，他是我們現(xiàn)在知道名字的第一位與數(shù)學(xué)有一定聯(lián)系的人。至于他是否是職業(yè)數(shù)學(xué)家尚無定論。我們是通過一份可追溯到公元前 1650 年左右（?？怂魉雇醭脑缙冢┑募埐輹浪?。這份紙草書表明，阿姆士是一名抄寫員，抄寫的是一份寫于第十二王朝（大約公元前 1990 ～前 1780 年）的資料。這是我們知道的源于?？怂魉雇醭奈墨I(xiàn)之一，?？怂魉沟慕y(tǒng)治者們非常崇拜當(dāng)時的古埃及文明。或許阿姆士不懂?dāng)?shù)學(xué)，只是盲目地抄寫他看到的文字。然而，這似乎不太可能。這份紙草書中的錯誤很少，那些存留的錯誤看起來更像計(jì)算錯誤（后面的計(jì)算用的是錯誤的數(shù)），而不是抄寫錯誤。

這份資料通常被稱為《萊茵德紙草書》，以紀(jì)念蘇格蘭人亨利·萊茵德（1833—1863）。萊茵德患有肺結(jié)核，于 1858 年冬天到埃及度假休養(yǎng)，其間在盧克索城買下了這份紙草書。在他去世五年后，大英博物館得到了這份紙草書?，F(xiàn)在，人們認(rèn)為應(yīng)該以這份紙草書的作者的名字為其命名，而不是以購買者的名字為其命名，因此，人們現(xiàn)在通常也稱之為《阿姆士紙草書》。

雖然這是數(shù)學(xué)中令人興奮的偉大發(fā)現(xiàn)，但是在我所討論的意義中，阿姆士紙草書僅包含了代數(shù)思維最淺顯的痕跡。下面是這份紙草書中的問題 24，它是一個代數(shù)問題：“一個量加上自身的四分之一等于 15?！蔽覀冇矛F(xiàn)代記法寫出來，就是已知

求未知數(shù) 。阿姆士使用了試錯法求解，這份紙草書中幾乎沒有出現(xiàn)古巴比倫風(fēng)格的系統(tǒng)化算法。

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詹姆士·紐曼（1907—1966）在《數(shù)學(xué)的世界》中寫道：“關(guān)于古埃及數(shù)學(xué)的水平在學(xué)習(xí)古代科學(xué)的學(xué)生中，存在著較大的不同認(rèn)識。”9 這些不同的觀點(diǎn)現(xiàn)在依然存在。然而，在閱讀了古巴比倫和古埃及的代表性文獻(xiàn)之后，我不明白為什么還有人主張，這兩個公元前 1750 年左右分別在新月沃地兩端繁榮起來的文明古國在數(shù)學(xué)發(fā)展水平上是相當(dāng)?shù)?。盡管它們的數(shù)學(xué)都是算術(shù)風(fēng)格，而且也沒有證據(jù)表明他們擁有任何抽象能力，但是古巴比倫的問題顯然比古埃及的問題更深刻、更精妙。（順便說一下，這也是諾伊格鮑爾的觀點(diǎn)。）

9譯文引自李文林等譯《數(shù)學(xué)的世界Ⅱ》第109 頁。——譯者注

這些古代人僅使用最原始的數(shù)字書寫方法就取得了如此輝煌的成就，這真是了不起的事情。但也許更令人驚訝的是，在隨后的幾個世紀(jì)里，他們幾乎沒有取得新的數(shù)學(xué)進(jìn)展。

第2章　代數(shù)之父

我們接著要說古埃及。“代數(shù)之父”丟番圖 1 生活在公元 1 世紀(jì)、2 世紀(jì)或 3 世紀(jì)的古羅馬帝國統(tǒng)治下的古埃及亞歷山大城，為了紀(jì)念他，本章以他的榮譽(yù)稱號作為標(biāo)題。

1丟番圖把自己的名字寫成希臘文的形式“Diophantos”。歐洲人是通過拉丁文譯本來了解他的著作的，因此他的拉丁文名字“Diophantus”沿用至今。

丟番圖到底是不是代數(shù)之父，這正是律師所謂的“難以決定的問題”。一些非常受人尊敬的數(shù)學(xué)史學(xué)家都否認(rèn)這一點(diǎn)。比如，在《科學(xué)傳記大辭典》中，庫爾特·沃格爾認(rèn)為丟番圖的工作并不比古巴比倫人和阿基米德（公元前 3 世紀(jì)，見下文）的工作更代數(shù)化，并得出結(jié)論：“丟番圖肯定不是人們通常稱的代數(shù)之父?！狈兜峦郀柕前汛鷶?shù)的起源向后推遲了一段時間，他認(rèn)為數(shù)學(xué)家花拉子密（780—850）才是代數(shù)之父?；ɡ用鼙葋G番圖晚 600 年，我們將在第3 章介紹他。此外，現(xiàn)在的本科生所學(xué)的被稱為“丟番圖分析”的數(shù)學(xué)分支通常作為數(shù)論課程的一部分，而不在代數(shù)課程里講授。

下面我將講述丟番圖的工作，并對此提出我自己的觀點(diǎn)，你們可以做出自己的判斷。

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在公元前 141 年美索不達(dá)米亞整個地區(qū)被帕提亞人征服之前，美索不達(dá)米亞人在持續(xù)了幾個世紀(jì)的種族和政治紛爭中一直使用楔形文字進(jìn)行書寫。人們今天還保留著這次征服之前用楔形文字書寫的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。在漢謨拉比帝國和美索不達(dá)米亞被帕提亞人征服的 1500 年間，人們在數(shù)學(xué)字母符號體系、技術(shù)和認(rèn)知方面幾乎沒有任何進(jìn)步，這得到了研究過該課題的每一位學(xué)者的證實(shí)，這是一件令人驚訝的事情。研究過楔形文字的數(shù)學(xué)家約翰·康威（1937— 2020）說，從泥板來看，唯一的差異就是最新的泥板中有“占位零”的標(biāo)記，即一種可以區(qū)分如“281”和“2801”的方法。古埃及同美索不達(dá)米亞一樣，沒有任何證據(jù)表明古埃及數(shù)學(xué)從公元前 16 世紀(jì)到公元前 4 世紀(jì)取得了顯著的進(jìn)步。

盡管古巴比倫和古埃及的數(shù)學(xué)家們在自己的祖國沒有取得什么進(jìn)步，但是他們早期的輝煌成果已經(jīng)傳遍了古代西方，甚至可能傳得更遠(yuǎn)。事實(shí)上，從公元前 6 世紀(jì)開始，古代世界的代數(shù)故事就是一段古希臘故事。

盡管古巴比倫和古埃及的數(shù)學(xué)家們在自己的祖國沒有取得什么進(jìn)步，但是他們早期的輝煌成果已經(jīng)傳遍了古代西方，甚至可能傳得更遠(yuǎn)。事實(shí)上，從公元前 6 世紀(jì)開始，古代世界的代數(shù)故事就是一段古希臘故事。

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在丟番圖之前，古希臘數(shù)學(xué)主要研究幾何，這是古希臘數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。對此，通常給出的理由在我看來頗有一番道理，這個理由是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（公元前 6 世紀(jì)晚期）信奉可以在數(shù)的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)、音樂和天文學(xué)的觀點(diǎn)，但是無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)困擾著畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，所以他們將興趣從算術(shù)轉(zhuǎn)向幾何，因?yàn)樗阈g(shù)中似乎包含一些無法描述的數(shù)，但這樣的數(shù)在幾何中卻可以準(zhǔn)確無誤地用線段的長度來表示。

因此，早期的古希臘代數(shù)概念都是用幾何形式表示的，通常晦澀難懂。比如，巴什馬科娃和斯米爾諾娃指出，歐幾里得的偉大著作《幾何原本》第6 卷的命題 28 和命題 29 給出了二次方程的求解方法。我認(rèn)為它們確實(shí)給出了二次方程的求解方法，但至少在第一次閱讀時，這種方法并不容易被發(fā)現(xiàn)。下面是托馬斯·希思爵士（1861—1940）翻譯的歐幾里得《幾何原本》第六卷的命題 28：

在已知線段上作一個等于已知直線形的平行四邊形，它是由取掉了相似于某個已知圖形的平行四邊形而成的：這個已知直線形必須不大于在原線段一半上的平行四邊形，并且這個平行四邊形相似于取掉的圖形。2

2這段譯文引用自蘭紀(jì)正、朱恩寬翻譯的《歐幾里得幾何原本》，陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003 年。——譯者注

你看懂了嗎？巴什馬科娃和斯米爾諾娃說，這段話等價(jià)于求解二次方程。我贊同她們的理解。

歐幾里得生活在亞歷山大托勒密將軍（即托勒密一世，在位時間是公元前 306 年到公元前 283 年）統(tǒng)治下的亞歷山大城（圖 2-1、圖 2-2），當(dāng)時的亞歷山大城和古埃及的其他城市都在托勒密一世的統(tǒng)治下。歐幾里得在亞歷山大城創(chuàng)辦了學(xué)校，開始傳道解惑。在歐幾里得出生前不久，亞歷山大在尼羅河三角洲的西岸建立了亞歷山大城，它與古希臘隔著地中海遙遙相望。人們認(rèn)為歐幾里得在古埃及定居之前曾經(jīng)在雅典的柏拉圖學(xué)院接受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練。不管怎樣，公元前 3 世紀(jì)的亞歷山大城是卓越的數(shù)學(xué)中心，比古希臘更重要。

圖 2-1　古亞歷山大城。法羅斯燈塔曾是著名的燈塔，它是古代世界七大奇跡之一，在 7 世紀(jì)到 14 世紀(jì)的一系列地震中被摧毀。人們認(rèn)為大圖書館就在這個城市東北方的宮殿附近。鋸齒形線條表示原來的城墻（公元前 331 年）

圖 2-2　亞歷山大城的法羅斯燈塔，這是馬丁·海姆斯凱克（1498—1574）根據(jù)想象繪制的

阿基米德比歐幾里得年輕 40 多歲，他很可能曾在亞歷山大城的歐幾里得的繼任者的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)，仍然學(xué)習(xí)幾何方法，盡管他把幾何方法應(yīng)用在更復(fù)雜的領(lǐng)域中。比如，他的著作《論圓錐體和橢球體》探討的就是平面與一種復(fù)雜的二維曲面的交線。這部著作清晰地表明，阿基米德可以求解某些特定類型的三次方程，就像歐幾里得可以求解一些二次方程一樣，但是，阿基米德使用的語言全部都是幾何語言。

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公元前 3 世紀(jì)的輝煌時期過后，亞歷山大學(xué)派的數(shù)學(xué)開始衰落。到了混亂的公元前 1 世紀(jì)（想想安東尼和“埃及艷后”克利奧帕特拉的故事），亞歷山大學(xué)派的數(shù)學(xué)似乎消失殆盡。隨著早期羅馬帝國穩(wěn)定之后，數(shù)學(xué)有了一定程度的復(fù)興，同時也出現(xiàn)了脫離純幾何的思維轉(zhuǎn)變。丟番圖就在這個新時期生活和工作。

正如本章開始時所說的，關(guān)于丟番圖，我們幾乎一無所知，甚至不知道他生活在哪個世紀(jì)。最流行的猜測是公元 3 世紀(jì)，經(jīng)常被引用的時期是公元 200 年到 284 年。我們注意到丟番圖，是因?yàn)樗麑懥艘徊款}為《算術(shù)》的著作，這部著作只有不到一半流傳到現(xiàn)在。現(xiàn)存的主要部分包括 189 個問題，其目標(biāo)是尋找滿足一定條件的一個數(shù)或一組數(shù)。在這部著作的引言里，丟番圖概述了他的字母符號體系和方法。

在我們看來，他的字母符號體系相當(dāng)原始，但在當(dāng)時已經(jīng)非常精致了。我們用一個例子來說明。下面是一個現(xiàn)代形式的方程：

丟番圖把它寫成下面的形式：

這里最容易辨認(rèn)的就是數(shù)。丟番圖使用希臘字母體系來書寫數(shù)，其做法是采用希臘字母表中的 24 個普通字母，再加上 3 個過時不用的字母，一共 27 個字母。把這些字母分成 3 組，每組有 9 個字母。擴(kuò)充字母表的第一組中的 9 個字母代表 1 到 9 的個位數(shù)字，第二組中的 9 個字母代表 10 到 99 的十位數(shù)字，第三組中的 9 個字母代表從 100 到 999 的百位數(shù)字。古希臘人沒有代表 0 的符號，當(dāng)時世界上的其他人也沒有代表 0 的符號。3

3例如，“”表示 749。用作單位的字母可以再被利用來表示幾千，例如，“”的意思是 4749。 通常代表 4，在這里代表 4000。對于超過 9999 的數(shù)，數(shù)字被分成 4 個一組，用“M”（代表 Myriad，意為“無數(shù)的”）或丟番圖的點(diǎn)記號分開。例如，“”代表 43 728 907。（看起來有點(diǎn)兒奇怪的字母“”已經(jīng)被廢除，在這里用來表示 900。因?yàn)椤?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/05/2511/222822915_89_20210525114004380.gif' alt="\zeta" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif">”代表 7，所以“”表示 907。注意這里沒有占位的 0，因?yàn)檫@種方法不需要 0。）

所以，在前面給出的方程中， 代表 1， 代表 2， 代表 10， 代表 5（字母上面的橫線表示用這些字母來代表數(shù)）。

在其他符號中， 是  的縮寫，意思是“等于”。注意，這里的字母上面沒有橫線，它們是用來拼寫單詞（實(shí)際上是單詞的縮寫）的字母，而不代表數(shù)。倒三叉戟符號  代表減去它之后到“等于”號之前的東西。

還剩下 4 個符號需要解釋：、、 和 。第二個符號  代表未知量，相當(dāng)于現(xiàn)代的 。其他符號都代表這個未知量的冪： 代表三次冪（來自希臘語“”，意思是立方）， 代表平方（來自希臘語“”，意思是“力量”或“冪”）， 表示零次冪，也就是今天我們說的“常數(shù)項(xiàng)”。

知道這些含義之后，我們就可以對丟番圖的方程逐字翻譯如下：

如果加上省略的加號和某些括號，那么這個方程的意思就更清楚了：

由于丟番圖把系數(shù)寫在變量后面，而不像我們那樣把系數(shù)寫在變量前面（我們寫成 ，他寫成 ），而且因?yàn)槿魏畏橇銛?shù)的零次冪都是 1，所以這個方程等價(jià)于我最初寫成的那個形式：

從這個例子可以看出，丟番圖已經(jīng)有相當(dāng)精巧的代數(shù)記法。我們不清楚其中有多少符號是他原創(chuàng)的。使用特殊符號表示未知量的平方和立方可能是丟番圖的發(fā)明，然而用  表示未知量的方法可能是他從一位更早的作者那里學(xué)來的，這位作者是收藏于美國密歇根大學(xué)的《密歇根紙草書 620》的作者。4

4在這種用法中，希臘字母  的頭頂有一道橫線，我沒有寫成那樣。《密歇根紙草書》可追溯到公元 2 世紀(jì)早期，要比普遍認(rèn)可的丟番圖生活的時代早一個世紀(jì)左右。

丟番圖的字母符號體系也有一些缺點(diǎn)，其中主要的缺點(diǎn)是它不能表示兩個以上的未知量。用現(xiàn)代術(shù)語來說，這個字母符號體系雖然有 ，但是沒有  或 。這是丟番圖面臨的一個主要困難，因?yàn)樗闹髦写蟛糠謨?nèi)容與不定方程有關(guān)（高斯誤稱丟番圖的著作研究的全都是不定方程）。這需要簡單解釋一下。

※※※

數(shù)學(xué)家使用“方程”來表示某種東西等于另外一種東西。比如“二加二等于四”就是一個方程（或稱為等式）。當(dāng)然，包括丟番圖在內(nèi)的數(shù)學(xué)家們感興趣的是含有某些未知量的方程。未知量的存在把一個方程從陳述句“是這樣”變成疑問句“是這樣嗎？”，或者更常見的“何時這樣？”。下面的方程

隱含著這樣的問題：“什么加上二等于四？”答案當(dāng)然是 2。所以這個方程在  時成立。

然而，假如我問下面方程的解是什么，答案就沒那么明顯了：

數(shù)學(xué)家看到這個方程的第一反應(yīng)是想知道你在尋找什么樣的答案。我們僅考慮正整數(shù)作為方程的解嗎？那么該方程唯一的解是。如果解可以是非負(fù)整數(shù)（即包含 0），那么該方程還有兩個解：；。如果解可以是負(fù)整數(shù)，那么該方程就有無窮多組解，比如。如果解可以是有理數(shù)，那么該方程也有無窮多組解，比如。當(dāng)然，如果解可以是無理數(shù)或復(fù)數(shù)，那么該方程就會有更多的無窮多組解了。

諸如此類，含有多個未知量并且可能出現(xiàn)無窮多組解（解的數(shù)量取決于所求的解的類型）的方程被稱為不定方程。

最著名的不定方程是費(fèi)馬大定理（即費(fèi)馬最后定理）中出現(xiàn)的

其中 、、 和  都是正整數(shù)。當(dāng)  或  時，這個方程有無窮多組解。費(fèi)馬大定理稱當(dāng)  是大于 2 的正整數(shù)時，該方程沒有正整數(shù)解。

1637 年左右，皮埃爾·德·費(fèi)馬（1607—1665）在閱讀丟番圖的《算術(shù)》（拉丁文譯本）時突然想到了這個定理，于是他在該書的頁邊空白處留下了著名的注記，陳述了這個命題，然后（也是用拉丁文）補(bǔ)充道：“對此我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一個完美的證明，可是這里的空白太小，寫不下。”實(shí)際上直到 357 年之后，這個定理才被安德魯·懷爾斯（1953— ）證明。

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如前所說，《算術(shù)》一書討論的大部分內(nèi)容是不定方程。而且丟番圖還處于一個非常不利的境地，因?yàn)樗挥幸粋€表示未知量的符號（其他符號代表未知量的平方、立方等）。

為了了解丟番圖是如何克服這個困難的，我們可以看看他對《算術(shù)》第2 卷問題 8 的求解方法，費(fèi)馬就是在這個問題的空白處寫下了他的著名注記。

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