第一章：美索不達米亞的數(shù)學。

題詞是亥維賽（Oliver Heaviside）的：“邏輯可以等待，因為它是永恒的。”

“數(shù)學作為一門有組織的、獨立的和理性的學科來說，在公元前600到前300年之間的古典希臘學者登場之前是不存在的。但在更早期的一些古代文明社會中已產(chǎn)生了數(shù)學的開端和萌芽。”前兩章分別講述兩河流域和埃及的數(shù)學。

“角的概念想必是從觀察到人的大小腿（股）或上下臂之間形成的角而產(chǎn)生的，因為在大多數(shù)語言中，角的邊常是用股或臂的字來代表的。例如在英文中，直角三角形的兩邊叫兩臂。（在漢文中直角三角形的一條直角邊也叫股。——譯者）”誰知道勾股定理中勾這個稱呼是怎么來的？

“我們對巴比倫文明和數(shù)學的知識……得自其泥版的文書。……這些泥版的制作大抵在兩段時期，有些是公元前2000年左右的，而大部分是公元前600年到公元300年間的。……較早期泥版上刻的是阿卡得（Akkad）文字……阿卡得人用一種斷面呈三角形的筆斜刻泥版，在版上按不同方向刻出楔形刻痕。因此這種文字就叫做楔形文字。”

“巴比倫數(shù)系的突出之點是以60為基底并采用進位記號。起初巴比倫人沒有用什么記號來表示某一位上沒有數(shù)，因此他們寫的數(shù)是意義不定的。”同一組符號可以表示80或3620，這要取決于頭一個記號是表示60還是3600。“他們往往空出一些地方來表明哪一位上沒有數(shù)，但這當然還會引起誤解。在塞琉西（Seleucid）時期他們引入了一種特別的分開記號來表示哪一位上沒有數(shù)。”這樣他們就能明確表示3604=1*60^2 0*60 4了。“但即使在這段時期也還未采用一個記號來表明最右端的一位上沒有數(shù)，如同我們今日所記的20一樣。在這兩段時期，人們都得依靠文件的內(nèi)容，才能定出整個數(shù)字的確切數(shù)值。”阿拉伯數(shù)字（其實是印度數(shù)字）和零確實是偉大的發(fā)明！

“巴比倫人也用進位記法來表示分數(shù)。”例如同一組符號作為分數(shù)來記，可表示21/60或20/60 1/60^2。“所以他們數(shù)字系統(tǒng)的混淆不清比上面所指出的還要厲害。”杯具啊！

巴比倫人會做加減法。也做乘法，如乘以37的做法是乘以30，另外再乘以7，然后把結果相加。整數(shù)除以整數(shù)是通過把倒數(shù)化成60進制的“小數(shù)”進行的。他們有數(shù)字表，可以查出1/a形式的數(shù)（其中a=2^x*3^y*5*z）怎樣寫成有限位的60進制“小數(shù)”。有些數(shù)表給出1/7、1/11、1/13等的近似值。他們也有表示平方、平方根、立方和立方根的數(shù)表。巴比倫人給出的根號2的近似值是1.414213...，而不是1.414214...（沒有四舍五入，計算器給出的是1.4142135623730950488016887242097）。

巴比倫人計算高h、寬w的矩形對角線長度d的辦法，是用近似公式d ≈ h w^2/2h。這公式在h>w時是很好的近似，因為它是d=h(1 w^2/h^2)^(1/2)的二項式展開的前兩項。他們是怎么發(fā)現(xiàn)的？

巴比倫人會解一元二次方程，會解含十個未知量的十個（大多是線性的）方程，會求立方根。會算數(shù)列的和1 2 4 ... 2^n = 2^(n 1)-1和1 4 9 ... n^2= (1/3 2n/3) * (1 2 3 ... n)，但沒有給出推導。

“幾何在巴比倫人的心目中是不重要的。……那些說明幾何問題的圖畫得很粗，所用的公式也可能不正確。”他們似乎用A = c^2/12（其中c表示圓周長）這個法則得出圓面積，相當于把3作為圓周率，因為實際上c^2/12 = pi^2*r^2/3，而A = pi*r^2。不過在他們給出正六邊形及其外接圓周長之比時，又用3又1/8作為圓周率。“在計算一些特定物理問題時，他們算出了一些體積，有些算對了，有些算得不對。”

“巴比倫位于古代貿(mào)易通道上，他們商業(yè)活動范圍很廣。巴比倫人用他們的算術和簡單代數(shù)知識來表示長度和重量，來兌換錢幣和交換商品，來計算單利和復利，來計算稅額，來給農(nóng)民、教會和國家之間分配收獲的糧食。劃分土地和遺產(chǎn)的問題引出代數(shù)問題。牽涉到數(shù)學的大多數(shù)楔形文字著作（除了數(shù)字表和解題的文件之外）都是關于經(jīng)濟問題的。”這符合歷史唯物主義的范式。

天文學方面的文件大多產(chǎn)生在塞琉西時期。他們的天文學家能把新月和虧蝕的時間算準到幾分鐘之內(nèi)。他們知道太陽年或回歸年（季節(jié)年）等于12 22/60 8/60^2個月（從新月出現(xiàn)到下次新月為一月），并把恒星年（太陽相對于恒星的位置復原所需之時）準確算到4.5分。

“他們的日歷是陰歷。……235個陰歷月份等于19個太陽年。……這種歷法為猶太人、希臘人所沿用，羅馬人起初也沿用，直到公元前45年他們采用儒略歷法（Julian calendar）時為止。”

“把圓分為360度是巴比倫天文學家在公元前最末一個世紀里首創(chuàng)的。”

“與天文學密切相關的是占星術。……古代社會中偽科學性的預卜并非都用天文。他們認為數(shù)本身有神秘特性并可用之于預卜未來。我們可以在但以理書（the Book of Daniel）及新舊約先知的著述中看出巴比倫人預卜未來的做法，希伯來人的‘科學’測字術（gematria）（希伯來傳統(tǒng)神秘主義的一種形式）就是根據(jù)這一事實而來的，即因希伯來人用字母來表示數(shù)，所以他們就認為由字母組成的每個字都具有一個數(shù)值。如果兩個字的字母值之和相等，那就表明這兩個字所代表的兩種概念、兩個人或兩件事之間有重要的聯(lián)系。在以賽亞的預言里（21:8），獅子宣告巴比倫城的淪落，因為希伯來文中獅子這個字和巴比倫這個字里，其字母所代表的數(shù)字之和是一樣的。”這里的關鍵是兩個詞對應的數(shù)可能相等，古人還是tooyoung too simple啊。參照數(shù)理邏輯中的哥德爾數(shù)，我們可以把每個字母對應一個自然數(shù)，即建立一個從字母l到數(shù)字n(l)的映射，然后對一個詞的第一個字母l1取2的n(l1)次方，第二個字母l2取3的n(l2)次方，第三個字母l3取5的n(l3)次方，……第k個字母l_k取第k個質(zhì)數(shù)的n(l_k)次方，最后把所有這些乘方乘起來。這樣就對每個詞定義了一個與它對應的自然數(shù)，而且兩個不同的詞對應的數(shù)絕不會相同！但以理和以賽亞哭了……

“巴比倫人用特殊的名稱和記號來表未知量，采用了少數(shù)幾個運算記號，解出了含有一個或較多未知量的幾種形式的方程，特別是解出了二次方程，這些都是代數(shù)的開端。……問題是巴比倫人在采用數(shù)學證明這方面做到什么程度。他們確曾用正確的有系統(tǒng)的步驟，解出了含未知量的頗為復雜的方程。但他們只用語言說出該做的步驟，沒有說出做那一步的理由根據(jù)什么。幾乎沒有肯定地說，他們的算術和代數(shù)步驟以及幾何法則都是根據(jù)物理事實、邊試邊改以及從直觀認識得出的結果。如果這些方法行之有效，巴比倫人便認為這就有充分理由繼續(xù)加以采用。關于證明的想法，依據(jù)于決定取舍原則的邏輯結構的思想，以及問題的解在什么條件下存在這些方面的考慮，在巴比倫人的數(shù)學里都是找不到的。”這樣看來，巴比倫數(shù)學的發(fā)展程度跟中國古代數(shù)學很相似。沒有嚴格的證明和邏輯結構，不考慮解的存在性，是西方之外各文明數(shù)學的普遍情況吧？