“懶人”的算術(shù)——代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生| 數(shù)學(xué)小知識

瀟湘書院615 2015-09-08

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帶你走進一個不一樣的數(shù)學(xué)世界

我們一～六年級學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，主要是算術(shù)，到七年級就學(xué)代數(shù)了。算術(shù)和代數(shù)到底是怎么回事？你看了下面的短文就知道了。

算術(shù)是數(shù)學(xué)的始祖，古希臘時期的算術(shù)一詞，專指數(shù)的理論，它與實用的計算技術(shù)有明顯的不同。這種區(qū)別一直保持到中世紀，印度——阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)傳入歐洲后，才把數(shù)的理論稱為“數(shù)論”，把數(shù)的計算稱為“算術(shù)”。

初等代數(shù)是算術(shù)的符號化，有了符號，便可以拋開具體的數(shù)字，抽象的定義運算，并研究運算律。在此基礎(chǔ)上，形成一個理論體系，回頭用通性通法去解決算術(shù)問題。代數(shù)把算術(shù)提高到一個新的水平，但卻比算術(shù)容易，這就是符號化的功績。

在把算術(shù)的符號化方面作過貢獻的首先是丟番圖。丟番圖在他的著作《算術(shù)》中首先使用字母表示未知數(shù)和一些運算規(guī)則，這是近代符號代數(shù)學(xué)的嚆（hāo）矢。丟番圖將未知量稱為“題中的數(shù)”，記為Δ（相當(dāng)于現(xiàn)在的未知數(shù)x），將未知數(shù)的平方、立方、四次方、五次方分別記作Δγ、Kγ、ΔγΔ、ΔKγ，用Sx表示加號，用“↑”表示“減號”，用“L”表示“等號”。在此之前，代數(shù)學(xué)書中沒有符號，推理也沒有等式，只有大段的說理文章。丟番圖在代數(shù)學(xué)中引用了一大套代數(shù)符號，把代數(shù)學(xué)中的方程從冗繁的語言文字表示成簡潔的符號，盡管丟番圖的符號基本上是一些文字的縮寫，而且也不完整，但是他使代數(shù)學(xué)的發(fā)展向符號代數(shù)邁出了重要的一步，因而數(shù)學(xué)史書中稱丟番圖是代數(shù)學(xué)的鼻祖。

代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的一個重要的基礎(chǔ)性的分支學(xué)科。初等代數(shù)學(xué)是由古代的算術(shù)推廣和發(fā)展而來的，抽象代數(shù)學(xué)則是在初等代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上于十九世紀發(fā)展形成的。初等代數(shù)學(xué)亦稱古典代數(shù)學(xué)，是實數(shù)和復(fù)數(shù)及以它們?yōu)橄禂?shù)的多項式的代數(shù)運算的理論和方法。初等代數(shù)學(xué)的中心問題就是多項式方程（代數(shù)方程）和方程組的求解問題。因此，初等代數(shù)學(xué)有時也稱為方程論。

在以方程論為中心的古典代數(shù)學(xué)的發(fā)展中，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家作出了獨特的貢獻，花拉子模就是代表。

花拉子模出版了一本以“代數(shù)”命名的重要著作，此書主要討論了一元二次方程的解法。這些解法是用一個一個解方程的例子來闡述的。從解法看，花拉子模已經(jīng)完成了今天的二次方程的求根公式，只不過當(dāng)時他還沒有負根的概念。據(jù)說花拉子模已經(jīng)意識到了一元二次方程有兩個根，但他那時并未弄清這一問題。

系統(tǒng)采用了數(shù)學(xué)符號的代數(shù)的產(chǎn)生構(gòu)成了近代數(shù)學(xué)的一個開端。在符號代數(shù)的形成過程中，韋達做出了重要的貢獻。

韋達在研究方程問題的過程中創(chuàng)立符號代數(shù)，他系統(tǒng)地利用字母來表示方程中的量：用輔音字母B、C、D等表示已知量，用元音字母A等表示未知量，用Aquadratus表示A2，Acubus表示A3。并將這些量的運算稱為“類的運算”，與用于確定數(shù)目的“數(shù)的運算”相區(qū)別。對這種類，韋達借用歐幾里得《幾何原本》中對量所作的規(guī)定，即“整體等于部分之和”、“等量加等量其和相等”等公理及某些運算性質(zhì)，使類的運算法則符號于通常的數(shù)的運算法則。這樣，一方面，使他的方法對數(shù)和幾何量在使用上是一致的，另一方面，使這種“類”成為任意的數(shù)的代表。表示類的字母就成為一般意義下的數(shù)學(xué)符號。由此，人類邁出了符號代數(shù)的決定性的一步，代數(shù)成為研究用數(shù)學(xué)符號表示的一般的類的學(xué)問。從這一點出發(fā)，韋達給出方程的一個定義：一個方程是一個未知量與一個確定量的比較。并以此對一些傳統(tǒng)的幾何學(xué)問題作了一些新的探討，例如，把尺規(guī)作圖問題與二次方程問題聯(lián)系起來，把求某一幾何量轉(zhuǎn)化為求某一相應(yīng)方程中的未知量。

韋達的這些工作極大地推動了代數(shù)學(xué)的發(fā)展，因此，他在西方被稱為“代數(shù)學(xué)之父”。

繼韋達之后，笛卡爾再次對韋達等建立的字母系統(tǒng)作了改進，用英文字母表中最前面的字母a、b、c等表示已知量，而靠后的字母x、y、z等表示未知量，終于使字母表示數(shù)的地位在代數(shù)學(xué)上確立起來。

德國著名數(shù)學(xué)家克萊茵指出：“代數(shù)學(xué)上的進步是引進了較好的符號體系，這對它本身和分析的發(fā)展比十六世紀技術(shù)上的進步遠為重要。事實上，采取了這一步，可使代數(shù)有可能成為一門科學(xué)?！?/span>

附一、丟番圖簡介

丟番圖是古希臘的一位數(shù)學(xué)家，他的生平事跡很少有記載，無從考查，只知道他在公元250年左右生活在亞歷山大里亞。他的數(shù)學(xué)著作較出色的是《算術(shù)》，共十三卷，現(xiàn)在僅存六卷，含189個問題，分50余類，其中特別對不定方程作了廣泛的研究。這是一部可以和歐幾里得《幾何原本》相媲美的古代代數(shù)書籍。《算術(shù)》是講整數(shù)論的，特別是整系數(shù)方程的解法，屬于代數(shù)學(xué)的范圍，它脫離了幾何的形式。這在希臘數(shù)學(xué)中是獨立發(fā)展的一枝。其中代數(shù)方程主要討論不定方程，而且只討論正根。丟番圖認為負根是不合理的。他解方程的方法大都比較巧妙，但是他解一題用一法，甚至性質(zhì)相近的方程，解法也不同，這應(yīng)該說是丟番圖的一個缺點。丟番圖給人的困惑多于喜悅。

在古希臘詩文選集上有一首短詩，收錄了丟番圖奇特的墓志銘：

墳中安葬著丟番圖，

多么令人驚訝，

它忠實地記錄了所經(jīng)歷的道路，

上帝給予的童年占六分之一，

又過十二分之一，兩頰長胡。

再過七分之一，點燃起結(jié)婚的蠟燭。

五年之后天賜貴子。

可憐遲到的寶貝兒，

享年僅及其父之半，

便過早進入墳?zāi)埂?br style="BOX-SIZING: border-box">

悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補，

又過四年，

他也走完了人生的旅途。

附二、韋達簡介

韋達（1540年～1603年）法國數(shù)學(xué)家，生于法國普瓦圖地區(qū)，他的父親是一位律師。韋達早年在普瓦捷大學(xué)學(xué)習(xí)法律，在1560年獲得法學(xué)學(xué)士學(xué)位后，長期從事法律工作，出任過地方法院律師，法國行政法院檢察官，皇室私人律師，法國最高法院律師等。1602年被法王亨利十四世免職。

數(shù)學(xué)是韋達的業(yè)余愛好，利用公余時間，他探討了許多數(shù)學(xué)問題，寫出許多數(shù)學(xué)著作，是法國十六世紀最有影響的數(shù)學(xué)家。

韋達第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達定理”）。韋達在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”。

他還給出一種求方程近似根的方法；他給出一類三次方程的三角解法；他最先提出正切定理與和差化積公式；他還最先把代數(shù)變換引入三角學(xué)中。他出色地解答了比利時數(shù)學(xué)家羅門提出的一個45次方程。在幾何學(xué)方面，韋達最早給出關(guān)于圓周率值的無窮運算式，這是圓周率π的第一個解析表達式。他還利用圓內(nèi)接正393216邊形得到π的精確到10位小數(shù)的近似值。

1579年，韋達出版《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》。這是歐洲第一本使用六種三角函數(shù)的系統(tǒng)的平面、球面三角學(xué)。主要著作有《分析方法入門》（1591年）、《論方程的識別與修正》、《分析五章》、《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》等。由于韋達做出了許多重要貢獻，成為十六世紀法國最杰出的